Перетворення виразів містять квадратне коріння рішення. Використання властивостей коренів під час перетворення ірраціональних виразів, приклади, рішення. Знайти значення виразу

Відеоурок «Перетворення виразів, що містять операцію отримання квадратного кореня» - наочний посібник, за допомогою якого вчителю легше сформувати вміння та навички у вирішенні завдань, що містять вирази з квадратним коренем. У ході уроку нагадуються теоретичні основи, що служать основою для проведення операцій над числами і змінними, що є в підкореному вираженні, описується рішення безлічі видів завдань, які можуть вимагати вміння користуватися формулами перетворення виразів, що містять квадратний корінь, даються методи позбавлення від ірраціональності в знамені.

Відеоурок починається з демонстрації назви теми. Зазначається, що раніше під час уроків виконувались перетворення раціональних выражений. При цьому використовувалися теоретичні відомості про одночлени і багаточлени, методи роботи з багаточленами, дробами алгебри, а також формули скороченого множення. У даному відеоуроці розглядається введення операції із вилучення квадратного кореня для перетворення виразів. Учням нагадуються властивості операції із вилучення квадратного кореня. Серед таких властивостей зазначено, що після вилучення квадратного кореня з квадрата числа виходить саме число, корінь добутку двох чисел дорівнює добутку двох коренів від цих чисел, корінь два окремих чисел дорівнює приватному коренів від членів приватного. Остання розглянута властивість - витяг квадратного кореня з числа, зведеного в парний ступінь √a 2 n, яке в результаті утворює число ступеня a n . Розглянуті властивості дійсні будь-яких неотрицательных чисел.

Розглядаються приклади, у яких потрібні перетворення виразів, що містять квадратний корінь. Вказано, що в прикладах передбачено, що aі b є невід'ємними числами. У першому прикладі необхідно спростити вирази √16a 4 /9b 4 і √a 2 b 4 . У першому випадку застосовується властивість, що визначає, що корінь квадратний добутку двох чисел дорівнює добутку коріння з них. Через війну перетворення виходить вираз ab 2 . У другому виразі використовується формула перетворення квадратного приватного кореня в приватне коріння. Підсумком перетворення є вираз 4a2/3b3.

У другому прикладі необхідно винести з-під знака квадратного кореня множник. Розглядається рішення виразів √81а, √32а 2 , √9а 7 b 5 . Приклад перетворення чотирьох виразів показує, як застосовується формула перетворення кореня добутку кількох чисел на вирішення подібних завдань. При цьому окремо відзначаються випадки, коли вирази містять числові коефіцієнти, параметри парної, непарної міри. В результаті перетворення виходять вирази √81а=9√а, √32а 2 =4а√2, √9а 7 b 5 =3а 3 b 2 √ab.

У третьому прикладі необхідно зробити операцію, протилежну тій, що у попередній задачі. Для внесення множника під знак квадратного кореня необхідно вміти користуватися вивченими формулами. Пропонується у виразах 2√2 та 3a√b/√3a внести множник перед дужками під знак кореня. Використовуючи відомі формули, множник, що стоїть перед знаком кореня, зводиться у квадрат і поміщається у вигляді множника у твір під знаком кореня. У першому виразі в результаті перетворення виходить вираз √8. У другому виразі спочатку застосовується формула коня твори для перетворення чисельника, а потім формула приватного кореня - для перетворення всього виразу. Після скорочення чисельника та знаменника у підкореному вираженні, виходить √3ab.

У прикладі 4 необхідно виконати дії у виразах (√a+√b)(√a-√b). Для вирішення цього виразу вводяться нові змінні, що замінюють одночлени, що містять знак кореня √a=х та √b=у. після підстановки нових змінних, очевидна можливість використання формули скороченого множення, після чого вираз набуває вигляду х 2 -у 2 . Повертаючись до вихідних змінних, отримуємо a-b. Другий вираз (√a+√b) 2 також можна перетворити за допомогою формули скороченого множення. Після розкриття дужок отримуємо результат a+2√ab+b.

