Donnons la fonction de deux changements. Nous donnons à l'argument une augmentation, mais l'argument est trop invariable. La même fonction supprime l'augmentation, car elle s'appelle une augmentation privée pour le changement et est affectée :

De même, en fixant l'argument et en donnant l'incrément à l'argument, nous supprimons l'augmentation privée de la fonction derrière le changement :

La valeur est appelée la plus grande augmentation de la fonction en points.

Rendez-vous 4. La fonction privée des deux variables est appelée entre le changement de l'augmentation privée de la fonction jusqu'au changement du changement donné, si le reste du zéro (c'est-à-dire la frontière) reste. Il est signifié en privé comme ceci : soit, soit.

A ce rang, pour le maire nommé :

Les fonctions privées sont calculées selon les règles et les formules mêmes, comme si la fonction était le même changement, elle est protégée de la sienne, qui est différenciée par le changement, il est important d'être constante, et lorsqu'elle est différenciée par le changement, elle est important d'être fixé.

Exemple 3. Connaître les fonctions ludiques privées :

Solution. a) Afin de connaître la valeur constante importante de ce différentiel en fonction d'une variable :

De même, par rapport à la valeur constante, nous savons :

La nomination 5. Le différentiel total d'une fonction est la somme des créations de fonctions similaires privées à l'augmentation des fonctions indépendantes indépendantes, tobto.

En regardant en arrière le fait que les différentiels de changements indépendants augmentent avec leurs incréments, c'est-à-dire. , la formule du différentiel total peut être écrite sous la forme

Exemple 4. Calculez la différentielle finale de la fonction.

Solution. Oskіlki derrière la formule du différentiel total est connu

Des vacances privées de premier ordre

Les vacances privées sont appelées vacances privées de premier ordre ou premières vacances privées.

Nominations 6. Les fonctions privées d'ordre différent sont appelées fonctions privées de premier ordre.

Chotiri privé d'un ordre différent. Les Vons sont désignés comme suit :

De même, les pertes privées des 3e, 4e et ordres supérieurs sont attribuées. Par exemple, pour la fonction peut :

Les jours fériés privés d'un ordre différent, issus de changements différents, sont appelés jours fériés privés modifiés. Pour la fonction є pokhіdnі. C'est respectueux que vous soyez d'humeur, si vous parlez couramment sans interruption, il y a de la place pour la jalousie.

Exemple 5. Modifier les fonctions privées dans un ordre différent

Solution. Fonctions privées de premier ordre trouvées dans l'application 3 :

Différenciation et changement x et y, otrimaemo

Problèmes de physique virishuvati ou appliquer les mathématiques est absolument impossible sans connaissance de cette méthode de calcul. Pokhіdna est l'un des plus importants pour comprendre l'analyse mathématique. Nous avons décidé de dédier ce sujet fondamental à l'article d'aujourd'hui. Qu'est-ce qui est si mauvais, quel genre de changement physique et géométrique, comment gâcher une bonne fonction ? Tous les repas peuvent être pris en un seul : comment comprendre comment y aller ?

Sens géométrique et physique similaires

Allez, fonction f(x) , est donné dans l'intervalle de chant (un B) . Les points x et x0 se trouvent jusqu'au ième intervalle. Lors du changement de x, la fonction elle-même change. Changement d'argument - différence de valeur de yoga x-x0 . Quelle différence est enregistrée comme delta x et est appelé le plus grand argument. Changer ou augmenter la fonction s'appelle la différence de la valeur de la fonction en deux points. Rendez-vous de déplacement :

Pokhіdna funktsії y point - entre l'augmentation de la fonction au point tsіy et l'argument zbіlshennya, si le reste est égal à zéro.

Sinon, vous pouvez l'écrire comme ceci :

Quel est le sens d'une telle frontière ? Et l'axe est yaki :

similaire à la fonction au point, la tangente du kuta entre les points OX est similaire au graphique de la fonction au point tsij.

