Нека е дадена функцията на две промени. Даваме на аргумента увеличение, но аргументът е твърде много непроменен. Същата функция премахва увеличението, тъй като се нарича частно увеличение за промяната и се присвоява:

По същия начин, фиксирайки аргумента и давайки увеличение на аргумента, ние отнемаме частното увеличение на функцията зад промяната:

Стойността се нарича най-голямото увеличение на функцията в точки.

Назначаване 4. Частната функция на двете променливи се извиква между промяната на частното увеличение на функцията до промяната на дадената промяна, ако остава остатъкът от нулата (т.е. границата). Частно се означава така: или, или.

В този ранг за назначения кмет:

Частните функции се изчисляват по самите правила и формули, сякаш функцията е една и съща промяна, тя е защитена от собствената си, която се диференцира чрез промяна, важно е да бъде постоянна, а когато се диференцира чрез промяна, тя важно е да се поправи.

Пример 3. Познайте частни забавни функции:

Решение. а) За да се знае важната константна стойност на този диференциал като функция на една променлива:

По същия начин, по отношение на константната стойност, знаем:

Назначаване 5. Общият диференциал на функция е сумата от създаването на частни подобни функции при нарастване на независими независими, tobto.

Поглеждайки назад към факта, че диференциалите на независимите промени нарастват с нарастването си, т.е. , формулата за общия диференциал може да се запише във вида

Пример 4. Изчислете крайния диференциал на функцията.

Решение. Oskіlki зад формулата на общия диференциал е известна

Частни празници от най-висок клас

Частни празници се наричат ​​частни празници от първи ред или първи частни празници.

Назначения 6. Частните функции от различен ред се наричат ​​частни функции от първи ред.

Частни чотири от различен порядък. Фоновете са обозначени, както следва:

По същия начин се приписват частни загуби от 3-ти, 4-ти и по-висок порядък. Например, за функцията може:

Частни празници от различен ред, взети от различни промени, се наричат ​​променени частни празници. За функция е pokhіdnі. За уважение е, че сте в настроение, ако говорите свободно без прекъсване, има място за ревност.

Пример 5. Променете частните функции в различен ред

Решение. Частни функции от първа поръчка, намерени в приложение 3:

Диференциране и промяна на x и y, отримаме

Виришуват проблемите на физиката или прилагането на математика е абсолютно невъзможно без познаване на този метод на изчисление. Pokhіdna е един от най-важните за разбиране на математическия анализ. Решихме да посветим тази фундаментална тема на днешната статия. Какво е толкова лошо, каква физическа и геометрична промяна, как да развалите добра функция? Всички ястия могат да се приемат в едно: как да разбера как да отида?

Геометричен и физически смисъл сходни

Хайде, функция f(x) , се дава в интервала за пеене (а, б) . Точките x и x0 лежат до ия интервал. При промяна на x се променя самата функция. Промяна на аргумента - разлика в йога стойността x-x0 . Каква разлика се записва като делта х и се нарича по-голям аргумент. Промяната или увеличаването на функцията се нарича разлика в стойността на функцията в две точки. Назначаване на пътуване:

Pokhіdna funktsії y точка - между увеличаването на функцията в точка tsіy до аргумента zbіlshennya, ако остатъкът е нула.

В противен случай можете да го напишете така:

Какъв е смисълът на такава граница? И оста е яки:

подобно на функцията в точката, тангенсът на kuta между точките OX е подобен на графиката на функцията в точката tsij.

Физическо усещане за деня: pokhіdna пътеки за един час dorovnyuє shvidkostі праволинейни ruhu.

Определено можем да видим от учебните часове, че шведството е личен път. x=f(t) онзи час т . Средна скорост за един час:

Шоб да разпознае сигурността на бързането в момента на часа t0 е необходимо да се изчисли между:

Първо правило: обвинявайте константата

Константата може да бъде обвинена за лошия знак. Нещо повече – изисква се работа. Когато vyrishenny приложната математика приема като правило - как може да питаш вираз, обов'азково питай .

дупето. Нека изчислим цената:

Правило за приятел: Pokhіdna sumi funktsіy

Pokhіdna sumi dvoh funktsіy dorivnyuє sumі pokhіdnih tsikh funktsіy. Същото важи и за подобни функции за търговия на дребно.