У прикладі 5 проводиться розкладання на множники виразів 4a-4√ab+b та х√х+1. Для вирішення цієї задачі необхідно виконати перетворення, виділити загальні множники. Після застосування властивостей квадратного кореня на вирішення першого виразу сума перетворюється на квадрат різниці (2√а-√b) 2 . Для вирішення другого виразу необхідно занести під корінь множник перед знаком кореня, потім застосувати формулу для суми кубів. Результатом перетворення стає вираз (х + 1) (х 2 -х + 1).

Приклад 6 демонструє розв'язання задачі, де потрібно спростити вираз (а√а+3√3)(√а-√3)/((√а-√3) 2 +√3а). Рішення завдання виконується чотири дії. У першій дії чисельник перетворюється на добуток за допомогою формули скороченого множення – суми кубів двох чисел. У другій дії перетворюється знаменник виразу, який набуває вигляду а-√3а+3. Після перетворення стає можливим скорочення дробу. В останній дії застосовується формула скороченого множення, яка допомагає отримати остаточний результат а-3.

У сьомому прикладі необхідно позбавитися квадратного кореня в знаменниках дробів 1/√2 та 1/(√3-√2). Під час вирішення завдання використовується основна властивість дробу. Щоб позбавитися кореня в знаменнику, чисельник і знаменник множаться на однакове число, за допомогою якого підкорене вираз зводиться в квадрат. В результаті обчислень отримуємо 1/√2=√2/2 та 1/(√3-√2)=√3+√2.

Вказуються особливості математичної мови під час роботи з висловлюваннями, що містять корінь. Зазначається, що вміст квадратного кореня у знаменнику дробу означає зміст ірраціональності. А про звільнення від знака кореня в такому знаменнику говорять як про звільнення від ірраціональності у знаменнику. Описуються методи, як можна позбавитися ірраціональності - для перетворення знаменника виду √а необхідно помножити чисельник одночасно зі знаменником на число √а, а для усунення ірраціональності для знаменника виду √а-√b, чисельник і знаменник множаться на сполучене вираз √а+√ b. Зазначається, що звільнення від ірраціональності в такому знаменнику дуже часто полегшує вирішення завдання.

Наприкінці відеоуроку розглядається спрощення виразу 7/√7-2/(√7-√5)+4/(√5+√3). Щоб спростити вираз, застосовуються розглянуті вище способи позбавлення ірраціональності в знаменнику дробів. Отримані вирази складаються, після чого спрощений вид виразу має вигляд √5-2√3.

Відеоурок «Перетворення виразів, що містять операцію отримання квадратного кореня» рекомендується застосовувати на традиційному шкільному уроці для формування навичок вирішення завдань, в яких міститься квадратний корінь. З цією ж метою відео може бути використане вчителем під час дистанційного навчання. Також матеріал може бути рекомендований учням для самостійної роботи вдома.

Розділи: Математика

Цілі уроку:

Повторити визначення арифметичного квадратного кореня властивості арифметичного квадратного кореня.
Узагальнити та систематизувати знання учнів з цієї теми.
Закріпити навички та вміння розв'язання прикладів на тотожні перетворення виразів, що містять арифметичні квадратні корені.
Дати можливість кожному учневі якомога повніше розкрити свої можливості.
Розширювати кругозір і познайомити учнів із математиками середньовіччя.

Тип уроку:урок-практикум.

Обладнання уроку:матеріал, кольорова крейда, графопроектор, портрет Рене Декарта, плакати з формулами.

Хід уроку

I.Організаційний момент.

Тема нашого уроку «Перетворення виразів, що містять арифметичні квадратні корені». Сьогодні на уроці ми повторюватимемо правила перетворення виразів, що містять квадратне коріння. Це і перетворення коренів з твору, дробу та ступеня, множення та розподіл коренів, винесення множника за знак кореня, внесення множника під знак кореня, приведення подібних доданків та звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу.

ІІ. Усне опитування з теорії.