Sens physique du jour : chemins de pokhіdna pendant une heure dorovnyuє shvidkostі ruhu rectiligne.

Décidément, nous pouvons voir à partir des heures d'école que la Suède est une voie privée. x=f(t) cette heure t . Vitesse moyenne sur une heure :

Schob pour reconnaître la sécurité du rush au moment de l'heure t0 il faut calculer entre :

Première règle : blâmer la constante

La constante peut être blâmée pour le mauvais signe. Plus que cela - cela nécessite du travail. Lorsque les mathématiques appliquées vyrishenny prennent en règle générale - comment pouvez-vous demander à viraz, obov'azkovo demander .

bout. Calculons le coût :

Règle à un ami : Pokhіdna sumi funktsіy

Pokhіdna sumi dvoh funktsіy dorivnyuє sumі pokhіdnih tsikh funktsіy. Il en va de même pour les fonctions commerciales similaires.

Il ne propose pas une preuve du théorème, mais plutôt un exemple pratique.

Connaître les fonctions associées :

Règle de trois : mauvais travail des fonctions

Pokhіdna crée deux fonctions différenciées, calculées par la formule :

Exemple : connaître les fonctions suivantes :

Solution:

Ici, il est important de dire sur le nombre de fonctions similaires de pliage. La fonction pliable de Pokhіdna est plus coûteuse pour compléter le pokhіdnoї tsієї funktsії derrière l'argument intermédiaire au pire de l'argument intermédiaire derrière le changement indépendant.

Au point de vue, l'application de mi zustrіchaєmo viraz:

Dans ce cas, l'argument intermédiaire est 8x pour la cinquième étape. Afin de calculer le coût d'une telle virase, il est important de calculer la valeur de la fonction externe pour l'argument intermédiaire, puis de multiplier par la valeur de l'argument non intermédiaire pour le changement indépendant.

Règle quatre : similaire aux deux fonctions privées

La formule pour choisir une partie similaire de deux fonctions :

Nous avons essayé de vous parler des vacances pour les théières à partir de rien. Ce sujet n'est pas si simple, il s'avère que c'est possible : les mégots ont souvent des pâtes sur les mégots, alors faites attention lorsque vous comptez les uns.

Pour une raison quelconque, pour d'autres sujets, vous pouvez vous tourner vers le service étudiant. À court terme, nous vous aiderons à composer la liste de contrôle et à trier les tâches, nous n'avons donc pas traité le calcul des dernières plus tôt.

Regardons la fonction de deux manières :

Les éclats de changement $x$ et $y$ sont indépendants, pour une telle fonction il est possible de fournir une compréhension des informations privées :

Fonction privée $f$ au point $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ pour le changement $x$ -

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x ;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]

De la même manière, vous pouvez affecter une redevance privée pour un changement de $y$ :

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]

En d'autres termes, pour connaître les fonctions privées d'une partie du changement, il est nécessaire de fixer la décision du changement, krіm shukanoї, puis nous connaîtrons le zvichaynu pokhіdna pour le prix du changement.

Cela ressemble à l'astuce principale pour compter ces moche: tenez simplement compte du fait que tout change, krym tsієї, є constant, après quoi différencier la fonction afin de différencier le «singulier» - d'un zminnoy. Par exemple:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2 ) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& ( ( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^( \ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\fin(aligner)$

Il est évident qu'il est normal de donner des vacances privées à partir de différents changements. Pourquoi est-il plus important de comprendre, pourquoi, disons, dans le premier, on nous a tranquillement facturé 10 $ y $ z-pid d'un mauvais signe, et dans l'autre - nous avons mis à zéro le premier addon. Tout est conçu à travers ceux que toutes les lettres, krіm zminnoi, pour une sorte de différenciation, sont respectées par des constantes : elles peuvent être blâmées, crachées, etc.

Qu'est-ce que "l'amusement privé" ?

