Kompleksni logaritmi. Značaj i snaga Logaritamska funkcija kompleksnih brojeva za čajnike

Imenovanje te vlasti

Kompleksna nula nema logaritam, kompleksne eksponencijalne skale ne poprimaju nultu vrijednost. Nenulove texvc može se predstaviti u formi prikaza:

Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - math/README - z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, de Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - finaliziranje ažuriranja.): k- priličan broj

Todi Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - math/readme: \mathrm(Ln)\,z znati formulu:

Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - math/readme: \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \lijevo(\varphi + 2 \pi k \desno)

Evo Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - završetak podešavanja.): \ln\,r=\ln\,|z|- logaritam govora. Zvukovi vrište:

Iz formule je jasno da je u jednom i manjem od jedan z vrijednost jasno vidljiv dio promjene intervala Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc . Značenje se zove vodeće vrijednosti kompleksni prirodni logaritam. Poziva se Vidpovidna (već nedvosmislena) funkcija head gulka logaritam je naznačen Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - math/README: \ln\,z. Inode kroz Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - matematika/README - podešavanje.): \ln\, z također označava vrijednost logaritma, koji ne leži tako na glavi glave. Yakscho Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - završetak nadogradnje.): z- broj govora, tada se smut vrijednost yogo logaritma uzima sa najvećim govornim logaritmom.

Iz inducirane formule je također jasno da je govorni dio logaritma označen uvredljivim rangom kroz komponentu argumenta:

Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - math/README: \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Mala slika pokazuje da je govorni dio, kao funkcija komponenata, centralno simetričan i da leži samo malo dalje do klapa koordinata. Na okomitoj osi pojavit će se omot grafa logaritma govora. Blizu nuli, funkcija desno Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - finaliziranje ažuriranja.): -\infty.

Logaritam negativnog broja nalazi se iza formule:

Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - math/readme: \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 , \ pm2\ tačke)

Primijenite vrijednost kompleksnog logaritma

Uvođenje smut vrijednosti logaritma ( Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - finalizacija.): \ln) taj žestoki izraz joge ( Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - math/readme: \mathrm(Ln)) za valjane argumente:

Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - podešavanje.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - finalizacija.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - math/README: \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Čuvajmo se kada pretvaramo složene logaritme, vrakhovuyuchi, jer je smrad bogat, a zbog jednakosti logaritama bilo kojeg virusa, jednakost ovih virusa se ne ističe. Butt pardon mirkuvannya:

Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. matematika/README - matematika/README - podešavanje.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi- Očigledno pomilovanje.

Značajno je da ljevak vrijedi vrijednost glave logaritma, a desnoruki vrijednost donje glave ( Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - finalizacija: k=-1). Razlog pomilovanja je nepažnja nadležnih Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - matematika/README - podešavanje.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, jak, vzagali naizgled, može biti na ivici složenog načina, čitava nebrojena vrijednost logaritma, a ne samo smut vrijednost.

Kompleksna logaritamska funkcija i Rimanova površina

Na osnovu jedne veze, Riemannova površina logaritma je univerzalna kriva za kompleksnu ravan bez mrlje. Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc .

Analitičko praćenje

Logaritam kompleksnog broja može se dodijeliti i kao analitičko proširenje govornog logaritma na cijelu kompleksnu ravan. Hajdemo krivo Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc početi u samoći, ne proći kroz nulu i ne mijenjati negativni dio govorne ose. Ista smut vrijednost logaritma u konačnim tačkama Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - finalizacija podešavanja.): w krivulja Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - math/README: \Gamma može se pripisati formuli:

Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - podešavanje.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Yakscho Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - math/README: \Gamma- jednostavna krivulja (bez samopermutacije), zatim za brojeve koji leže na njoj, logaritamska totemnost se može fiksirati bez borbe, na primjer:

Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - finalizacija.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Glava logaritamske funkcije je neprekidna i diferencirana na cijeloj kompleksnoj ravni, ali na negativnom dijelu govorne ose, na Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - finaliziranje ažuriranja.): 2\pi. A ova činjenica je rezultat podjele očitog dijela vrijednosti glave po intervalu Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - finaliziranje podešavanja.): (-\pi, \pi]. Ako pogledate sve dvorane funkcije, onda kontinuitet može biti u svim tačkama, osim na nuli, de funkcija nije dodijeljena. Kako dozvoliti krivo Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - math/README: \Gamma za pomicanje negativnog dijela ose govora, zatim prvo za prijenos rezultata sa vrijednosti glave na susceptus glave, a na kožnom koraku rezultat je sličan pomaku logaritamske funkcije duž nogu (div. bebe).

3 formule za analitičko praćenje, koliki bi trebao biti logaritam logaritma:

Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - podešavanje.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\over z)

Za bilo koji ulog Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - finalizacija finalizacije.): S, koja je svrha Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - finaliziranje ažuriranja.): 0 :

Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - podešavanje.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Integral je uzet iz pozitivnog smjera (anti-godišnja strelica). Vrijednost leži u osnovi teorije oporavka.

Također možete izračunati analitički nastavak kompleksnog logaritma uz pomoć redova koji se koriste za govorni obrazac:

Prote z mind tsikh ryadív viplivaê, scho u jedinici zbroj na broj dorivnyuê nula, tako da se serija dovodi samo do glave funkcije bogate vrijednosti kompleksnog logaritma. Radijus stanovanja na oba reda vrata 1.

Veze sa obrnutim trigonometrijskim i hiperboličkim funkcijama

Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - završetak podešavanja.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (í z + \sqrt(1-z^2)) Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - matematika/README - podešavanje.): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - finalizacija.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; math/README - matematika/README - podešavanje.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - završetak postavljanja.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- obrnuti hiperbolički sinus Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - završetak podešavanja.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- obrnuti hiperbolički kosinus Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - finaliziranje podešavanja.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- obrnuta hiperbolička tangenta Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - završetak podešavanja.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\desno)- obrnuti hiperbolički kotangens

istorijski crtež

Prvi koji su pokušali da reše logaritme za kompleksne brojeve na prelazu iz XVII-XVIII veka, Leibniz i Johann Bernoulli, međutim, nisu uspeli da stvore koherentnu teoriju - iz ovih razloga što ni tada nije bilo jasno razumeti sam logaritam. Diskusija o ovoj temi vođena je zajedno između Leibniza i Bernoullija, a sredinom 18. vijeka između d'Alemberta i Eulera. Bernuli i d'Alembert su razmatrali šta bi trebalo da bude Nemoguće je otvoriti virus (pobjednički fajl texvc NE znanje; Div. math/README - podešavanje.): \log(-x) = \log(x), slično kao Leibnitz, nakon što je dokazao da je logaritam negativnog broja jasan broj . Novu teoriju logaritama negativnih i kompleksnih brojeva objavio je Ojler 1747-1751, a danas se, zapravo, ni na koji način ne razmatra. Želeći super-devojku trival (D'Alembert, pošto je branio svoju misao i navodno ih argumentovao u člancima svoje "Enciklopedije" i drugim praksama), Ojlerov pidhid do kraja 18. veka oduzeo je duboko znanje.

Napišite recenziju o članku "Složeni logaritam"

Književnost

Teorija logaritama

• Korn R., Korn T.. – M.: Nauka, 1973. – 720 str.
• Svešnjikov A. G., Tihonov A. M. Teorija funkcija kompleksne promjene. – M.: Nauka, 1967. – 304 str.
• Fikhtengolts G.M. Tok diferencijalnog i integralnog proračuna. - Pogled. 6. – M.: Nauka, 1966. – 680 str.

Istorija logaritama

• Matematika 18. veka // Pod uredništvom A.P. Juškeviča, u tri toma. - M.: Nauka, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (ur.). Matematika XIX veka. Geometrija. Teorija analitičkih funkcija. - M.: Nauka, 1981. - T. II.

Bilješke

1. Logaritamska funkcija. //. - M.: Radijanska enciklopedija, 1982. - T. 3.
2. , tom II, stranice 520-522.
3. , sa. 623..
4. , sa. 92-94.
5. , sa. 45-46, 99-100.
6. Boltyansky St R., Efremovich St.. - M.: Nauka, 1982. - P. 112. - (Kvantna biblioteka, br. 21).
7. , tom II, stranice 522-526.
8. , sa. 624..
9. , sa. 325-328.
10. Ribnikov K. A. Istorija matematike. U dva toma. - M.: Pogled. MDU, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231.
11. , sa. 122-123.
12. Klein F.. - M.: Nauka, 1987. - T. II. Geometrija. - S. 159-161. – 416 str.