Дайте визначення арифметичного квадратного кореня. ( Арифметичним квадратним коренем із числа а називається невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а).
Перелічіть властивості арифметичного квадратного кореня. ( Арифметичний квадратний корінь із твору невід'ємних множників дорівнює добутку коренів із цих множників. Арифметичний квадратний корінь із дробу, чисельник якого невід'ємний, а знаменник позитивний, дорівнює кореню із чисельника, поділеному на корінь із знаменника).
Чому дорівнює значення арифметичного квадратного кореня з х 2? ( |х| ).
Чому дорівнює значення арифметичного квадратного кореня з х 2 якщо х≥0? х<0? (х. -х).

ІІІ. Усна робота. (Записано на дошці).

Знайдіть значення кореня:

Знайдіть значення виразу:

Внесіть множник під знак кореня:

Порівняйте:

IV. Відпрацювання знань з цієї теми. (На партах у кожного листок із завданнями).

1. Виконайте кроки.

Як вирішуватимемо приклади а і б? ( Розкриємо дужки, наведемо подібні доданки).
Як вирішуватимемо приклади в і г? ( Застосуємо формулу різниці квадратів).
Як вирішуватимемо приклади д і е? ( Винесемо множник за знак кореня і наведемо подібні доданки).






	2 + 0,3- 4 + 0,01
	3 + 0,5 - 2 + 0,01

(Учні за варіантами виконують приклади у зошитах, 6 учнів за 1 прикладом вирішують біля задньої дошки).

– Перевірка через графопроектор. Кожній відповіді відповідає певна літера. В результаті виходять слово Декарт.

V. Історична довідка.

Учень виступає із невеликим повідомленням.

У 1626 році нідерландський математик А.Ширар ввів близьке до сучасного позначення кореня V. Якщо над цим знаком стояла цифра 2, це означало корінь квадратний, якщо 3 – кубічний. Це позначення почало витісняти знак Rx. Однак довгий час писали Vа + з горизонтальною рисою над сумою. Лише 1637 року Рене Декарт поєднав знак кореня з горизонтальною межею, застосувавши у своїй «Геометрії» сучасний знак кореня. Цей знак увійшов у загальне вживання лише на початку XVIII ст. ( На дошці – портрет Рене Декарта, малюнок).

VI. Відпрацювання знань на тему.

2. Розкладіть на множники.

а і б – розкладемо за формулою різниці квадратів, в і г – використовуючи визначення арифметичного квадратного кореня, замінимо 7 та 13 квадратами з квадратного коріння, а потім винесемо за дужки загальний множник).

а) а – 9, а≥0
б) 16 – в, в≥0

Учні вирішують у зошитах за варіантами, 2 особи (по одному від кожного варіанта) вирішують біля дошки.

- Перевірка.

3. Скоротіть дріб.

– Як виконуватимемо це завдання? ( Розкладемо на множники чи чисельник, чи знаменник, а потім скоротимо).

Учні вирішують у зошитах за варіантами, 4 особи вирішують біля дошки. Приклади дію вирішують додатково, хто встигне.

- Перевірка.

4. Звільніться від ірраціональності у знаменнику дробу.

– Що робитимемо в цьому завданні? ( Перетворимо дріб так, щоб знаменник не містив квадратного кореня: а і будемо домножувати і чисельник, і знаменник на квадратний корінь, записаний у знаменнику; в і г будемо примножувати на суму або різницю виразу, записаного в знаменнику для того, щоб вийшла різниця квадратів).

Учні вирішують за варіантами, 2 особи вирішують по 2 приклади біля дошки.

- Перевірка.

VII. Написання тесту.

У кожного на парті листок із завданнями тесту ( Додаток 1). Підписали листок та виконали завдання у цьому ж листку. Після написання роботи здали, перевірили відповіді та розібрали, чому так, через графопроектор.