Aujourd'hui, nous allons parler des fonctions de quelques changeurs et des vacances privées en eux. Tout d'abord, quelle est la fonction de quelques remplacements ? Dosi mi a appelé pour changer la fonction comme $y\left(x \right)$ ou $t\left(x \right)$, sinon changez cette fonction unique en elle. Maintenant, il n'y aura qu'une seule fonction en nous, et il y aura un changement de sprat. Si vous modifiez $y$ et $x$, la valeur de la fonction changera. Par exemple, si $x$ augmente deux fois, la valeur de la fonction change, si $x$ change, mais $y$ ne change pas, la valeur de la fonction change elle-même.

Il était entendu que la fonction sous la forme d'un certain nombre de variables, tout comme dans l'une des variables, peut être différenciée. Cependant, l'oskіlki zmіnnykh kіlka, il est alors possible de se différencier de différents zmіnnyh. Pour qui, des règles spécifiques sont blâmées, qui sont les mêmes lors de la différenciation d'un changement.

D'abord pour tout, si nous voulons perdre nos fonctions, si nous sommes en quelque sorte modifiables, alors nous sommes à blâmer, pour le type de changement que nous sommes censés laisser - c'est pourquoi cela s'appelle un gâchis privé. Par exemple, nous avons une fonction de deux fonctions différentes, et nous pouvons fixer її comme $x$, donc $y$ sont deux fonctions privées qui ressemblent à la peau du zminnyh.

D'une manière différente, si nous avons corrigé l'un des changements et que nous commençons à le respecter en privé, alors tout le reste qui entre dans la fonction est respecté par des constantes. Par exemple, $z\left(xy \right)$, comme nous sommes importants pour nous promener en privé autour de $x$, puis, en louchant, demi-simplement $y$, nous sommes importants pour être une constante et être traité par lui-même comme une constante. Zokrema, quand on compte les mauvaises choses, on peut blâmer $y$ pour la manille (on a une constante), mais quand on compte la mauvaise monnaie, comme nous l'avons ici, c'est comme un virus pour venger $y$ et non venger $x$, alors c'est bon virazu dorivnyuvatime "zéro" comme une bonne constante.

À première vue, vous pouvez vous en sortir que je vous en parle de manière pliée, et beaucoup d'apprenants s'égarent sur l'épi. Il n'y a rien de surnaturel parmi les privés, et nous changeons de butée de tâches spécifiques.

Responsable des membres radicaux et riches

Gérant n°1

Sanglot pour ne pas perdre une heure, dès l'épi on va commencer par des mégots sérieux.

Pour commencer, j'imagine la formule suivante :

Il s'agit de la valeur de table standard, comme nous le savons grâce au cours standard.

C'est bien pour quelqu'un d'utiliser $z$ comme ceci :

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Encore une fois, les fragments sous les racines ne coûtent pas $x$, mais un autre viraz, dans ce cas $\frac(y)(x)$, puis nous accélérons les valeurs tabulaires standard, puis les fragments sous le les racines coûtent pas $x $, et un autre viraz, il nous faut multiplier nos dépenses pour un viraz de plus pour l'autre viraz. Commençons à marcher sur l'épi :

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac((((((y)"))_(x))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot xy\cdot 1)(((x)^(2) ) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Tournons-nous vers notre virazu et écrivons:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

Tout est en principe. Cependant, il est faux de laisser її dans un tel regard: ce n'est pas pratique de battre une telle construction pour les lointains, alors faisons-le un peu:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Vidpovid trouvé. Passons maintenant à $y$ :

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Vipishémo okremo :

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac((((((y)"))_(y))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot xy\cdot 0)(((x)^(2) ) )=\frac(1)(x)\]

Maintenant nous écrivons :

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Tout est brisé.

Gérant n°2

Cette crosse est à la fois plus simple et plus pliante, plus basse vers l'avant. Plus pliable, à cela il y a plus d'action ici, mais plus simple, à cela il n'y a pas de racine ici, de plus, la fonction est symétrique à $x$ et $y$, tobto. Comme nous nous rappelons que $x$ et $y$ sont des missions, la formule ne semble pas changer. Ce respect devait être pardonné pour le paiement des dépenses privées, tobto. Il suffit d'endommager l'un d'entre eux, et dans l'autre rappelez-vous juste $x$ et $y$ avec les pinceaux.