Lekcija koja karakteriše kompleksni logaritam

Vidjevši divlju vrućinu koja nas je gušila, jurnuli su u vrećama kroz široku dolinu, ne misleći na one koji bi mogli malo popiti na drugom “gore”... Jednostavno nismo imali sat vremena da razmišljamo o tome - već smo se okovali .
Stvorenje je poletelo tačno iznad nas, glasno zveckajući zubatom vilicom, a mi smo jurili, jurišajući iz snage, prskajući u pravcu odvratne sluzave kiše i dobre misli, da bi motor "čudesne ptice" još brže zacvrkutao. ... bogatiji švedski i špijunirajući u tome, jednostavno nismo imali šanse. Što se zla tiče, ni jedno drvo nije raslo u blizini, nije bilo ni žbunja, ni kamenja, za kojim bi se moglo sakriti, samo se u daljini vidjelo žustro crnilo skelje.
- Tudy! - Upirući prstom u isti kostur, Stela je vrisnula.
Ale raptom, nimalo iznenađujuće, točno ispred nas pojavio se zvuk stote u obliku kojeg nam je bukvalno uhvatila krv u venama... To vinykla nibi "iz zraka" i bila je na pravi smežuran način ... Veličanstvena crna lešina zhorstko kosa, rolyachi yogo slična trbušastom medvjedu, samo što je ovaj "wedmid" bio visok kao plijen sa tri površine... Kvrgava glava čudovišta "ranjena" sa dva veličanstvena zakrivljena rogovi, i par neimovirno dovgi ulepšavali su zhahliv testeninu, gostrikh, kao noževi, kolki kolki, tílki na jaku, noge su se klatile kao praćka... I eto, nevidljivo nas podižući, čudovište je lako uletelo u brdo i ....podigavši ​​leteću "gidotu" na jednu od njenih veličanstvenih biva... Bili smo zapanjeni.
- Bízhimo! Stella je vrisnula. - Tíkaêmo, do vina "okupacija"!
I već smo bili spremni da krenemo ponovo ne osvrćući se, kao zanos koji nam probija tanak glas iza leđa:
- Devojko, pogledaj! Ne treba kvačica!
Naglo su se okrenuli - iza nje je stajala uplakana djevojka, lijepa crnooka djevojka ... i mirno pjevala čudesno, šta joj je došlo! Pa, definitivno je dan iznenađenja!.. Devojka se, diveći nam se, srdačno nasmešila, ne bojimo se reda dlakavog čudovišta, koje treba uputiti.
- Budite ljubazni, nemojte se boriti protiv joge. Vin je ljubazan. Vikali smo da te juri Ovara, a oni su nam pomogli. Dean je mladić odmah sustigao. Zaista, draga moja?
“Garniy” je gunđao, proboden poput lake gliste, i obrijao glavu, lizavši maskiranu djevojku.
- A ko je Ovara i zašto nas je napala? - Pitao sam.
- Vaughn napada sve, ona je koliba. Nisam više bezbedna - mirno je rekla devojka. - Možeš li da spavaš, šta radiš ovde? Zar ne vidite, devojke?
- Ne, ne gledaj. Samo smo šetali. Ale, dobro, hrana je na tebi - a zašto si ti tu lopova?
Idem kod mame... - namršti se mali. - Umrli smo odjednom, a ipak je, mislim, popila suddi. I sad živim ovdje, ali ništa ne govorim, jer nema vremena za to. Misliš da upravo dolazim...
- Zašto ne dolazite češće i s pravom? Tamo je tako pohlepno!.. - razmijenila je Stella svoje nabore.
– Ne mogu da ostavim nijednu, pitam se za njom da ništa nije postalo od nje. Í os Dín zí me... Vín pomozi mi.
Prosto nisam mogao da verujem... Ova mala dobra devojčica je dobrovoljno otišla iz svog toplog i ljubaznog „gore“, da živi u ovom hladnom, škrtom i stranom svetu, čuvajući svoju, navodno, „vinnutsku“, majku! Nije bogato, mislim, poznavao bih tako dobre i samopouzdane (da odrastu!) ljude koji bi bili pozvani na takav podvig... Odmah sam pomislio - možda, samo nije shvatila šta je htela da kaže sebi?!
- A koliko dugo si ovde, devojko, zar nije tajna?
- Ne tako davno ... - rezime vídpovila, šmekćući prstima crni uvojak svoje kovrdžave kose, crnooki mali. - Pio sam na tako toplom svetlu, da sam umro!.. Vin je bio tako ljubazan i bistar! Bio sam tako uplašen! Ej zašto se to nigde nije dogodilo... A onda sam pao u ovaj zhalivi svet... I tada je njena saznala. Bio sam tako uplašen ovdje... Tako prirodno... Mama mi je rekla da idem, zalajala je. Ale, ne mogu da se otarasim... Sad imam prijatelja, ljubaznog Dekana, i vec se osecam kao da sam tu.
Njen "dobri prijatelj" je ponovo postao ljut, videvši da se kod Stele pojavile veličanstvene "niže astralne" naježenosti... Ustao sam, pokušao sam da se malo smirim, i počeo da se čudim ovoj dlakavoj divi ... izgubili su poštovanje , motorički pokazujući zube na svom pašnjaku... Iskočio sam.
- Oh, ne svađaj se, budi ljubazan! Zašto bi se smejao, - smirila se devojka.
Pa... Uz takav smeh, počećete da naučite mnogo... - pomislio sam.
- A kako se to dogodilo, o čemu ste razgovarali s njim? - Pitala je Stela.
- Da sam samo došao ovamo, još više sam se uplašio, pogotovo ako su vas takva čudovišta danas napala. I jednom, ako ne poginem malo, Dean, predavši me kao cjelinu, kupi strašne leteće "ptice". I ja sam zarežao u potiljak, ali onda sam shvatio, kao novo zlatno srce... Vin je najbolji prijatelj! Nisam imao takvih, da sam se zadržao na Zemlji.
- Ali kako ste zvučali tako sjajno prije novog? Aje bešćutnost novog nije poznata, ajde da se tako izrazim, zvična je...
- I tu sam naučio jednu jednostavnu istinu, nisam se setio šta sam mislio na Zemlji - bezobraznost nije bitna, jer ljudi imaju dobro srce... A onda je sva lepota negde nestala... A Din, iako je strašno, onda zauvek budi ljubazan, i zauvek me čuvaj, vidim ga dobrog i ničega se ne bojim. I možete pozvati na zovníshnosti.
- Znate li da ćete biti ovde još dugo, bogatiji nego što ljudi žive na zemlji? Zašto ne želiš da ostaneš ovde?
- Evo moje majke, oca, ja sam mushu pomozi mu. A ako bude „izlazak“, da ponovo živim na Zemlji, idem i ja... Tamo, zaboga, više. U ovom strašnom svijetu ljudi su još čudesniji - ne smrde i ne zadržavaju se u vatri. Zašto tako? Da li znate za to?
- A ko ti je rekao da ti je majka otišla, da opet živim? - Stella se zaglavila.
- Dean, očigledno. Znate mnogo, čak i ako već dugo živite ovdje. I rekavši da ako (moja majka i ja) ponovo živimo, imaćemo druge ljude sa nama. I onda u meni više nećete biti majke... Onda želim da se družim s njom odmah.
- A kako razgovaraš s njim, sa svojim dekanom? - Pitala je Stela. – Zašto ne želiš da kažeš svoje ime?
I istina je - nismo znali kako zvuči! A zvezde nisu ni znale...
- Zvao sam se Marija... Ali šta ovo znači?
- Pa, očigledno! - Stela se nasmijala. - A kako da razgovaram s tobom? Os ako dođeš - tamo ćeš imenovati novu, ali za sada ostani ovdje, živjet ćeš u starosti. Jesi li govorila ovdje iz Kimosa, djevojko Marie? - Za zvičkoju preskakanje sa one na temu, upitala je Stela.
- Dakle, pričala sam... - ravnodušno je rekla devojka. - Ale, smrad je tako divan. I tako nesretan... Zašto smrdiš tako nesretan?
- A híba one, šta radiš ovdje, možeš li biti sretan? - Rado sam se hranio. - Naviti sama ovde "stvarnost" unapred vozeći se u nadama nalik!.. Kako možeš biti srećan ovde?
- Ne znam. Da sam sa mamom, sretan sam, mogao bih i ja biti sretan ovdje... Istina je, ovdje je strašno, a ja se ovdje više ne uklapam... Da sam rekao da sam dobar za nju , dosta je vikala na mene i govorila, da sam "nazalost bez mozga"...ali se ne pokazujem...znam da sam samo uplasen. Dakle, kao i ja...
- Možda je samo htela da te spase tvoje "ekstremne" odluke, i da joj se vratiš "iznad"? - Pažljivo, šob ne ružan, Stela je spavala.
- Ne, zvičajno dobro... Ale, hvala na lepim rečima. Mama me često zvala lošim imenima, da me dovede na Zemlju... Ali znam da nema ljutnje. Vaughn je jednostavno bio nesretan zbog onih koje sam rodio i često mi je govorio da sam uništio svoj život. Ali to nije bila moja greška, zar ne? Uvek sam pokušavao da budem srećan, ali zašto nisam ni ulazio u to... Ali u meni nije bilo tata. - Marija je bila raskošnija, a glas joj je bio drhtav, umjesto da je osovina plakala.
Mi i Stella su se pogledale, a ja sam bio još više impresioniran, što sam vidio slične misli... povrh toga, još bolnije lažne.
- Axis Dín kazhe, ja sam dobro, a ja radim jogo još sretniji! - zamuca mali veseliji. - Želim da budem prijatelj sa mnom. A drugi, kojima sam se ovde rugao, su čak hladniji od bajdužija, i ponekad donose zlo... Pogotovo oni za koje su vezana čudovišta...
- Čudovišta - šta?.. - nismo razumeli.
- Pa oni imaju strašna čudovišta na leđima i čini im se da smrad može biti robot. A ako ne slušate, čudovišta su užasno zabrinuta za njih... Pokušao sam da razgovaram s njima, ali čudovišta to ne dozvoljavaju.
Nismo razumeli apsolutno ništa od ovog "objašnjenja", ali samu činjenicu da takve astralne stvari potresaju ljude, nismo "ostvarili" u trenutku, zato smo se nahranili, kakvi možda jesmo, jednom čudesnom manifestacijom magije.
- Oh, ta škripa! Posebno bílya "crna opekotina". Ima vina, iza drveća. Čekaj, mi tezh s tobom pídemo?
- Zvičajno, za moje dobro! - Stela je odmah dočekana.
Meni tezh, da budem iskren, nije se ni nasmijao izgledu da zustrichatsya kimoshche, "motorni i nerazumni", posebno samouki. Aleksej tsíkavíst je savladao strah, a mi bismo, naravno, otišli, bez obzira na one koji su se plašili mališana... Ali da smo sa sobom imali takvog zahisnika kao što je Din, bilo bi zabavnije...
Prva osovina, u kratkom vremenu, pred našim širom otvorenim očima, rasplamsao se pravi pakao... ...Božanstvena vina, očigledno, ne buv, nego bov samo da podlegnem, kao da mogu da podlegnem niži astral. Ale, treba te više paziti - čudesno predočivši vino joge... Nažvrljao sam joga slike u knjigu, kao bule u biblioteci mog oca, i zapamtio te motore u sećanju, kao da su nosili u sebi više joga slika...
- Kakva eksplozija!.. - šapnula je Stela u svojoj golotinji.
Moglo bi se, pojedinačno, moglo bi se reći da smo trčali ovdje, na "vrhovima", već je bogato... Ali nije moguće da tako nešto vidimo u našoj najgoroj noćnoj mori! veličanstveni, koji se maše u blizini stene, ravan „kotlić“, na čijem je dnu bubrila grimizna „lava“... Rozpečenje je svuda „pucalo“ sa čudesnim crvenim oblacima, koje su spalahuli, iz kojih je opstajala raspevana para. i pao sa velikim kapljicama. na zemlji, ili na ljudima, kao da su se u tom trenutku podigli... Nesebični krici su se uljuljali, ali su se odmah pokrenuli, više na leđima tihih ljudi sjedila su ogidna stvorenja, kao zadovoljnog pogleda, „navijali su ” njihove žrtve, ne brutalno pohlepne na ove patnje... Ispod bosih nogu ljudi pekao se crveni kamen, mehurićao i "topio" hranu vrelinom grimizne zemlje... Krizne veličanstvene pukotine izbijale su prskanjem vrelog para i, pekući stopala ljudskih bića, kojih je bilo posvuda, bol. visi, vape uz lagani dim... A uz samu sredinu "jame" tekla je jarkocrvena, široka, vatrena reka, na jaku, čas za satom, ta ogidní čudovišta koja su nezaustavljivo žuborila nad tim chi ínsha mučnim danom, jak, padajući, doviknuo je još kratko prskanje narandžastih iskri, i baš tu, prerušena u ljubavnicu u pahuljastoj bijeloj izmaglici, znala je... već neko vrijeme... Bilo je pakleno, a mi smo, Stela, htjeli da zna kako da se "kontaktira"...
– Šta je robitim?.. – šapnula je Stela tihim grozničavim glasom. - Želiš li ići dole? Hiba, možemo li im pomoći? Začudite se koliko je bogat!
Stajali smo na crno-smeđom, toplinom sušenom brijaču, čuvani bolom, nedostatkom bijega i nasiljem, i osjećali kako su podovi djetinjasti nemoćni, koje je moja ratnica Stela ovoga puta kategorički sklopila i bila spremna da bula na prvi poziv juri na svoje, tako drage i gore, gornji "na vrh"...