Той не предлага доказателство на теоремата, а по-скоро практически пример.

Познайте свързаните функции:

Правило на трите: лоша работа на функциите

Pokhіdna създават две функции, които са диференцирани, изчислени по формулата:

Пример: познайте следните функции:

Решение:

Тук е важно да се каже за броя на сгъваемите подобни функции. Сгъваемата функция Pokhіdna е по-скъпа, за да допълни функциите на pokhіdnoї tsієї зад междинния аргумент до по-лошия от междинния аргумент зад независимата промяна.

От гледна точка, приложението на mi zustrіchaєmo viraz:

В този случай междинният аргумент е 8x за петата стъпка. За да се изчисли цената на такава вираза, е важно да се изчисли стойността на външната функция за междинния аргумент и след това да се умножи по стойността на не междинния аргумент за независимата промяна.

Четвърто правило: подобно на частните две функции

Формулата за избор на подобна част от две функции:

Опитахме се да ви разкажем за празниците за чайници от нулата. Тази тема не е толкова проста, както се оказва, възможно е: дупето често има паста върху дупето, така че внимавайте, когато ги броите.

По някаква причина, за други теми, можете да се обърнете към студентската служба. За кратко време ще ви помогнем да съставите контролния списък и да подредите задачите, така че не се занимавахме с изчисляването на последните по-рано.

Нека разгледаме функцията по два начина:

Частите от промяна $x$ и $y$ са независими, за такава функция е възможно да се осигури разбиране на личната информация:

Частна функция $f$ в точка $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ за промяна $x$ -

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \вдясно))(\Delta x)\]

По същия начин можете да зададете частна такса за промяна от $y$:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \вдясно))(\Delta y)\]

С други думи, за да се познаят частните функции на част от промяната, е необходимо да се фиксира решението за промяната, престъплението на шукано, и тогава ще знаем звичаната да се грижи за цената на промяната .

Звучи като основният трик за броене на такива гадни: просто имайте предвид, че всичко се променя, krym tsієї, є константа, след което разграничете функцията, така че да разграничите „единственото“ - от един zminnoy. Например:

$\begin(подравняване)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) ) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& ( ( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^( \ Prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(подравняване)$

Очевидно е, че е нормално да се дават частни празници от различни промени. Защо е по-важно да разберем, защо, да речем, в първия ни бяха начислени спокойно $10y$ s-pid за лош знак, а в другия - първият беше занулен. Всичко е замислено чрез тези, че всички букви, krіm zminnoi, за някакъв вид диференциация, се зачитат от константи: те могат да бъдат обвинявани, плювани и т.н.

Какво е „частно забавление“?

Днес ще говорим за функциите на няколко чейнджъра и за частните празници в тях. Първо, каква е функцията на няколко замени? Dosi mi извика да промени функцията като $y\left(x \right)$ или $t\left(x \right)$, в противен случай променете тази единствена функция в нея. Сега в нас ще има само една функция и ще има смяна на цаца. Ако промените $y$ и $x$, стойността на функцията ще се промени. Например, ако $x$ се увеличи два пъти, стойността на функцията се променя, ако $x$ се промени, но $y$ не се промени, стойността на функцията се променя сама.

Беше разбрано, че функцията под формата на редица променливи, точно както в една от променливите, може да бъде диференцирана. Въпреки това, oskіlki zmіnnykh kіlka, тогава е възможно да се разграничи от различни zmіnnyh. За кого се обвиняват конкретни правила, които са еднакви при разграничаване на една промяна.

Първо за всичко, ако искаме да загубим функциите си, ако сме по някакъв начин променливи, тогава ние сме виновни, за каква промяна трябва да оставим - затова се нарича лична бъркотия. Например, имаме функция под формата на две замествания и можем да изплашим ее като $x$, така че $y$ — две частни, подобни на кожата на взаимозаменяемите.