Venons-en au fait :

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy))(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \ droite ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+ ( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\gauche(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \droite))^(2)))\]

Soyons enthousiastes :

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Prote richement apprendre un tel dossier d'ignorance, nous allons écrire l'axe comme ceci:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Dans ce rang, on bascule une fois de plus vers l'universalité de l'algorithme des parents privés : ils s'en foutent d'eux, si toutes les règles sont bien mises en place, c'est vous qui serez le seul.

Jetons maintenant un coup d'œil à une autre astuce privée de notre excellente formule :

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Supposons que nous retirons la dépendance à notre formule et retirons-la :

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ droite)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( ( x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ gauche(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \droite))(((\gauche(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \droite))^(2 )))\]

$x$ est rétabli. Et pour fixer $y$ dans le même viraz, ne vikonuvat pas tous la même séquence de bricolage, mais plutôt avec la symétrie de notre viraz vif - nous remplaçons simplement dans notre viraz vif tout $y$ par $x$ et navpak :

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( ( \gauche(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \droite))^(2)))\]

Pour le rahunok de symétrie, ils ont loué l'ensemble du viraz richement shvidshe.

nuance cerise

Pour les privés, toutes les formules standards sont utilisées, ce qui est le mieux pour les privés, mais il en va de même pour le privé. Avec cela, cependant, ils blâment leurs propres caractéristiques spécifiques : si nous respectons $x$ en privé, alors si nous prenons її pour $x$, alors nous le considérons comme une constante, et à cela її est similaire à un "zéro" plus cher .

Comme et en même temps avec le pokhіdnymi le plus important, privé (un seul et même), vous pouvez gâcher un kіlkom de différentes manières. Par exemple, la même construction, qui a été si bien applaudie, peut être réécrite ainsi :

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

À la fois sur ceux-ci, de l'autre côté, vous pouvez battre la formule sous la forme d'une somme occasionnelle. Comme nous le savons, il y a des sommes plus chères des morts. Par exemple, écrivons ceci :

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Maintenant, sachant tout, essayons de nous améliorer avec des usages plus sérieux, les fragments de bons trucs privés ne sont entourés que de termes et de racines riches : trigonométrie, logarithmes, et fonctions d'affichage y sont utilisées. Maintenant, mettons-nous au travail.

Tâche avec fonctions trigonométriques et logarithmes

Gérant n°1

Nous écrivons les formules standard suivantes :

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Après avoir maîtrisé ces connaissances, essayons de vers:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Okremo écrit un changement :

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Tournez-vous vers notre conception :

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Nous connaissons tous $x$, passons maintenant au calcul de $y$ :

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Eh bien, je sais, j'ai peur d'un viraz :

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \droite)\]

Passons à la fin de la journée et continuons à voir :

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Tout est brisé.

Gérant n°2

Écrivons la formule dont nous avons besoin:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Maintenant, je suis désolé pour $x$ :

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Trouvé pour $x$. Important pour $y$ :

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

La tâche est terminée.

nuance cerise

Plus tard, compte tenu du fait que les fonctions n'ont pas été prises en privé, les règles sont écrasées par les mêmes, qu'elles fonctionnent avec la trigonométrie, avec des racines ou avec des logarithmes.

Les règles de travail classiques sont toujours remplacées par les règles standard, et en même temps, la somme des fonctions de vente au détail, privées et pliables.