Materijal sa Wikipedije - besplatne enciklopedije

Imenovanje te vlasti

Kompleksna nula nema logaritam, kompleksne eksponencijalne skale ne poprimaju nultu vrijednost. Nenulove $z$ može se predstaviti u formi prikaza:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$ de $k$- priličan broj

Todi $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$ znati formulu:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash lijevo(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash desno)$

Evo $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$- logaritam govora. Zvukovi vrište:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash dots)$

Primijenite vrijednost kompleksnog logaritma

Uvođenje smut vrijednosti logaritma ( $\backslash ln$) taj žestoki izraz joge ( $\backslash mathrm(Ln)$) za valjane argumente:

$\backslash ln(1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln(i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

Čuvajmo se kada pretvaramo složene logaritme, vrakhovuyuchi, jer je smrad bogat, a zbog jednakosti logaritama bilo kojeg virusa, jednakost ovih virusa se ne ističe. Butt pardon mirkuvannya:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$- Očigledno pomilovanje.

Značajno je da ljevak vrijedi vrijednost glave logaritma, a desnoruki vrijednost donje glave ( $k=-1$). Razlog pomilovanja je nepažnja nadležnih $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$, jak, vzagali naizgled, može biti na ivici složenog načina, čitava nebrojena vrijednost logaritma, a ne samo smut vrijednost.

Kompleksna logaritamska funkcija i Rimanova površina

Na osnovu jedne veze, Riemannova površina logaritma je univerzalna kriva za kompleksnu ravan bez mrlje. $0$.

Analitičko praćenje

Logaritam kompleksnog broja može se dodijeliti i kao analitičko proširenje govornog logaritma na cijelu kompleksnu ravan. Hajdemo krivo $\backslash Gamma$ početi u samoći, ne proći kroz nulu i ne mijenjati negativni dio govorne ose. Ista smut vrijednost logaritma u konačnim tačkama $w$ krivulja $\backslash Gamma$ može se pripisati formuli:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash preko\; u)$

Yakscho $\backslash Gamma$- jednostavna krivulja (bez samopermutacije), zatim za brojeve koji leže na njoj, logaritamska totemnost se može fiksirati bez borbe, na primjer:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash forall\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash colon\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

Glava logaritamske funkcije je neprekidna i diferencirana na cijeloj kompleksnoj ravni, ali na negativnom dijelu govorne ose, na $2\backslash pi$. A ova činjenica je rezultat podjele očitog dijela vrijednosti glave po intervalu $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. Ako pogledate sve dvorane funkcije, onda kontinuitet može biti u svim tačkama, osim na nuli, de funkcija nije dodijeljena. Kako dozvoliti krivo $\backslash Gamma$ za pomicanje negativnog dijela ose govora, zatim prvo za prijenos rezultata sa vrijednosti glave na susceptus glave, a na kožnom koraku rezultat je sličan pomaku logaritamske funkcije duž nogu (div. bebe).