По различен начин, ако сме фиксирали една от промените и започнем да уважаваме частно след нея, тогава всичко останало, което влиза във функцията, се уважава от константи. Например, $z\left(xy \right)$, тъй като е важно да се разхождаме насаме около $x$, тогава, примижавайки, полу-просто $y$, ние сме важни да бъдем константа и да бъдем третирани сами като константа. Zakrema, когато броим лоши неща, можем да обвиняваме $y$ за оковата (имаме константа), а когато броим лошите пари, както имаме тук, е като вирус да отмъсти за $y$, а не да отмъсти за $x$, тогава е добре virazu dorivnyuvatime "нула" като добра константа.

На пръв поглед можете да се измъкнете, че ви разказвам за него на сгънат начин и много учащи се отклоняват на кочана. Сред частните няма нищо свръхестествено и ние се променяме от задника на конкретни задачи.

Отговаря за радикалите и богатите членове

Мениджър No1

Ридайте да не губим час, от самия кочан ще започнем със сериозни дупета.

Като за начало предполагам следната формула:

Това е стандартната стойност на таблицата, както знаем от стандартния курс.

Добре е някой да използва $z$ така:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Нека още веднъж, фрагментите под корените струват не $x$, а някакъв друг вираз, в този случай $\frac(y)(x)$, след това ускоряваме стандартните таблични стойности и след това парчетата под корени струват не $x $, а друг вираз, необходимо е да умножим разходите си за още един вираз за другия вираз. Да започнем да стъпваме на кочана:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot xy\cdot 1)(((x)^(2) ) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Нека се обърнем към нашия virazu и да запишем:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \вдясно)\]

Всичко е по принцип. Грешно е обаче да оставяте ее в такъв вид: не е удобно да победите такава конструкция за далечните, така че нека го направим малко:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Видповид намери. Сега нека се справим с $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Vipishemo okremo:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot xy\cdot 0)(((x)^(2) ) )=\frac(1)(x)\]

Сега пишем:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Всичко е разбито.

Управител No2

Това дупе е едновременно по-просто и по-сгъваемо, по-ниско напред. По-сгънато, за това тук има повече действие, но по-просто, за това тук няма корен, освен това функцията е симетрична на $x$ и $y$, tobto. Тъй като помним $x$ и $y$ като мисии, формулата изглежда не се променя. Целе уважение трябваше да бъде простено за плащането на частни разходи, tobto. Достатъчно е да повредите една от тях, а в другата просто запомнете $x$ и $y$ с четките.

Да преминем към същността:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy))(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \ дясно ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+ ( (y)^(2))+1 \вдясно)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\ляво(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \вдясно))^(2)))\]

Нека се развълнуваме:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Протейт богато научи такъв запис на невежество, ще запишем оста така:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

В този ранг отново преминаваме към универсалността на алгоритъма на частните роднини: те не се интересуваха от тях, ако всички правила са зададени правилно, вие сами ще бъдете този.

Сега нека да разгледаме още един личен трик от нашата страхотна формула:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Да приемем, че отнемаме зависимостта от нашата формула и я отнемаме:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ дясно)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \вдясно))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( ( x)^(2))+((y)^(2))+1 \вдясно))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \вдясно))((\ ляво(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \вдясно))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \вдясно))(((\ляво(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \вдясно))^(2 )))\]

$x$ се възстановява. И за да фиксираме $y$ в един и същ viraz, нека не виконуваме всички една и съща последователност от diy, а по-скоро със симетрията на нашия ярък viraz - просто заменяме в нашия ярък viraz всички $y$ с $x$ и navpak :

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \вдясно))((( ( \вляво(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \вдясно))^(2)))\]

За rahunok на симетрия, те похвали целия вираз богато shvidshe.

нюанс череша

За частните се използват всички стандартни формули, което е най-доброто за частните, но същото важи и за частното. С това обаче те обвиняват собствените си специфични характеристики: ако уважаваме $x$ частно, тогава ако приемем її за $x$, тогава я считаме за константа и на това її е подобно на по-скъпата „нула“ .

Подобно и в същото време с най-значимите pokhіdnymi, частни (едни и същи) можете да развалите kіlkom по различни начини. Например, същата конструкция, която беше толкова добре аплодирана, може да бъде пренаписана така:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Веднага за тези, от другата страна, можете да победите формулата под формата на случайна сума. Както знаем, има и по-скъпи суми на загиналите. Например, нека напишем това:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Сега, знаейки всичко, нека се опитаме да подобрим с по-сериозни употреби, парчетата от правилните частни трикове не са заобиколени от повече от богати термини и корени: там се използват тригонометрия, логаритми и функции за показване. Сега да се заемем.