Le reste de la formule est le plus souvent expliqué en fin de journée lorsque la réunion est terminée avec des congés privés. Mi zustrіchaєmosya avec eux pratiquement skrіz. Il n'y a pas encore eu de directeur municipal, donc nous ne sortons pas là-bas. Mais si nous ne nous tortillons pas avec la formule, nous obtenons toujours un avantage de plus, et pour nous-mêmes, la particularité du travail avec des promenades privées. Nous corrigeons donc un changement, les lignes sont des constantes. Zocrema, comme nous respectons la virase privée perdue $\cos \frac(x)(y)$ $y$, alors $y$ lui-même est modifié, et $x$ est remplacé par une constante. La même pratique et navpaki. Її peut être blâmé pour le mauvais signe, mais mauvais car la constante elle-même ressemble plus à "zéro".

Tout doit être amené au point que les regards privés d'un seul et même viraz, mais à partir de différents changements, ils peuvent avoir un aspect différent. Par exemple, s'émerveiller devant un tel virazi:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Tâche avec fonctions démonstratives et logarithmes

Gérant n°1

Écrivons la formule suivante :

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Connaissant ce fait, ainsi que les fonctions pliables, nous pouvons essayer d'effrayer. Je crois en deux manières différentes à la fois. Le premier et le plus évident est le coût des travaux :

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Voyons ce viraz :

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot yx .(((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot yx\cdot 0)((((y)^(2) )) =\frac(y)((((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Passons à notre conception et continuons à la voir :

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left( 1 +\frac(1)(y)\right)\]

Tout, $x$ est couvert.

Cependant, comme je l'ai dit, en même temps, nous essaierons de protéger ma vie privée d'une manière différente. Pour qui respectueusement :

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Nous l'écrivons ainsi :

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y ) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) ) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

En conséquence, nous avons emporté la même somme d'argent et la prote a été facturée comme la plus petite. Pour qui finir le gros rappelez-vous que lorsque vous avez terminé le spectacle, vous pouvez additionner.

Maintenant, je suis désolé pour $y$ :

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Chantons un viraz okremo :

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot yx \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)((((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Nous vendons la version de notre design externe :

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Il m'est apparu que j'aurais pu m'égarer d'une autre manière, j'aurais ressemblé à ça moi-même.

Gérant n°2

Baise pour $x$ :

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Arrêtons un viraz okremo :

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)(( ((x)^(2))+y)\]

Solution vendue de design extérieur : $$

L'axe est si clair.

Perdu pour l'analogie à savoir par $y$ :

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Un viraz, ça va, comme un okremo zavzhdi :

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Conception principale de Prodovzhuєmo virіshennya:

Tout est couvert. Comme une bachite, en jachère, selon la façon dont le changement est pris pour la différenciation, ils sortent absolument différents.

nuance cerise

L'axe est un excellent exemple de la façon dont une seule et même fonction peut être utilisée de deux manières différentes. Axe à se demander :

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y)))) )\ gauche(1+\frac(1)(y) \droite)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

Lors du choix de chemins différents, le calcul pourrait être différent, mais si c'est vrai, tout a été fait correctement, nous le verrons de la même manière. Les prix sont dignes des classiques, et privés des plus récents. Je devine encore de qui : c'est en jachère, c'est comme, quel changement, j'en prends un bon, c'est tout. différenciation, vіdpovіd peut vyyti zovsіm raznoyu. Merveille:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(( (( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(( ((x)^(2))+y)\cdot 1\]

Nasamkinets pour fixer tout le matériel, essayons de fixer deux mégots.

Tâche avec une fonction trigonométrique et une fonction à trois changements

Gérant n°1

Écrivons ces formules :

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Passons maintenant à virishuvate notre viraz :

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Okremo porahuemo une telle conception:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ gauche(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Prodovzhuєmo virishuvati vihіdny viraz :

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Il s'agit du montant résiduel de la monnaie privée $x$. Maintenant, je suis désolé pour $y$ :

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Virishimo un viraz okremo :

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ gauche(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Virishuemo à la fin de notre conception :

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Gérant n°2

À première vue, cette crosse peut être pliée, car il y a trois changements. En effet, c'est l'une des tâches les plus simples pour la visite vidéo d'aujourd'hui.