3 formule za analitičko praćenje, koliki bi trebao biti logaritam logaritma:

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash preko\; z)$

Za bilo koji ulog $S$, koja je svrha $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash over\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

Integral je uzet iz pozitivnog smjera (anti-godišnja strelica). Vrijednost leži u osnovi teorije oporavka.

Također možete izračunati analitički nastavak kompleksnog logaritma uz pomoć redova koji se koriste za govorni obrazac:

{{{2}}}

(red 1)

{{{2}}}

(red 2)

Prote z mind tsikh ryadív viplivaê, scho u jedinici zbroj na broj dorivnyuê nula, tako da se serija dovodi samo do glave funkcije bogate vrijednosti kompleksnog logaritma. Radijus stanovanja na oba reda vrata 1.

Veze sa obrnutim trigonometrijskim i hiperboličkim funkcijama

$\backslash operatorname(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (í\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arsh)z\; =\; \backslash operatorname(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- obrnuti hiperbolički sinus $\backslash operatorname(Arch)z=\backslash operatorname(Ln)\; \backslash left(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash right)$- obrnuti hiperbolički kosinus $\backslash operatorname(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash right)$- obrnuta hiperbolička tangenta $\backslash operatorname(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash right)$- obrnuti hiperbolički kotangens

istorijski crtež

Prvi koji su pokušali da reše logaritme za kompleksne brojeve na prelazu iz XVII-XVIII veka, Leibniz i Johann Bernoulli, međutim, nisu uspeli da stvore koherentnu teoriju - iz ovih razloga što ni tada nije bilo jasno razumeti sam logaritam. Diskusija o ovoj temi vođena je zajedno između Leibniza i Bernoullija, a sredinom 18. vijeka između d'Alemberta i Eulera. Bernuli i d'Alembert su razmatrali šta bi trebalo da bude $\backslash log(x)\; =\; \backslash log(x)$, slično kao Leibnitz, nakon što je dokazao da je logaritam negativnog broja jasan broj . Novu teoriju logaritama negativnih i kompleksnih brojeva objavio je Ojler 1747-1751, a danas se, zapravo, ni na koji način ne razmatra. Želeći super-devojku trival (D'Alembert, pošto je branio svoju misao i navodno ih argumentovao u člancima svoje "Enciklopedije" i drugim praksama), Ojlerov pidhid do kraja 18. veka oduzeo je duboko znanje.

Napišite recenziju o članku "Složeni logaritam"

Književnost

Teorija logaritama

• Korn R., Korn T.. – M.: Nauka, 1973. – 720 str.
• Svešnjikov A. G., Tihonov A. M. Teorija funkcija kompleksne promjene. – M.: Nauka, 1967. – 304 str.
• Fikhtengolts G.M. Tok diferencijalnog i integralnog proračuna. - Pogled. 6. – M.: Nauka, 1966. – 680 str.

Istorija logaritama

• Matematika 18. veka // Pod uredništvom A.P. Juškeviča, u tri toma. - M.: Nauka, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (ur.). Matematika XIX veka. Geometrija. Teorija analitičkih funkcija. - M.: Nauka, 1981. - T. II.

Bilješke

1. Logaritamska funkcija. //. - M.: Radijanska enciklopedija, 1982. - T. 3.
2. , tom II, stranice 520-522.
3. , sa. 623..
4. , sa. 92-94.
5. , sa. 45-46, 99-100.
6. Boltyansky St R., Efremovich St.. - M.: Nauka, 1982. - P. 112. - (Kvantna biblioteka, br. 21).
7. , tom II, stranice 522-526.
8. , sa. 624..
9. , sa. 325-328.
10. Ribnikov K. A. Istorija matematike. U dva toma. - M.: Pogled. MDU, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231.
11. , sa. 122-123.
12. Klein F.. - M.: Nauka, 1987. - T. II. Geometrija. - S. 159-161. – 416 str.

Lekcija koja karakteriše kompleksni logaritam

Vidi se da ova snažna, čudesna osoba, koja se promijenila pod očaravajućom infuzijom, okreće novu crnu, gracioznu djevojku punu ljubavi.
Rostov je obilježio novi svijet Dolohova i Sonje; ale bez potpisivanja, yakí tse buli novi vídnosiny. „Smrdi tamo brkovi u kohoš“, misleći na vino o Sonji i Nataši. Ali tebi nije bilo tako, kao prije, u miru sa Sonjom i Dolohovom, a prije si postao kao kod kuće.
U jesen 1806. sve je ponovo počelo da govori o ratu protiv Napoleona sa većom žestinom, nižom od poslednje sudbine. Imenovanja buv nisu samo regrutovala regruta, već i 9 ratnika od hiljadu. Svuda su proklinjali Bonaparta anatemom, a u Moskvi je bilo samo malo smisla za predstojeći rat. Za porodicu Rostov, sav interes je u pripremama pred rat, samo u činjenici da Mikoluška nije previše dobra da bi je ostavila u Moskvi i da je vičikovala samo desetinu od prijema Denisova kako bi s njim otišao u puk. svetac. Budući dan ne samo da nije želio da se zabavljate, već vas je ipak želio do kraja. Najviše vremena provodim kod kuće, na obidahu, večerima i balovima.

XI
Trećeg dana slave, Mikola je ozlijedio svoj dom, koji je ostatak sata rijetko šetao s njim. Ovo je zvanična oproštajna uvreda, oskolki vina iz Denisovym í̈hav u puku nakon Khreshchennya. Dvadeset uvrijeđenih ljudi, uključujući Dolohova i Denisova.
Nikole ponovo u Rostovovoj kući ljubavi, atmosfera gušenja nije sebi dozvolila da osete takvu snagu, kao da je dan sveti. “Uhvati veselo hvilini, protresi kohati, ubi se! Samo jedna te ista pomoć na svijetu - reshta sve sitnice. Ja sam samo zauzet ovdje“, djelovala je atmosfera. Mikola, kao i zauvek, namotavši dva para konja, a onda ne stigavši ​​da obiđe sva mesta, de Jomu je trebao plen i gde je Jogo pozvan, pošto je stigao kući pre uvrede. Kao samo vin uvishov, vin komemorira i vidi intenzitet ljubavne atmosfere u separeu, a osim toga vin komemorira čudesnu zamíshannu koja panuê mízh među aktivnim članovima zavjere. Posebno su blagosloveni bili Sonja, Dolohov, stara grofica i mala Nataša. Mikola je razuman, nije dovoljno postati obidu između Sonje i Dolohova, a uz moćnu čujnstju srca, još niže i amajlije, za sat vremena uvrede, povodom obojice. Iste večeri trećeg dana, sveti mav buti jedan od tihih bala sa Jogelom (učiteljicom plesa), kao davanje vina od sveca za sve njene učenike, tog učenika.
- Nikolenko, hoćeš li u Jogel? Budi ljubazan, idi - rekla ti je Natalija - tražeći od tebe posebno vino, a Vasil Dmitrič (tse buv Denisov) je tu.
- Gde god ne idem po nalog ´afíní!
- Kad ga dobijem! Slavio sam Arkharovim, oni imaju žurku, - kaže Mykola.
- I ti? - Okrenuo sam se Dolohovu. Dobro sam se naspavao, sećajući se šta ne treba da hranite.
- Dakle, možda... - Dolohov hladno i ljutito, gledajući Sonju i, namršten, gledajući tako u klub, čudeći se P'eru, ponovo gledajući u Mikolu.
„Je ê", pomisli Mikola, a još više se potvrđujući u svom priznanju da mu je Dolohov odmah napisao uvredu. Osvojiti Natalku i pitati šta je to?
- A ja sam te zezala - rekla je Nataša, uzdišući prema novom. - Rekoh, nisi htela da veruješ u sve, - rekla je trijumfalno, - izgradivši Sonjin predlog.
Pošto ste se dosta brinuli o Mykola Sonya tokom čitavog sata, iako nije bolelo, ako ste se osećali krivim. Dolokhov buv je dostojan i u deyaky vidnosins svijetla zabava za Sir Sonya. Sudeći po izgledu stare grofice, to vam svjetlo nije moglo pomoći. Prije toga sam se osjećao kao Mikoli, ako sam to osjetio, bio sam ogorčen na Sonju. Vín se spremao reći: „Čudesno je, imalo je smisla, morate zaboraviti djetinjaste obítsyanki i prihvatiti prijedlog“; ali nisam uhvatio krivicu više da kažem.
- Možeš se pokazati! vona led, zowsim led! Natalia je progovorila. - Vaughn je rekao, scho za ljubav ínshoy, - dodala je, troch pomochavsya.
“Tako moja Sonya to ne bi mogla popraviti!” pomislio je Mykola.
- Mama nije tražila skilki, ona je to uradila, i znam da neće promeniti ono što je rekla...
- I moja majka je pitala njenu! - Z dokor rekao je Mikola.
- Da - rekla je Natalka. - Znaš, Nikolenko, ne ljuti se; ali znam da se nećeš sprijateljiti s njim. Znam, Bog zna zašto, znam sigurno, nećeš se sprijateljiti.
„Pa ne znaš šta“, reče Mikola; - Alemeni treba da razgovara sa njom. Kakva lepotica, Sonya! – dolivanje vina, cerekanje.
- Tse such charívníst! Ja ću ti dati njenu. - Ja Natalka, poljubivši brata, uletjela sam.
Kroz udarac, Sonja je otišla, opaka, to je vino propalo. Mykola Pidiishov joj je poljubio ruku pred njom. Ovo je bio prvi put da su smradovi po dolasku stalno pričali o svojoj kohanji.
- Sofi, - reče bojažljivo, a onda ćemo se svi sve vedrije osmehnuti, - kao da želiš da glumiš ne samo u vedroj, u pobedničkoj zabavi; ale vin prelijep, plemenit čovjek ... vin prijatelju ...
Sonya je prekinula jogo.
- Već sam primetila - rekla je žurno.
- Ako glumiš za mene, onda se bojim da na meni...
Sonya je ponovo prekinula Yoga. Vaughn je zurio u novu s blaženim, njišućim pogledom.
- Nikolas, nemoj mi reći - reče skitnica.
- Ne, ja sam mushu. Možda je to dovoljno [arogancija] s moje strane, ali jednostavnije rečeno. Ako me pratite, onda sam dužan da vam kažem celu istinu. Volim te, mislim više...
„Stara sam“, rekla je Sonja, uhvativši se.
- Ne, ali ja sam hiljadu puta bio ugušen i ugušen, želeći takav osećaj prijateljstva, poverenja, ljubavi, ne mogu da dođem do nikoga, kao do tebe. Održimo me mladom. Mama ne želi ništa. Pa, ja jednostavno ništa ne krivim. I molim vas da razmislite o predlogu Dolohova, - rekavši vino, nasilno iznudivši poziv svog prijatelja.
- Ne govori mi. Ne želim ništa. Volim te, kao brata, i zauvek voljenog, i od mene se ne traži ništa više.
- Vee anđele, nisam te vrijedan, ali se manje bojim da te prevarim. - Mikola ti je još jednom poljubio ruku.