Задача с тригонометрични функции и логаритми

Мениджър No1

Пишем следните стандартни формули:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

След като овладехме това знание, нека се опитаме да стихове:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Okremo напиши една промяна:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Обърнете се към нашия дизайн:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Всички знаем за $x$, сега нека се заемем с изчисляването на $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Е, знам, страхувам се, че един вираз:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \вдясно)\]

Нека се обърнем към края на деня и да продължим да виждаме:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Всичко е разбито.

Управител No2

Нека запишем формулата, от която се нуждаем:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Сега съжалявам за $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Намерено за $x$. Важно за $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Задачата приключи.

нюанс череша

По-късно, предвид факта, че функциите не са взети частно, правилата се презаписват от едни и същи, независимо дали работят с тригонометрия, с корени или с логаритми.

Класическите правила на работа винаги се заменят със стандартните и в същото време сумата от функциите за търговия на дребно, частни и сгъваеми функции.

Останалата част от формулата най-често се обяснява в края на деня, когато срещата приключи с частни празници. Mi zustrіchaєmosya с тях практически skrіz. Все още няма градски мениджър, за да не излезем там. Но ако не се бъркаме с формулата, все пак получаваме още една полза, а за себе си и особеността на работата с лични разходки. Така че фиксираме една промяна, линиите са константи. Zocrema, тъй като уважаваме частно изгубената вираза $\cos \frac(x)(y)$ $y$, тогава самият $y$ се променя и $x$ се презаписва с константа. Същата практика и навпаки. Тя може да бъде обвинена за лош знак, но лоша, тъй като самата константа е по-скоро „нула“.

Всичко трябва да бъде доведено дотам, че личният външен вид на един и същ вираз, но от различни промени може да изглежда различно. Например, чудейки се на такъв вирази:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Задача с демонстративни функции и логаритми

Мениджър No1

Нека запишем следната формула:

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Знаейки този факт, както и сгъваемите функции, можем да се опитаме да изплашим. Вярвам в два различни начина едновременно. Първата и най-очевидна е цената на работата:

\[(((z)")_(x))=((\left((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \вдясно) )^(\prime ))_(x)=((\left((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Да видим този вираз:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot yx .(((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot yx\cdot 0)((((y)^(2) )) =\frac(y)((((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Нека се обърнем към нашия дизайн и да продължим да го виждаме:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left( 1 +\frac(1)(y)\right)\]

Всичко, $x$ е покрито.

Въпреки това, както казах, в същото време ще се опитаме да защитим поверителността ми по различен начин. За кого с уважение:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Записваме го така:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) ) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) ) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

В резултат на това отнехме същата сума, а протекторът беше таксуван като по-малкият. За кого да завършите по-голямата част не забравяйте, че когато завършите шоуто, можете да добавите.

Сега съжалявам за $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \вдясно) )^(\prime ))_(y)=((\left((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Да изпеем един вираз okremo:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot yx \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)((((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Ние продаваме версията на нашия външен дизайн:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \вдясно)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Осъмна ми, че можех да се изгубя по друг начин, аз самият щях да изглеждам така.

Управител No2

Майната му за $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Нека спрем един вираз okremo:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)(( ((x)^(2))+y)\]

Продадено решение на екстериора: $$

Оста е толкова ясна.

Загубено за аналогия, за да се знае от $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \вдясно)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Един вираз, добре е, като завжди okremo:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Prodovzhuєmo virіshennya основен дизайн:

Всичко е покрито. Като бахит, угар, в зависимост от това как се приема промяната за диференциация, те изглеждат абсолютно различни.