Connu par $x$ :

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y ) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Regardons maintenant $y$ :

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ) ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Nous savions la vérité.

Maintenant c'est trop pour savoir $z$ :

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Nous avons loué la troisième pokhidna, sur laquelle la vision d'une autre tâche est à nouveau accomplie.

nuance cerise

Comme une bachite, il n'y a rien de pliant dans ces deux crosses. La seule chose, pourquoi nous avons foiré, c'est parce que les fonctions pliables sont souvent stagnantes et obsolètes, comme nous sommes timides en privé, nous devrons changer en fonction de la situation.

Dans le reste de la tâche, il nous a été demandé de déterminer les fonctions de trois différents. Il n'y a rien de terrible dans tsomu, prote naprikintsі mi s'est croisé, cette puanteur est une sorte d'un et il est complètement irrité.

Moments clés

Le reste du vysnovki de la leçon vidéo d'aujourd'hui est le suivant :

1. Les dépenses privées sont prises en compte en tant que telles, comme si elles étaient importantes, afin de prendre en compte les dépenses privées par un changement, en décidant de tous les changements qui sont inclus dans cette fonction, nous les prenons comme des constantes.
2. Pratsyyuyuchi s private pokhіdnymi vikoristovuєmo tі sami formules standard, yak z znichnym pokhіdnymi: suma, raznitsyu, pokhіdnu créer en privé і, zrozumіlo, fonctions pliables pokhіdnu.

De toute évidence, regarder une leçon vidéo ne suffit pas, pour que je puisse à nouveau développer ce sujet, donc immédiatement sur mon site, avant cette vidéo, il y a un ensemble de tâches dédiées au sujet de ce jour - entrez, zavantazhite, virishuyte tsі avdannya et entrez en contact. Après tout, vous n'aurez pas de problèmes quotidiens privés comme dormir ou travailler de manière indépendante. Évidemment, c'est loin d'être la dernière leçon de mathématiques modernes, alors rendez-vous sur notre site web, ajoutez VKontakte, abonnez-vous à YouTube, mettez des likes et suivez-nous !

Les vacances privées restent à la tête des fonctions d'un petit nombre de personnes. Les règles de signification sont exactement les mêmes que pour les fonctions d'une variable, à la seule différence qu'une des traces des variables est prise en compte au moment de la différenciation par une constante (nombre constant).

Formule

Les dates privées pour la fonction de deux variables $ z (x, y) $ sont écrites dans le regard suivant $ z "_x, z"_ y $ et suivent les formules :

Vacances privées première commande

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Voyages privés dans un ordre différent

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Zmishana est bon

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Fonction de pliage de stockage privé

a) Soit $ z(t) = f(x(t), y(t)) $, alors des fonctions de pliage similaires suivront la formule :

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$

b) Soit $ z (u, v) = z(x(u, v), y(u, v)) $, puis répétez les fonctions privées suivantes après la formule :

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Vacances privées Fonctions implicitement définies

a) Soit $ F(x,y(x)) = 0 $, alors $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Soit $ F (x, y, z) = 0 $, alors $ $ z "_x = - \frac (F"_x) (F"_z); z "_y = - \ frac (F"_y) ( F"_z) $$

Appliquer la solution

fesses 1

Trouver des valeurs privées de premier ordre $z(x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10$

Solution

Pour la valeur d'une variable privée en $ x $, nous utiliserons $ y $ comme valeur constante (nombre) : $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Pour la valeur d'une fonction privée relative à $ y $, $ y $ est significatif par une constante : $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Si vous n'osez pas rompre votre tâche, forcez le yoga devant nous. Nous avons besoin d'une solution plus détaillée. Vous pouvez en savoir plus sur la progression du calcul et emporter les informations. Tse dopomozhe prend toutes les heures la salle du vikladach!