VIII. Домашнє завдання.с. 109 № 503 (а-г), 504.

§ 1 Перетворення виразів, що містять операцію вилучення квадратного кореня

Згадаймо властивості квадратних коренів: якщо a, b - невід'ємні числа a, b ≥ 0, то справедливі наступні рівності:

Використовуючи ці формули, можна виконувати різні перетворення виразів, що містять операцію вилучення квадратного кореня, але з умовою, що змінні цих виразів набувають лише невід'ємних значень. Зробивши таке припущення, розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1: Випросити вираз:

Оскільки у виразі є дріб, для його перетворення скористаємося другою властивістю:

Для перетворення знаменника використовували третю властивість:

В результаті первісний вираз набуває вигляду:

Приклад 2: Винести множник із-під знака квадратного кореня:

При рішенні прикладу під літерою А скористаємося першими та третіми властивостями квадратного кореня:

Аналогічно перетворимо вираз, поданий у завданні під літерою Б:

Приклад 3: Внести множник під знак квадратного кореня

Щоб внести множник під знак кореня, використовуємо третю властивість праворуч наліво:

Розв'яжемо кілька завдань із перетворення виразів, що містять операцію вилучення квадратного кореня, користуючись формулами скороченого множення. Перш за все згадаємо і випишемо їх:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

a2 - b2 = (a + b) (a - b)

a3 - b3 = (a-b) (a2 + ab + b2)

a3 + a3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

Приклад 4: Випросити вираз:

Для рішення представимо число три як квадратний корінь із трьох у квадраті:

а в знаменнику скористаємося формулою різниці квадратів, тоді отримаємо:

Приклад 5: Спростити вираз:

Для вирішення, по-перше, розглянемо вираз:

Якщо припустити, що

то

використовуючи формулу суми кубів

Отримуємо

Зробимо відповідну заміну.

По-друге, від операції поділу на (a - b) перейдемо до операції множення на зворотний дріб:

По-третє, перший дріб у дужці скоротимо на вираз:

а потім зробимо операцію множення.

Припустимо:

використовуючи формулу різниці квадратів, отримуємо:

Вираз у чисельнику першого дробу за формулою квадрата різниці можна записати:

Зробимо відповідні заміни. У чисельнику та знаменнику першого дробу є загальний множник, тому після скорочення на закінчення залишається лише скласти дроби з однаковими знаменниками.

Якщо знаменник дробу алгебри містить знак квадратного кореня, то кажуть, що в знаменнику міститься ірраціональність. Перетворення виразу до такого виду, щоб у знаменнику дробу не було знаків квадратного коріння, називають звільненням від ірраціональності в знаменнику.

§ 2 Алгоритм звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу

1. Розкласти знаменник дробу на множники;

2. Якщо знаменник має вигляд:

Якщо знаменник має вигляд:

або містить множник такого виду, то чисельник та знаменник дробу слід помножити відповідно на:

3. Перетворити чисельник і знаменник дробу, якщо можливо, скоротити отриманий дріб. Вирази виду:

Розглянемо, як позбутися ірраціональності у знаменнику на прикладах:

А) Перетворимо вираз:

Скористаємося алгоритмом звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу: помножимо на:

чисельник та знаменник. Отримаємо:

Б) Перетворимо вираз:

У цьому прикладі чисельник і знаменник дробу множиться на сполучене вираз:

Отже, ми розібрали кілька прикладів на спрощення виразів, що містять квадратне коріння.

Список використаної литературы:

Мордковіч А.Г. "Алгебра" 8 клас. У 2 ч. Ч.1Підручник для загальноосвітніх установ/А.Г. Мордкович. - 9-е вид., Перероб. - М.: Мнемозіна, 2007. - 215с.: Іл.
Мордковіч А.Г. "Алгебра" 8 клас. О 2 год. Ч.2 Задачник для загальноосвітніх установ / А.Г. Мордкович, Т.М. Мішустіна, Є.Є. Тульчинська. - 8-е вид., - М.: Мнемозіна, 2006. - 239с.
Алгебра. 8 клас. Контрольні роботи для учнів навчальних закладів Л.А. Александрова за ред. А.Г. Мордковича 2-ге вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2009. – 40с.
Алгебра. 8 клас. Самостійні роботи для учнів закладів освіти: до підручника А.Г. Мордковіча, Л.А. Александрова за ред. А.Г. Мордковіча. 9-е вид., Стер. – К.: Мнемозіна, 2013. – 112с.