Yogel Mav najzabavniji Bali u Moskvi. Ovo su govorile majke, diveći se svojim adolescentima, [djevojčicama], šta govore o svojim vlastitim vičenim pasovima; govorili su i sami adolescenti i adolescenti, [djevojke i mladići], plesali su dok nisu pali; Ove odrasle djevojke i mladi ljudi, kao da su došli na balove sa mišlju da odu njima i onima koji u njima znaju najbolje. Kakve su sudbine na ovim balovima postale dvije kurve. Dve princeze Gorčakov su znale imena i otišle su u inostranstvo, i pustili su više ljudi u slavu balija. Pogotovo je na ovim balovima bilo onih koji nisu imali gospodara tog gospodina: buv, kao da leti, po pravilima umjetnosti, dobrodušni Jogel, koji je primao priznanice za lekcije od svih svojih gostiju; samo oni koji su hteli da plešu i da se zabavljaju, kao oni koji žele devojčice od 13 i 14 godina, kao što se oblače u dugačko platno, bili su kao oni koji su još čekali bal. Brkovi, za rijetke vinnyatki, boules chi su davali garnery: tako ugušen smrad svi su se smijali i oči su im tako zasjale. Neki od najboljih učenika plesali su uz pas de chale, za najbolju Natalkinu gromadu, jer je označavala njenu gracioznost; ali na ovome su ostali plesali samo ecosesi, anglesi i mazurka, što bi trebalo biti moderno. Dvoranu je zauzeo Jogel kod Bezuhovljevih separea, a lopta je, kako su svi govorili, dalje. Bilo je puno lijepih djevojaka, a Rostov panočki su bili najbolji. Osobito je radostan i veseo bio smrad uvrede. Te večeri, Sonja, ponosna na Dolohovljev predlog, na svoje objašnjenje o Mikoli, još je kružila po kući, ne dajući devojci da pomiriši njenu kosu, a sada je blistala od vatrene radosti.
Nataša, ništa manje ponosna na njih, što je bila u starom suknu, na pravom balu, bila je srećnija. Prekršaji su bili u bijelim, muslinskim tkaninama sa erizipelnim šavovima.
Natalija je postala zakokhana iz istih hirova, kao da je otišla na bal. Vaughn nije podlegao nikome posebno, ali je podlegla svima. Ona kojoj se skitnica na tom mjestu začudila, kao da se čudila, zalud je bila udarena.
- Oh, kako je dobro! - Svi su progovorili, podbígayuchi Sonia.
Mikola i Denisov šetali su hodnicima, lukavo i pokroviteljski posmatrajući plesove.
- Kao da je slatka, bićeš dobro - rekao je Denisov.
- SZO?
- Gafinya Natasha, - Vidpoviv Denisov.
- Ja sam kao plesač, kao gac! - Razgovarajući sa trohima, rekavši ponovo vina.
- O kome pričaš?
„O tvojoj sestri“, ljutito je viknuo Denisov.
Rostov se nasmiješio.
- Mon cher comte; Vous etes l'un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez, reče mali Yogel, prilazeći Mikoli. - Voyez combien de jolies demoiselles. zgodne devojke!] - Na isti način, vratio sam se Denisovu, takođe mom kolosalnom obrazovanju.
„Zdravo, ljubavi, sedim ovde i pišem zid“, rekao je Denisov. - Heba, ne sećaš se kako sam bio pokvaren sa tvojim časovima?
- O ne! - brzo vtishayuchi yogo, govoreći Yogel. - Uglavnom bez poštovanja, ali najmanje za vibracije, tako, najmanje za vibracije.
Svirali su mazurku, koja se ponovo uvodila; Mykola nije odmah odgovorio Yogelu i zatražio je Sonju. Denisov pidsív baki i naslanjajući se na šablon, prigušuje ritam, škole veselo recituju i nasmiju stare dame, gledajući mlade, šta plešu. Yogel je plesao sa prvim parom sa Natalkom, svojim ponosom i najboljom učenicom. M'yako, nežno čupajući svojim čizmama u čizmicama, Jogel je najprije uplašeno preletio hodnik, ali se marljivo pripremao za Natalku. Denisov nije otvorio oči i tapkao takt, takvim pogledom, koji je jasno pokazao da ni on sam nije plesao više od onoga što nije želeo, ali ne zato što nije mogao. Na sredini figure pozvao sam Rostov k sebi.
- Tsezovsim ne one, - rekavši vino. - Hiba tse poljski mazuka? I divan ples. - Znajući da je Denisov i u Poljskoj bio poznat po svom majstorskom plesu poljske mazurke, Mikola je otišao kod Nataše:
- Idi, izaberi Denisova. Axis dance! Čudo! - kaže vino.
Kada je Natašino crnilo ponovo došlo, ona je ustala i zamahnula mašnama, bojažljivo, sama potrčala je kroz hodnik do kuta, gde je sedeo Denisov. Vona bačila, da joj se svi čude i provjeravaju. Mikola Bačiv, da su se Denisov i Nataša smejali jedno drugom, a da se Denisov smejao blistavo. Vin pidbig.
- Budi ljubazan, Vasile Dmitriču, - reče Natalka, - idemo, budi ljubazan.
- Dakle, scho, vibachte, gospodine, - govori Denisov.
„Pa čekaj, Vasja“, reče Mikola.
„Kao da zavijaju mačku Vasku“, rekao je Denisov jezivim glasom.
- Tsiliy vechir spavaš, - rekla je Natalka.
- Čarobnica sve zrob me! - Rekavši Denisov i stisnuvši šablju. Vin Vijšov iza stubova, pažljivo hvata svoju damu za ruku, podiže glavu i stavlja nogu napred, proverava ritam. Samo na konju i u Mazuryju ne možete vidjeti Denisovljev mali rast, a on je bio tako dobar momak, da se i sam osjećao kao vino. Gledajući takt, pobedi sa strane, moguće je i vruće, gledajući svoju damu, nekontrolisano tapkajući jednom nogom, kao loptica, koja skoči u vazduh i leti uzdu na kolac, vukući svoju damu za sobom. Činilo se da Vin nije preletio pola hodnika na jednoj nozi, i, činilo se, ne gledajući u stubove koji su stajali ispred njega, i pravo jurišajući na njih; ale raptom, zveckajući ostrugama i raširivši noge, udarajući po postoljima, stojeći tako na sekundu, sa klokotom mamuze koje zveckaju na jednom mjestu nogama, brzo se okreću i, lijevom nogom udarajući udesno, ponovo lete na ulog. Nataša je pogađala one koji su naleteli na majku, a ni sama nije znala kako, jurila je za njim - ustupajući mesto tebi. Sada se okrećući í̈í̈, ​​pa na desnu, pa na lijevu ruku, pa padajući na koljena, kružeći í̈ oko sebe, i opet skačući i krenuvši naprijed sa takvim strimkistom, nebi vin mav namir, bez daha, skoči preko brkovi od kamena; onda je opet začuo ushićenje i opet opljačkalo nova i neraspoložena koljena. Ako vino, žvače damu ispred njene magle, zvecka ostrugom, klanja se pred njom, Nataša ti ga nije poslala. Vaughn je zurio u novo oko, smijući se, ne znajući ništa. - Šta je? Vaughn je proglasio.
Bez obzira na one koje Yogel nije prepoznao zvuk mazurke desnice, sve je sahranio Denisov gospodar, počeli su neprestano da vibriraju, a stari, smiješeći se, počeli su pričati o Poljskoj i o starom času. Denisov, pocrveneo u mazurki i obrisan grubo, otišao je do Nataše i cijela lopta nije izašla iz nje.