нюанс череша

Оста е чудесен пример за това как една и съща функция може да се използва по два различни начина. Ос за чудо:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y)))) )\ наляво(1+\frac(1)(y) \вдясно)\]

\[(((z)")_(x))=((\left((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \вдясно)) ^(\prime ))_(x)=((\left((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

Когато избирате различни пътища, изчислението може да бъде различно, но ако е вярно, всичко е наред, същото е. Цените са достойни за класическите, а частните за по-късните. Пак ще позная от кого: угар е, все едно, каква смяна, ще взема добра, толкова. диференциация, vіdpovіd може vyyti zovsіm raznoyu. Чудо:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(( (( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(( ((x)^(2))+y)\cdot 1\]

Nasamkinets за фиксиране на целия материал, нека се опитаме да оправим два приклада.

Задача с тригонометрична функция и функция с три промени

Мениджър No1

Нека напишем тези формули:

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Нека сега виришуваме нашия вираз:

\[(((z)")_(x))=((\left((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Okremo porahuemo такъв дизайн:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ ляво(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Prodovzhuєmo virishuvati vihіdny viraz:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Това е остатъчната сума на частната промяна $x$. Сега съжалявам за $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Virishimo one viraz okremo:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Virishuemo до края на нашия дизайн:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Управител No2

На пръв поглед това дупе може да се сгъва, защото има три промени. Наистина, това е една от най-простите задачи за днешната видео обиколка.

Известен от $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ) ^(z)) \вдясно))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) ) )) \вдясно))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Сега нека разгледаме $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ) ((e)^(z)) \вдясно))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \вдясно))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Ние знаехме истината.

Сега е твърде много да знаете $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+(\left(y\cdot ((e )^(z)) \вдясно))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Похвалихме третата похидна, на която отново е изпълнена визията на поредната задача.

нюанс череша

Като бахит в тези два фасове няма нищо сгъване. Единственото нещо, поради което се объркахме, е защото сгъваемите функции често са застояли и застояли, тъй като насаме сме срамежливи, ще трябва да се променяме в зависимост от ситуацията.

В останалата част от задачата бяхме помолени да изработим функциите на три различни. Няма нищо страшно в това, протекторите наприкинци се пресичат, че вонята е една и съща.

Ключови моменти

Останалата част от vysnovki от днешния видео урок е както следва:

1. Частните разходи се вземат предвид като такива, сякаш са важни, за да се вземат предвид частните разходи чрез една промяна, като се решават всички промени, които са включени в тази функция, ние ги приемаме като константи.
2. Pratsyyuyuchi s private pokhіdnymi vikoristovuêmo tі sami стандартни формули, yak і z znichnym pokhіdnymi: suma, raznitsy, pokhіdnu create і private і, zrozumіlo, pokhіdnu сгъваеми функции.

Очевидно гледането на един видео урок не е достатъчно, за да мога да разширя отново тази тема, така че веднага на моя сайт, преди това видео, има набор от задачи, посветени на темата за този ден - влезте, завантажите, чуруликайте тази задача и се свържете В крайна сметка няма да имате ежедневни проблеми от частни, като спане или работа самостоятелно. Очевидно това далеч не е последният урок по съвременна математика, така че отидете на нашия уебсайт, добавете VKontakte, абонирайте се за YouTube, поставете харесвания и ни последвайте!

Частните празници остават начело на функциите на малък брой хора. Правилата за значимост са абсолютно същите като за функциите на една променлива, с единствената разлика, че една от следите на променливата се взема предвид в момента на диференциране с константа (константно число).

Формула

Частните дати за функцията на две променливи $ z (x, y) $ се записват в следващия поглед $ z "_x, z"_ y $ и следвайте формулите:

Частни празници първа поръчка

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Частни пътувания в различен ред

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Змишана е добра

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Функция за сгъване за лично съхранение

а) Нека $ z(t) = f(x(t), y(t)) $, тогава подобни функции за сгъване ще следват формулата:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$

б) Нека $ z (u, v) = z(x(u, v), y(u, v)) $, след което повторете следните частни функции след формулата:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Частните празници имплицитно дефинирани функции

а) Нека $ F(x,y(x)) = 0 $, тогава $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Нека $ F (x, y, z) = 0 $, тогава $ $ z "_x = - \frac (F"_x) (F"_z); z "_y = - \ frac (F"_y) ( F"_z) $$

Нанесете разтвор

дупе 1

Намерете частни стойности от първи ред $z(x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10$

Решение

За стойността на частната променлива в $ x $ ще използваме $ y $ като константна стойност (число): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ За стойността на частна функция спрямо $ y $, $ y $ е значимо с константа: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Ако не смеете да нарушите задачата си, тогава накарайте йога пред нас. Имаме нужда от по-подробно решение. Можете да научите за напредъка на изчислението и да вземете информацията. Tse dopomozhe всеки час вземете залата от vikladach!