Алгебра. 8 клас

Вчитель: Кулішова Тетяна Миколаївна

Тема: Перетворення виразів, що містять квадратне коріння

Тип уроку: узагальнення та систематизація знань

Мета уроку: формування умінь учнів перетворювати вирази, що містять квадратні корені

Завдання:

Освітні:знати властивості арифметичного квадратного кореня; навчитися перетворювати такі вирази, що містять квадратне коріння, як винесення множника з-під знака кореня, внесення множника на знак кореня та звільнення від ірраціональності в знаменнику дробу;

Розвиваючі: розвивати пізнавальні та творчі здібності, мислення, спостережливість, кмітливість та навички самостійної діяльності; прищеплення інтересу до математики;

Виховні: вміння працювати у команді (групі), бажання активно вчитися з інтересом; чіткість та організованість у роботі; дати кожному учневі досягти успіху;

Обладнання: Шкільне приладдя, дошка, крейда, підручник, роздатковий матеріал.

План уроку

Організаційний момент
Цілепокладання
Повторення
Самостійна робота
Диктант
Тест
Робота за підручником
Інструктаж домашнього завдання
Підсумки уроку. Рефлексія

Хід роботи

Організаційний момент

Мотивація уроку

«Заплющте очі, сядьте зручніше. Уявіть щось дуже приємне для вас. Вам добре, зручно. Навколо вас багато друзів. Серед них і натуральні числа, з якими ми добре знайомі. Ряди наших друзів поповнюються і до них приєдналися дрібні числа. А ось підійшли й негативні числа. А тепер ви йдете на зустріч раціональним та ірраціональним числам. Мине час, і ми познайомимося з вами з новими числами і, доки на світі існує математика, ці числа нескінченні».

«Знання - тільки тоді знання, коли воно набуте зусиллями своєї думки, а не пам'яттю». Н. Толстой.-Эти слова Л. М. Толстого важливі і актуальні щодо математики, адже математика одна з небагатьох наук, де треба постійно розмірковувати. Ваше завдання показати свої знання та вміння у процесі усної роботи, тестування, роботи біля дошки.

У кожного з вас на столі лежить оціночний лист, після кожного виконаного завдання не забуваємо виставляти оцінки, а наприкінці уроку поставити підсумкову оцінку.

Цілепокладання

Вирішіть анаграму (Робота в групах)

ПРО – ЗО – РА – ПЕРЕ – НІЯ – ВА ПЕРЕТВОРЕННЯ

НІЙ – РА – Ж – ВИ ВИРАЗІВ

ЩИХ – ДЕР – ЖА – ІЗ ЗМІСНИХ

РАТ – КВ – НІ – АД КВАДРАТНІ

НІ – КО – Р КОРНІ

Вирішивши анаграму, учні визначають тему уроку

Як ви вважаєте, чим ми займатимемося на уроці?

Давайте разом сформулюємо мету нашого уроку.

Повторення раніше вивченого матеріалу

А 1) Усний рахунок:

Перевірка теорії: Поєднати лінією відповідні частини визначення.

оцінка -2 бали

2). Завершити твердження.

а) Корінь із твору невід'ємних множників дорівнюєдобутку коріння з цих множників.(Оцінка -2 бали)

б) Будь-який нескінченний неперіодичний десятковий дріб називаєтьсяірраціональним числом.(Оцінка -2 бали)

в) Корінь із дробу, чисельник якого є невід'ємним числом, а знаменник позитивним, дорівнюєкореня з чисельника, поділеного на корінь із знаменника.оцінка -2 бали)

3) Встановити відповідність (2 бали)

В. 3 учнів отримують за алгоритмом перетворень виразів, що містять квадратне коріння. Завдання: зобразити, накреслити, написати, показати тощо. та захистити (спікер).