Funkcija prikaza promjene govora (sa pozitivnom argumentacijom) pokazuje papalinu primarnih. Prvo, za prirodne vrijednosti - kao dobutok jednakih spiv množitelja. Zatim se vrijednost proširuje na broj negativnih i ne-nula vrijednosti za pravila. U daljini se vide prikazi sačmarica, za koje vrijednosti funkcije prikaza zavise od dodatnih korijena: . Za iracionalna značenja, značenje zadatka je povezano sa osnovnim konceptima matematičke analize - na granični prelaz, na zrcaljenje neprekinutog. Svi testovi nisu zastosovní prije pokušaja proširenja funkcije prikaza na kompleksnu vrijednost indikatora, a to je, na primjer, apsolutno nerazumno.

Prvi korak sa kompleksnim indikatorom sa prirodnom osnovom uveo je Euler na osnovu analize niskih motiva integralnog proračuna. U nekim slučajevima, slične linije algebre, kada su integrirane, daju različite razlike:

Istovremeno, ovdje još jedan integral formalno izlazi iz prvog kada je zamijenjen sa

Zvídsi može zrobiti vysnovok, scho s dobro definiranom funkcijom prikaza sa složenim indikatorom okretanja trigonometrijskih funkcija sporidní s logaritmima, a po istom principu, funkcija prikaza je povezana s trigonometrijskim.

Ojler je imao dosta poniznosti i fantazije da da razumnu oznaku funkcije emisije sa osnovom.

Zbog imenovanja, a do toga formula nije dovedena, moguće je samo šukat argumente o surovosti inteligencije i dozilnosti takvog imenovanja. Matematička analiza je već bogata argumentima ove vrste. Slažemo se sa više od jednog.

Vídomo, scho s govor mísce granična spívvídnoshennia: . Desna strana ima polinom koji ima smisao i za kompleksne vrijednosti za . Između nizova kompleksnih brojeva označeni su prirodnim redom. Slijed se smatra sličnim, tako da se slijed govornih i verbalnih dijelova konvergira i prihvaća

Mi znamo. Za koju životinju prelazimo na trigonometrijski oblik, štoviše, za argument je moguće odabrati vrijednost jaza. Za takav izbor, jasno je da. Dali,

Za granični prijelaz, potrebno je promijeniti liniju između za i znati udaljenost između. To je jasno

Oče, kod Viraza

govorni deo je pragne to, očigledno je - pa šta

Ovo nespretno mirkuvanje daje jedan od argumenata o osrednjosti Ojlerove oznake funkcije emisije.

Utvrdimo sada da se pomnožene vrijednosti funkcije prikaza zbrajaju. Diyno:

2. Ojlerove formule.

Učinimo to s dodijeljenom funkcijom prikaza. Mi uzimamo:

Zamjena b sa -b se oduzima

Sabirajući i gledajući pojam po član qi jednako, znamo formule

nazvane Eulerove formule. Smrad uspostavlja vezu između trigonometrijskih funkcija i pokazivanja i pokazivanja znakova.

3. Prirodni logaritam kompleksnog broja.

Kompleksni broj dat u trigonometrijskom obliku može se napisati u obliku kompleksnog broja. Ona preuzima svu dobru snagu trigonometrijskog oblika, a još je niska. Dalje, prirodno je uzeti u obzir da je logaritam th modula prikazan verbalnim parcijalnim logaritmom kompleksnog broja, a th argument se manifestuje verbalnim parcijalnim logaritmom. Sa cijelim svijetom objašnjavam „logaritamsku“ moć argumenta - argumenta za stvaranje bogate sume argumenata u spivmulniki.

Plan:

Entry

• 1 logaritam govora
  • 1.1 Snaga
  • 1.2 logaritamska funkcija
  • 1.3 Prirodni logaritmi
  • 1.4 Decimalni logaritmi
• 2 Kompleksni logaritam
  • 2.1 Imenovanje te vlasti
  • 2.2 Primijeniti
  • 2.3 Analitičko praćenje
  • 2.4 Rimanova površina
• 3 istorijski crtež
  • 3.1 logaritam govora
  • 3.2 Kompleksni logaritam
• 4 Logaritamske tablice
• 5 programa
Književnost
Bilješke

Entry

Rice. 1. Grafovi logaritamskih funkcija

Logaritam broja b na štandu a (Ukucajte grčki. λόγος - "reč", "podešavanje" toga ἀριθμός - "broj") označava se kao indikator koraka, u kojem je potrebno pozvati bazu a, da uzmete broj b. Oznaka: . Iz toga proizilazi da su rekordi podjednako jaki.

Na primjer, na to.

1. Logaritam govora

Logaritam dnevnika broja govora a b max sens at . Očigledno, funkcija prikaza y = a x monotono i dermalno značenje nabuy samo jednom, štaviše, raspon njenog znachen da osveti sve pozitivne govorne brojeve. Jasno je da je značenje verbalnog logaritma pozitivnog broja uvijek jasno i nedvosmisleno.

Najšira zastosuvannya je poznavala ovu vrstu logaritama.

1.1. moć

dokaz

Recimo šta.

(ogrebotine za um bc > 0). ■

dokaz

Javite nam to

(krhotine za um ■

dokaz

Vikoristovuêmo za dokazivanje identiteta. Logaritam uvrede za deo istosti na supstituentu sa. Mi uzimamo:

dokaz

Recimo šta.

(tako kao b str> 0 za um). ■

dokaz

Javite nam to

dokaz

logaritam lijevo i desno od baze c :

Lijevi dio: Prava dijela:

Virazova ljubomora je očigledna. logaritmi su jednaki, pa su zbog monotonosti logaritamske funkcije jednaki i sami različiti. ■

1.2. logaritamska funkcija

Kako na broj koji je logaritamski gledati kao na promjenu, mi to uzimamo logaritamska funkcija y= log a x (Div. Slika 1). Vaughn je zaslužan za . Područje vrijednosti: .

Funkcija je striktno raste na a> 1 i striktno se smanjuje na 0< a < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Pravo x= 0 ê leva vertikalna asimptota, skaliranje na a> 1 ta na 0< a < 1 .

Pokhídna logarithmíchníchníchníchníchníchníchn_chn_chn_chn_chna_dvor_vnyuê:

dokaz

I. Znamo to

Hajde da zapišemo identitet e ln x = x Prodifferentiyuemo yoga lava i desni dio

Uzimamo, šo, zvezde vrište, šo

II. Javite nam to

Logaritamska funkcija stvara izomorfizam između multiplikativne grupe pozitivnih realnih brojeva i aditivne grupe svih govornih brojeva.

1.3. Prirodni logaritmi

Zvyazok íz deseti logaritam: .