Vidpovid

$$ z"_x = 2x+4y ; z"_y = -2y+4x $$

fesses 2

Trouver des fonctions similaires privées dans un ordre différent $ z = e ^ (xy) $

Solution

En même temps, il est nécessaire de connaître la première étape, puis de les connaître, vous pouvez connaître les étapes d'un ordre différent. Constante $ y $ importante : $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Mettons maintenant $ x $ valeur constante : $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Connaissant le premier pokhіdnі, nous en connaissons d'autres de la même manière. Nous installons $ y $ en permanence : $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot(xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Définissez la constante $ x $ : $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Maintenant, j'ai perdu la connaissance du zmіshanu pokhіdnu. Vous pouvez différencier $ z"_x $ par rapport à $ y $, ou vous pouvez différencier $ z"_y $ par rapport à $ x $, grâce au théorème $ z""_(xy) = z""_(yx ) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot(xy)"_y = yxe^(xy) $$

Vidpovid

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

fesses 4

Soit $ 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 = 0 $ mis une fonction implicite $ F (x, y, z) = 0 $. Connaître les événements privés de premier ordre.

Solution

Nous écrivons la fonction au format : $F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0$ $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Vidpovid

$$ z"_x = 3x^2 z - 4 ; z"_y = 3z^2 ; $$

Nomination 1.11 Laissez la fonction de deux changeurs être réglée z=z(x,y), (x,y)D . Point, tacheté M 0 (X 0 ;y 0 ) - point interne de la zone ré .

Yakscho dans ré є un tel quartier UM 0 points M 0 , qui pour tous les points

puis pointez M 0 est appelé le point maximum local. Et le sens z(M 0 ) - maximale locale.

Et comme pour tous les points

puis pointez M 0 est appelé le point du minimum local de la fonction z(x,y) . Et le sens z(M 0 ) - Minuscule locale.

Le maximum local et le minimum local sont appelés extrema locaux de la fonction z(x,y) . Sur la fig. 1.4 explique le changement géométrique du maximum local : M 0 - pointer vers le maximum, vers ce qui est en surface z = z(x, y) point clair C 0 en savoir plus que tout autre point C (Qui a la localité maximale).

Respectueusement, il y a des points sur la surface (par exemple, DANS ), si vous en savez plus C 0 , points ale qi (par exemple, DANS ) non є "judiciaire" avec un point C 0 .

Zocréma, pointe DANS confirme la compréhension du maximum global :

De même, le minimum global est déterminé :

La connaissance des maximums et minimums globaux sera abordée au paragraphe 1.10.

Théorème 1.3(Attention nécessaire à l'extrême).

Laissez la fonction être définie z = z (x, y), (x, y) ré . Point, tacheté M 0 (X 0 ;y 0 ré - point d'extremum local.

Qu'est-ce que tu as z" X і z" y , ensuite

La confirmation géométrique est "évidemment". Et après C 0 sur (Fig. 1.4) pour dessiner une zone dotiquement plane, il y passe "naturellement" horizontalement, c'est-à-dire sous le capot 0° à l'axe Oh je à l'axe UO .

Il en va de même pour un changement géométrique des parents privés (Fig. 1.3) :

ce qu'il fallait apporter.

Nomination 1.12.

Et après M 0 pense (1.41), alors on l'appelle le point stationnaire de la fonction z (x, y) .

Théorème 1.4(Suffisamment attention à l'extrême).

Laisse moi demander z = z (x, y), (x, y) ré , car il peut y avoir des événements privés d'un ordre différent dans le voisinage réel du point M 0 (X 0 ,y 0 )RÉ . Et pourquoi M 0 - Point stationnaire Calculons :

La preuve du théorème de Vicorist par ceux-ci (la formule de Taylor de la fonction d'un certain nombre de variables et la théorie des formes quadratiques), qui n'est considérée par aucun assistant.

fesses 1.13.

Aller à l'extrême :

Solution

1. On connaît les points stationnaires qui cassent le système (1.41) :

nous avons donc trouvé des points fixes. 2.

d'après le théorème 1.4, les points ont un minimum. Et pourquoi

d'après le théorème 1.4 au point

Maximum. Et pourquoi