3) Вийняти корінь

Розкласти знаменник дробу на множники.
Якщо знаменник має виглядабо містить множник, то чисельник і знаменник слід помножити на або на .
Перетворити чисельник і знаменник дробу, якщо можливо, скоротити отриманий дріб.

Самостійна робота

Винеси множник з-під знаку кореня:

(2 бали)

Спростіть вираз (4 бали)

Тест на ноутбуці (оцінка виставляється автоматично)

1) 6 =

а Б В Г) .

2) 5 =

3) 3 =

а Б В Г) .

Диктант:

Варіант 1	Відповіді:

За кожне правильно виконане завдання 0,5 бали.

Робота з підручника- робота на дошці: кожен учень отримує конкретний приклад, по черзі вирішують на дошці, все записують у зошити. (1 бал)
Інформація про домашнє завдання
Підбиття підсумків уроку. Рефлексія

Оцінювання

Оцінний лист. Ф.І учня _______________________Оцінка _____

Етап уроку	Бали
Усний рахунок
Самостійна робота
Тест
Диктант
Робота з підручника-робота на дошці
Додаткові завдання
Разом балів за урок
Мій настрій наприкінці уроку- після оцінки за урок

Переказ балів в оцінку

25 балів і більше – оцінка «5»

24 – 18 балів – оцінка «4»

17 – 9 балів – оцінка «3»

0 – 8 балів – оцінка «2»

Для оцінювання усієї роботи за урок використовується «Переклад балів в оцінку» - на звороті оцінного листа.

До кінця заповніть оціночний лист. Оцінка за урок.

Закінчити урок я хочувіршем великого математика Софії Ковалевської.

Якщо в житті ти хоч на мить

Істину в серці своєму відчув,

Якщо промінь світла крізь морок і сумнів

Яскравим сяйвом твій шлях осяяв:

Що б у твоїм рішенні незмінному

Рок не призначив тобі попереду,

Пам'ять про цю мить священну

Вічно зберігай, як святиню в грудях.

Хмари зберуться громадою безладною,

Небо вкриється чорною імлою,

З ясною рішучістю, з вірою спокійною

Бурю ти зустрінь і поміряйся з грозою.

У цьому вірші виражено прагнення знанням, вміння долати всі перепони, що зустрічаються на шляху. А як ми сьогодні з вами долали перепони? Чим ми займалися на уроці?

- Сьогодні ми повторили визначення та властивості арифметичного квадратного кореня; винесення множника за знак кореня, внесення множника під знак кореня, формули скороченого множення; ознайомилися та закріпили деякі способи перетворення виразів, що містять квадратне коріння.

Усі працювали плідно, активно та колективно протягом уроку.

Урок завершено. Дякую всім за урок!

Внести множник під знак кореня:

1) 6 =

а Б В Г) .

2) 5 =

3) 3 =

а Б В Г) .

Тест Ф.І.____________________

Внести множник під знак кореня:

1) 6 =

а Б В Г) .

2) 5 =

3) 3 =

а Б В) - =

а Б В Г) .

2) 5 =

3) 3 =

а Б В) - =

а Б В Г) .

2) 5 =

3) 3 =

а Б В) - =

а Б В Г) .

2) 5 =

3) 3 =

а Б В Г) .

Алгоритм винесення множника з-під знака кореня

1) Подаємо підкорене вираз у вигляді добутку таких множників, щоб з одного можна було б витягти квадратний корінь.

2) Застосуємо теорему про корені з твору.

3) Вийняти корінь

Алгоритм внесення множника під знак кореня

1) Подаємо добуток у вигляді арифметичного квадратного кореня.

2) Перетворимо добуток квадратних коренів у квадратний корінь із добутку підкорених виразів.

3) Виконаємо множення під знаком кореня.

Алгоритм звільнення від ірраціональності у знаменнику дробу:

1) Розкласти знаменник дробу на множники.