Видповид

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

дупе 2

Намерете частни подобни функции в различен ред $ z = e ^ (xy) $

Решение

В същото време е необходимо да знаете първата стъпка, а след това, познавайки ги, можете да знаете стъпките от различен ред. Важна константа $ y $: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Нека поставим сега $ x $ постоянна стойност: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Познавайки първия pokhіdnі, по подобен начин познаваме и други. Ние инсталираме $ y $ за постоянно: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot(xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Задайте константа $ x $: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Сега загубих знанията за zmіshanu pokhіdnu. Можете да диференцирате $ z"_x $ по отношение на $ y $ или можете да диференцирате $ z"_y $ по отношение на $ x $, поради теоремата $ z""_(xy) = z""_(yx ) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot(xy)"_y = yxe^(xy) $$

Видповид

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

дупе 4

Нека $ 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 = 0 $ постави неявна функция $ F (x, y, z) = 0 $. Познайте частни събития от първи ред.

Решение

Записваме функцията във формата: $F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0$ $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Видповид

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Назначаване 1.11Нека е зададена функцията на два чейнджъра z=z(x,y), (x,y)D . Точка, петна М 0 (х 0 ;y 0 ) - вътрешна точка на зоната д .

Якшо в д е такъв квартал UM 0 точки М 0 , което за всички точки

след това точка М 0 се нарича локална максимална точка. И смисълът z(M 0 ) - локален максимум.

А що се отнася до всички точки

след това точка М 0 се нарича точка на локалния минимум на функцията z(x,y) . И смисълът z(M 0 ) - Местен минимум.

Локалният максимум и локалният минимум се наричат ​​локални екстремуми на функцията z(x,y) . На фиг. 1.4 обяснява геометричната промяна на локалния максимум: М 0 - насочете към максимума, към това, което е на повърхността z = z(x, y) ясна точка ° С 0 знаят повече от всяка друга точка ° С (Което има максимално местоположение).

С уважение, има точки по повърхността (напр. IN ), ако знаете повече ° С 0 , ale qi точки (напр. IN ) не є "съдебен" с точка ° С 0 .

Зокрема, точка IN потвърждава разбирането на глобалния максимум:

По същия начин се определя глобалният минимум:

Познаването на глобалните максимуми и минимуми ще бъде обсъдено в параграф 1.10.

Теорема 1.3(Необходим ум до крайност).

Нека функцията е зададена z = z (x, y), (x, y) D . Точка, петна М 0 (х 0 ;y 0 д - точка на локален екстремум.

Какво имаш z" х і z" г , тогава

Геометричното потвърждение е "очевидно". Какво следва ° С 0 на (фиг. 1.4), за да начертаете дотично равна зона, там "естествено" преминават хоризонтално, т.е. под капака 0° към ос ох аз към ос OU .

Същото важи и за геометричната промяна на частните роднини (фиг. 1.3):

каквото трябваше да донеса.

Назначаване 1.12.

Какво следва М 0 помисли (1.41), тогава се нарича стационарна точка на функцията z (x, y) .

Теорема 1.4(Достатъчен ум до крайност).

Да попитам z = z (x, y), (x, y) D , тъй като в действителната близост до точката може да има частни събития от различен порядък М 0 (х 0 ,y 0 )Д . И защо М 0 - Стационарна точка Да изчислим:

Доказателството на теоремата на Використ от тези (формулата на Тейлър за функцията на редица променливи и теорията на квадратичните форми), което не се разглежда от никой помощник.

дупе 1.13.

Отидете до екстремум:

Решение

1. Знаем стационарните точки, които нарушават системата (1.41):

така че намерихме някои стационарни точки. 2.

след теорема 1.4 точките имат минимум. И защо

съгласно теорема 1.4 в точката

Максимум. И защо