Kao što je gore navedeno, za sličan prirodni logaritam vrijedi jednostavna formula:

Stoga je u matematičkim studijama važnije osvojiti sam prirodni logaritam. Smrad često okrivljuje čas razlike u diferencijalnim ekvivalentnostima, prema statističkim greškama (na primjer, podjela prostih brojeva) previše tanko.

Lako je znati nedosljednosti integrala u prirodnom logaritmu integracijom dijelova:

Raspored u Taylor seriji može se predstaviti sljedećim redoslijedom:
sa pravednom jednakošću

(1)

Zokrema,

Ovaj niz više konvergira, štoviše, lijevi dio formule sada se može koristiti za formiranje logaritma bilo kojeg pozitivnog broja.

1.4. Decimalni logaritmi

Rice. 2a. logaritamska skala

Rice. 2b. Logaritamska skala sa vrijednostima

Logaritmi na bazi 10 (znak: lg a) prije puštanja vina, kalkulatori su bili naširoko punjeni za proračun. Na logaritamske linije treba primijeniti nejednaku skalu od desetina logaritama. Slična ljestvica pobjeđuje u bogatim krugovima nauke, na primjer:

• Fizika - intenzitet zvuka (decibeli).
• Astronomija je skala sjaja zvijezda.
• Hemija - aktivnost jona vode (pH).
• Seizmologija - Richterova skala.
• Teorija muzike je muzička skala, stotinu frekvencija muzičkih zvukova.
• Istorija je logaritamska vremenska skala.

Logaritamska skala se takođe široko koristi za prikazivanje indikatora koraka u statičnim ugarima i koeficijenta za indikator eksponenta. Sa ovim grafikonom, koji se postavlja na logaritamskoj skali duž jedne ili dvije ose, izgleda ravno, jednostavnije za praćenje.

2. Kompleksni logaritam

2.1. Imenovanje te vlasti

Za kompleksne brojeve, logaritam se koristi kao i, kao govor. U praksi je moguće koristiti prirodni kompleksni logaritam, koji je značajan i značajan, kao bezličan svih kompleksnih brojeva z takav da e z = w . Složeni logaritam se koristi za da li ili ne, a govorni dio je nedvosmislen, u tom času može imati bezlično značenje. Zbog toga se joga naziva funkcijom bogate vrijednosti. Kako otkriti w u formi prikaza:

,

onda je logaritam iza formule:

Evo logaritma govora, r = | w | , k- priličan broj. Vrijednost koja se uzima k= 0 se poziva vodeće vrijednosti složeni prirodni logaritam; uobičajeno je uzeti novu vrijednost argumenta u intervalu (− π,π] . head gulka logaritam i je dodijeljen. Ponekad ukazuju i na vrijednost logaritma, koji ne leži na glavi glave.

Očigledne su tri formule:

• Opseg govora logaritma je dodijeljen formuli:

• Logaritam velikog broja stoji iza formule:

Oskilki kompleksne trigonometrijske funkcije povezane s eksponencijalnom (Ojlerova formula), kompleksnim logaritamom kao preokretom eksponencijalne funkcije recipročne vrijednosti za obrnuto trigonometrijske funkcije. Primjer takvog poziva:

2.2. Prijavite se

Donosimo logaritam za posljednje argumente:

Čuvajmo se kada pretvaramo složene logaritme, vrakhovuyuchi, jer je smrad bogat, a zbog jednakosti logaritama bilo kojeg virusa, jednakost ovih virusa se ne ističe. Primjer mirkuvannya pomilovanja:

iπ = log(−1) = log((− i) 2) = 2ln(− i) = 2(− iπ / 2) = − iπ - očigledna glupost.

Značajno je da ljevak vrijedi vrijednost glave logaritma, a desnoruki vrijednost donje glave ( k= − 1). Razlog za pomilovanje je neopreznost pobjedonosnosti vlasti, kao da, u bljesku prividnog, može biti na rubu složene promjene, cijeli skup vrijednosti logaritma, a ne samo smutljiva vrijednost.

2.3. Analitičko praćenje

Rice. 3. Kompleksni logaritam (vidljivi dio)

Logaritam kompleksnog broja može se koristiti i kao analitički nastavak govornog logaritma na cijelom kompleksnom području. Neka kriva Γ počinje u jedan, ne prolazi kroz nulu i ne mijenja negativni dio ose govora. Ista smut vrijednost logaritma u konačnim tačkama w kriva Γ se može uzeti iz formule:

Pošto je Γ jednostavna kriva (bez samopermutacije), onda se za brojeve koji leže na njoj logaritamski totemi mogu fiksirati bez borbe, npr.

Ako dozvolite da krivulja Γ transponira negativni dio ose govora, tada je prvi takav prijelaz da prenese rezultat sa vrata vrijednosti glave na stranu jezika, a koža unaprijedi prijelaz na lijevu stranu jezika, slično pomaku duž jezika logaritamske funkcije (razd. bebe).

3 formule za analitičko praćenje, koliki bi trebao biti logaritam

Za bilo koji ulog S, koji premotava tačku 0:

Integral je uzet iz pozitivnog smjera (anti-godišnja strelica). Vrijednost leži u osnovi teorije oporavka.

Također je moguće dodijeliti analitički nastavak kompleksnog logaritma nakon sabiranja gore indukovanog niza (1), koji se dalje razvija kompleksnim argumentom. Prote z pogled na raspored sljedećeg, scho za jedinstvo vina je jednako nuli, tako da niz leži više od glave bogate vrijednosti funkcije kompleksnog logaritma.

2.4. Rimanova površina

Kompleksna logaritamska funkcija - primjer Riemannove površine; Vidljivi dio (slika 3) čini beskonačan broj igala uvijenih poput spirale. Tsya površina je jednostruka; êê pojedinačna nula (prvog reda) ide dalje z= 1, posebne tačke: z= 0 (tačke beskompromisnog reda).

Rimanova površina logaritma je univerzalna kriva za kompleksnu ravan bez tačke 0.

3. Istorijski crtež

3.1. logaritam govora

Potražnja za preklopnim ružama u 16. veku je naglo rasla, a značajni delovi su teškoća u slaganju za množenje i rozpodil bogato vrednih brojeva, i dovođenje do korena. Na primjer, stotinu matematičara je, možda odjednom, zaspalo na ideji: zamijeniti radnika jednostavnim sabiranjem, postavljajući u pomoć posebnu tablicu geometrijskih i aritmetičkih progresija, s kojom će biti geometrijski. Todi i rozpodil se automatski zamjenjuju nemjerljivo jednostavnijim i očiglednijim, a korijen koraka n se svesti na podlogaritam podkorijenske viraze na n. Prvo sam ideju objavio u svojoj knjizi “ Arithmetica integra Michael Shtifel, koji, vtim, nije prijavio ozbiljne napore za implementaciju svojih ideja.

Godine 1614., škotski matematičar-amater John Napier objavio je latinski moj tvir pod naslovom " Opis nevjerovatne tablice logaritama"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Nova riječ ima kratak opis logaritama tih potencija, kao i osmocifrene tabele logaritama sinusa, kosinusa i tangenta, sa pojmom 1. logaritam, Proponation by Napier, nakon što se etablirao u nauci. Teorija logaritama Neper Viklav u sledećoj knjizi " Pobudov nevjerovatne tablice logaritama"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), viđen posthumno 1619. roci yogo synom.

Razumijevanje funkcije nije bilo isto, a Neper je izračunao logaritam kinematički, postavljajući jednaka i logaritamska poboljšanja; na primjer, logaritam sinusa od vin označen je na sljedeći način:

Logaritam datog sinusa je broj, kao da je aritmetički rastao proizvoljno istom brzinom, a kao rezultat toga, sinus je počeo geometrijski da se mijenja.

Za trenutne vrijednosti, kinematički Napierov model se može predstaviti diferencijalnim jednadžbama: dx/x=-dy/M de M - množitelj skaliranja, uvod u činjenicu da je vrijednost cijeli broj sa potrebnim brojem znakova (decimalni razlomci također nisu poznavali širok raspon). Napier uzima M=10000000.

Strogo kazhuchi, Neper tabelarira pogrešnu funkciju, kao da se odjednom zove logaritam. Da bi se definirala funkcija LogNap(x), ona je povezana s prirodnim logaritmom na sljedeći način:

Očigledno, LogNap(M) = 0, tako da je logaritam "punog sinusa" nula - tsgogo i domagavsya Neper do svog odredišta. .

Glavna snaga Napierovog logaritma: kao što veličine zadovoljavaju geometrijsku progresiju, tako i njihovi logaritmi zadovoljavaju aritmetičku progresiju. Prote pravila logaritma za ne-Peer funkciju su revidirana kao pravila dnevnog logaritma.

Na primjer, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Šteta što su vrijednosti Napierovih tabela propustile izračunavanje pomilovanja nakon šestog znaka. Međutim, nova metodologija za izračunavanje najveće popularnosti nije uspjela, a mnogi evropski matematičari, uključujući Keplera, preuzeli su savijanje logaritamskih tablica. Već nakon 5 godina, 1619., londonski učitelj matematike John Spydell ( John Spidell) ponovno pregledajući Napierove tabele, prerađeni smrad je zapravo postao tabele prirodnih logaritama (kada se povećava na celobrojne Spydellove brojeve). Termin "prirodni logaritam" uveo je italijanski matematičar P'etro Mengoli. Pietro Mengoli)) sredinom XVI vijeka.

1620-ih Edmund Wingate i William Wydred krivili su prvu logaritamsku liniju, prije pojave crijevnih kalkulatora - nezamjenjiv alat za inženjera.

Blisko svakodnevnom shvatanju logaritma - kao operacija, prekretnica u stopalu - prvi put se pojavio kod Wallisa i Johanna Bernoullija, a ostalo je ozakonio Ojler u XVIII veku. U knjizi “Uvod u analizu nedosljednosti” (1748), Euler je dao modernu oznaku i prikaznih i logaritamskih funkcija, navív razladannja ih u statičnom lavi, posebno pozivajući se na ulogu prirodnog logaritma.

Euler bi trebao biti u stanju proširiti logaritamsku funkciju na kompleksnu domenu.

3.2. Kompleksni logaritam

Prvi koji su pokušali da reše logaritme za kompleksne brojeve na prelazu iz XVII-XVIII veka, Leibnitz i Johann Bernoulli, međutim, nisu uspeli da stvore koherentnu teoriju – morali smo da se suočimo sa tim razlozima, da je čak i najrazumljiviji logaritam bio još nije jasno dodijeljen. Diskusija o ovoj temi vodila se između Leibniza i Bernoullija, a sredinom 18. vijeka između d'Alemberta i Eulera. Bernuli i d'Alembert su poštovali ono što bi trebalo da bude log(-x) = log(x). Novu teoriju logaritama negativnih i kompleksnih brojeva objavio je Euler 1747-1751, ali ona zapravo nije nimalo važna u moderno doba.

Želeći super djevojku trival (d'Alembert, nakon što je branio vlastitu misao i navodno raspravljao u člancima svoje Enciklopedije i drugim praktičnim radovima), Eulerova misao brzo je uklonila očigledan usklik.

4. Logaritamske tablice

Logaritamske tablice

Iz stepena logaritma vidimo da umjesto mukotrpnog mnoštva bogato značajnih brojeva, trebamo znati (iza tablica) i sabrati njihove logaritme, a zatim ćemo koristiti same tabele da dočaramo potenciju, da znamo vrijednost rezultata iz logaritma. Vikonanny rozpodílu vídríznyaetsya manje od tim, scho logaritmi vídnímayutsya. Laplas je rekao da su vina logaritama "nastavili život astronoma", uveliko ubrzavajući proces izračunavanja.

Prilikom prenošenja deset Komija na broj n vrijednost desetog logaritma broja se mijenja u n. Na primjer, lg8314.63 = lg8.31463+3. Zvuči kao da je dovoljno sastaviti tabelu desetih logaritama za brojeve u rasponu od 1 do 10.

Prve tablice logaritama objavio je John Napier (1614), a smrad je osvetio samo logaritme trigonometrijskih funkcija, štoviše, pomilovanjem. Nezavisno od svojih tablica, objavio je Íost Bürgí, Keplerovog prijatelja (1620). Godine 1617. profesor matematike iz Oksforda Henry Briggs objavio je tabele, koje su već uključivale desetine logaritama samih brojeva, od 1 do 1000, sa 8 (poslednjih - 14) predznaka. Ali pomilovanja su se pojavila u Briggsovim stolovima. Prvi bezpomilkovo vidannya na osnovu tablice Vega (1783) pojavio se tek 1857. u Berlinu (stol Bremiver).

U Rusiji su prve tablice logaritama viđene 1703. uz učešće L. F. Magnitskog. SRSR je izdao zbirku logaritamskih tabela.

• Bradis V. M. Hotirske matematičke tablice. 44. izdanje, M., 1973.

Tabele Bradysa (1921) bile su pobjedničke u naslovima i u inženjerskim odjelima, što nije zahtijevalo veliku preciznost. Smrad je osvetio bogomoljku desetih logaritama brojeva i trigonometrijskih funkcija, prirodnih logaritma i decimala drugih koordinata rosrahunkovljevih alata.

• Vega G. Tabele sedmocifrenih logaritama, 4 izdanja, M., 1971.

Profesionalni odabir za tačne proračune.

• Petoznamenkaste tablice prirodnih vrijednosti trigonometrijskih veličina, njihovi logaritmi i logaritmi brojeva, 6. izdanje, M.: Nauka, 1972.
• Tablice prirodnih logaritama, 2. izdanje, u 2 toma, M: Nauka, 1971.

U ovom satu, uz proširenje kalkulatora, potrebno je koristiti tablicu logaritama.

M, Specifičnost (kompleksna analiza).

Dati su glavna snaga logaritma, graf logaritma, raspon oznake, anonimna vrijednost, glavne formule i stopa rasta pada. Ispituje se značenje sličnog logaritma. Tako je i integral, koji se raspoređuje u niz stanja, ta manifestacija iza pomoći kompleksnih brojeva.

Zmist

Područje značaja, bezlično značenje, rast, pad

Logaritam je monotona funkcija, tako da nema ekstrema. Glavna snaga logaritma prikazana je u tabelama.

Područje za sastanke	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
vrijednost površine	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
monotonija	monotono raste	menjati monotono
Nula, y = 0	x= 1	x= 1
Čvorovi peretina z víssyu ordinate, x = 0	br	br
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Privatne vrijednosti

Poziva se logaritam na bazi 10 deseti logaritam ja se označava ovako:

logaritam na bazi e pozvao prirodni logaritam:

Osnovne formule za logaritme

Moć logaritma, koja se izdiše iz oznake centralne funkcije:

Glavna snaga logaritama i jogo tragova

Formula za promjenu baze

Logaritam je matematička operacija uzimanja logaritma. Kada se uzme logaritam, stvaranje množitelja se pretvara u zbir članova.
Potencijalizacija je matematička operacija, reverzibilni logaritam. Potenciranjem se postavlja temelj na nogama viraza, nad kojim potenciranje pobjeđuje. Istovremeno, zbir članova se pretvara u stvaranje partnera.

Dokaz osnovnih formula logaritama

Formule povezane s logaritmima izvedene su iz formula za funkcije prikaza i oznake funkcije preokreta.

Pogledajmo snagu funkcije prikaza
.
Todi
.
Potrebno je odrediti kvalitet funkcije prikaza
:
.

Donosimo formulu za zamjenu baze.
;
.
Međutim, c = b može biti:

Funkcija povratka

Funkcija povratka za logaritam na osnovu a je funkcija prikaza sa indikatorom koraka a.

Yakscho nešto

Yakscho nešto

Pokhídna logaritam

Pokhídna logaritam víd modulo x:
.
Pokhídna n-ti red:
.
Visnovok formule > > >

Da bismo razumjeli sličan logaritam joge, potrebno ga je dovesti do temelja e.
;
.

Integral

Integral u obliku logaritma se izračunava integracijom dijelova: .
otzhe,

Virazi kroz kompleksne brojeve

Pogledajmo funkciju kompleksnog broja z:
.
Virazimo kompleksni broj z preko modula r taj argument φ :
.
Todi, koristi logaritam snage, možda:
.
Abo

Prote, argument φ nije jasno definisano. Put Yakshcho
de n - qile,
onda će to biti jedan te isti broj za različite n.

Dakle, logaritam, kao funkcija kompleksnog zminnyja, nije jednoznačna funkcija.

Raspored u naslagani red

U vrijeme postavljanja:

Wikoristan literatura:
JA SAM. Bronstein, K.A. Semendjajev, Vodič za matematiku za inženjere i studente, Lan, 2009.

Div. također: