Kompleksni logaritmi. Pomen in moč Logaritemska funkcija kompleksnih števil za čajnike

Imenovanje te oblasti

Kompleksna ničla nima logaritma, kompleksne eksponentne lestvice ne prevzamejo vrednosti nič. Nenulove texvc se lahko predstavi v obliki prikaza:

Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - math/README - z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, de Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - dokončanje posodobitve.): k- kar nekaj

Todi Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - math/readme: \mathrm(Ln)\,z pozna formulo:

Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - math/readme: \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

tukaj Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - dokončanje nastavitve.): \ln\,r=\ln\,|z|- govorni logaritem. Zvoki kričijo:

Iz formule je razvidno, da je pri enem in manj kot enem z vrednost jasno viden del spremembe intervala Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc . Pomen se imenuje vodilne vrednote kompleksen naravni logaritem. Klicana je Vidpovidna (že nedvoumna) funkcija glava gulka logaritem je naveden Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - math/README: \ln\,z. Inode skozi Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - matematika/README - prilagajanje.): \ln\, z navedite tudi vrednost logaritma, ki ne leži tako na glavi glave. Yakscho Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - zaključek nadgradnje.): z- govorno številko, potem se smut vrednost yogo logaritma vzame z največjim govornim logaritmom.

Iz inducirane formule je tudi razvidno, da je govorni del logaritma označen z žaljivim rangom skozi komponento argumenta:

Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - math/README: \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Majhna slika kaže, da je govorni del kot funkcija komponent centralno simetričen in leži le malo do storža koordinat. Na navpični osi se bo pojavil ovoj grafa govornega logaritma. Blizu ničle, funkcija desne Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - dokončanje posodobitve.): -\infty.

Logaritem negativnega števila je za formulo:

Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - math/readme: \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 , \ pm2\ pike)

Uporabite vrednost kompleksnega logaritma

Predstavljamo smut vrednost logaritma ( Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - dokončanje.): \ln) ta hud izraz joge ( Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - math/readme: \mathrm(Ln)) za veljavne argumente:

Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. matematika/README - prilagajanje.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - dokončanje.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - math/README: \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Naj bo varno pri pretvorbi kompleksnih logaritmov, vrakhovuyuchi, ker je smrad bogat, in zaradi enakosti logaritmov vseh virusov, enakost teh virusov ne izstopa. Zadka oprosti mirkuvannya:

Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. matematika/README - matematika/README - prilagajanje.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi- Očitno pomilostitev.

Pomembno je, da je levičar vreden vrednosti glave logaritma, desničar pa vrednost spodnje glave ( Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - zaključek: k=-1). Razlog za pomilostitev je neprevidnost oblasti Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. matematika/README - matematika/README - prilagajanje.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b.

Kompleksna logaritemska funkcija in Riemannova površina

Zaradi ene povezave je Riemannova površina logaritma univerzalna krivulja za kompleksno ravnino brez pike. Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc .

Analitično spremljanje

Logaritem kompleksnega števila lahko dodelimo tudi kot analitično razširitev govornega logaritma na celotno kompleksno ravnino. Gremo krivo Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc začnite v osamljenosti, ne prehajajte skozi ničlo in ne spreminjajte negativnega dela govorne osi. Enaka smut vrednost logaritma v končnih točkah Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - dokončanje prilagoditve.): w krivulja Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - math/README: \Gamma lahko pripišemo formuli:

Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - prilagajanje.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Yakscho Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - math/README: \Gamma- preprosta krivulja (brez samopermutacije), potem je za številke, ki ležijo na njej, logaritemsko totemnost mogoče določiti brez boja, na primer:

Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - zaključek: \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Glava logaritemske funkcije je neprekinjena in diferencirana na celotni kompleksni ravnini, vendar na negativnem delu govorne osi, na Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - dokončanje posodobitve.): 2\pi. In to dejstvo je rezultat kos-mealinga očitnega dela vrednosti glave po intervalu Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - dokončanje nastavitve.): (-\pi, \pi]. Če pogledate vse dvorane funkcije, je lahko kontinuiteta na vseh točkah, razen na nič, de funkcija ni dodeljena. Kako dovoliti krivo Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - math/README: \Gamma premakniti negativni del govorne osi, nato najprej prenesti rezultat iz vrednosti glave na susceptus glave, na kožnem koraku pa je rezultat podoben premikanju logaritemske funkcije vzdolž nog (razd. dojenčki).

3 formule za analitično spremljanje, kakšen naj bo logaritem logaritma:

Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - prilagajanje.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\over z)

Za kakršen koli vložek Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - dokončanje finalizacije.): S, v čem je smisel Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - dokončanje posodobitve.): 0 :

Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - prilagajanje.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Integral je vzet iz pozitivne smeri (puščica proti letu). Vrednost je v osnovi teorije okrevanja.

Izračunate lahko tudi analitično nadaljevanje kompleksnega logaritma za dodatne vrstice, uporabljene za govorni vzorec:

Prote z um tsikh ryadіv viplivaє, scho v enoti vsota na število dorivnyuє nič, tako da se serija prinese samo do glave bogate vrednosti funkcije kompleksnega logaritma. Polmer bivanja na obeh vrstah vrat 1.

Povezave z obrnjenimi trigonometričnimi in hiperboličnimi funkcijami

Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - dokončanje nastavitve.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (і z + \sqrt(1-z^2)) Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. matematika/README - matematika/README - prilagajanje.): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - dokončanje.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; matematika/README - matematika/README - prilagajanje.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - zaključek nastavitve.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- obratni hiperbolični sinus Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - dokončanje nastavitve.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- obratni hiperbolični kosinus Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - dokončanje nastavitve.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- povratna hiperbolična tangenta Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. math/README - zaključek nastavitve.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- obrnjeni hiperbolični kotangens

zgodovinska risba

Leibnizu in Johannu Bernoulliju, ki sta prva poskušala rešiti logaritem za kompleksna števila na prelomu iz XVII v XVIII. stoletje, Leibnizu in Johannu Bernoulliju ni uspelo ustvariti koherentne teorije - iz teh razlogov, da tudi takrat ni bilo jasno razumeti sam logaritem. Razprava o tej temi je potekala skupaj med Leibnizom in Bernoullijem, sredi 18. stoletja pa med d'Alembertom in Eulerjem. Bernoulli in d'Alembert sta razmišljala, kaj bi moralo biti Nemogoče je odpreti virus (zmagovalna datoteka texvc NE znanje; Div. matematika/README - prilagajanje.): \log(-x) = \log(x), podobno kot Leibnitz, ki je dokazal, da je logaritem negativnega števila jasno število . Novo teorijo logaritmov negativnih in kompleksnih števil je objavil Euler v letih 1747-1751 in je danes pravzaprav na noben način ne obravnavamo. Želel je super dekle trival (D'Alembert, ki je zagovarjal svojo misel in domnevno zagovarjal v člankih svoje "enciklopedije" in drugih praks), je Eulerjev pidkhіd do konca XVIII stoletja odvzel globoko znanje.

Napišite oceno o članku "Kompleksni logaritem"

Literatura

Teorija logaritmov

• Korn R., Korn T.. – M.: Nauka, 1973. – 720 str.
• Sveshnikov A. G., Tikhonov A. M. Teorija funkcij kompleksnih sprememb. – M.: Nauka, 1967. – 304 str.
• Fikhtengolts G.M. Potek diferencialnega in integralnega računanja. - Pogled. 6. – M.: Nauka, 1966. – 680 str.

Zgodovina logaritmov

• Matematika 18. stoletja // Pod uredništvom A. P. Juškeviča, v treh zvezkih. - M.: Nauka, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Juškevič A. P. (ur.). Matematika XIX stoletja. Geometrija. Teorija analitičnih funkcij. - M.: Nauka, 1981. - T. II.

Opombe

1. Logaritemska funkcija. //. - M .: Radianska enciklopedija, 1982. - T. 3.
2. , II. zvezek, strani 520-522.
3. , z. 623..
4. , z. 92-94.
5. , z. 45-46, 99-100.
6. Boltyansky St R., Efremovič St.. - M.: Nauka, 1982. - Str. 112. - (Kvantna knjižnica, številka 21).
7. , II. zvezek, strani 522-526.
8. , z. 624..
9. , z. 325-328.
10. Ribnikov K.A. Zgodovina matematike. V dveh zvezkih. - M .: Pogled. MDU, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231.
11. , z. 122-123.
12. Klein F.. - M.: Nauka, 1987. - T. II. Geometrija. - S. 159-161. – 416 str.

Lekcija, ki označuje kompleksni logaritem

Ko smo videli divjo vročino, ki nas je dušila, smo se v vrečah pognali po široki dolini, ne da bi razmišljali o tistih, ki bi lahko malo popili še na drugem "zgoraj" ... Preprosto nismo imeli časa razmišljati o tem - že smo se preplezali.
Bitje je priletelo tik nad nami in glasno klopotlo z zobato čeljustjo, mi pa smo hiteli, hiteli iz moči, v smeri škropili gnusne sluzaste kapljice in dobre misli, da bi motor "čudežne ptice" še hitreje začivkal ... bogatejši švedski in vohunski v njem, enostavno nismo imeli nobenih možnosti. Kar se tiče zla, v bližini ni raslo niti eno drevo, ni bilo grmovja, kamnov, za katerimi bi se dalo skriti, le v daljavi se je videla bleščeča črna skelja.
- Tudy! - Stella je zakričala, ko je s prstom pokazala na isto okostje.
Ale raptom, kar ni presenetljivo, tik pred nami se je pojavil zvok stote, v obliki katerega nam je dobesedno lovila kri v žilah ... To vinykla nibi "prav iz zraka" in je bila v pravem okrnjenem načinu ... Veličastna črna trupla zhorstko las, rolyachi yogo podoben trbušastemu medvedu, le ta "wedmid" je bil visok kot plen s tremi površinami ... Bubasta glava pošasti "ranjena" z dvema veličastnima ukrivljenima rogovi, in par neimovirno dovgi je olepšal zhahliv testenine, gostrikh, kot noži, preluknjani, tіlki na jaka, noge so se zibale kot zanka ... In potem, nevidno nas dvignila, je pošast zlahka šla v hrib in.
- Bіzhimo! Stella je zacvilila. - Tіkaєmo, dokler vina "poklic"!
In že smo bili pripravljeni, da gremo spet, ne da bi se ozrli nazaj, kot napihnjen glas za našim hrbtom:
- Dekle, poglej! Ni treba kljukati!
Ostro so se obrnili - za njo je stala jokajoča deklica, lepa črnooka ... in mirno zapela čudežno, kaj ji je prišlo! No, zagotovo je dan presenečenja! .. Deklica, ki se nam je čudila, se je toplo nasmehnila, ne bojimo se reda dlakave pošasti, ki bi jo morali poučiti.
- Bodite prijazni, ne borite se z jogo. Vin je prijazen. Vpili smo, da te preganja Ovara, oni pa so nam pomagali. Dean je mladenič takoj dohitel. Res, draga moja?
"Garniy" je godrnjal, preboden kot lahki deževnik in si obril glavo, prikrito lizal dekle.
- In kdo je Ovara in zakaj nas je napadla? - Vprašal sem.
- Vaughn napada vse, ona je koča. Nisem več varna,« je mirno rekla deklica. - Lahko spiš, kaj počneš tukaj? Ali ne vidite, dekleta?
- Ne, ne glej. Pravkar smo hodili. Ale, no, hrana je na tebi - in zakaj si tu robaš?
Grem k mami ... - se je mali namrščil. - Umrli smo naenkrat, pa vendar mislim, da je pila sudi. In zdaj živim tukaj, a ne rečem ničesar, ker ni časa za to. Misliš, da ravno prihajam...
- Zakaj ne prideš pogosteje in prav? Tam je tako pohlepno! .. - je Stella izmenjala gube.
– Ne morem je pustiti tukaj, za njo se sprašujem, da se z njo ni nič zgodilo. I os Dіn zі me ... Vіn pomagaj mi.
Nisem mogel verjeti ... Ta mala dobra punčka je prostovoljno odšla iz svojega toplega in prijaznega "zgoraj", da bi živela v tem mrzlem, skopuškem in tujem svetu, varovala svojo, menda "vinnut", mamo! Ni bogato, mislim, poznal bi tako dobre in samozavestne (da bi odrasel!) ljudi, ki bi jih poklicali k takšnemu podvigu ... Takoj sem pomislil - morda le ni razumela, kaj je si bo rekla?!
- In kako dolgo ste že tukaj, punca, ali ni skrivnost?
- Še ne dolgo nazaj ... - povzeto vіdpovila, s prsti čohni črni koder njenih kodrastih las, črnooki mali. - Pil sem v tako toplem svetu, če bi umrl! .. Vin je bil tako prijazen in bister! Tako me je bilo strah! Zakaj se to ni zgodilo nikjer ... In potem sem padel v ta zhahlivy svet ... In potem je njena vedela. Tako me je bilo strah tukaj ... Tako naravno ... Mama mi je rekla, naj grem, je zalajala. Ale, ne morem se znebiti ... Zdaj imam prijatelja, prijaznega Deana, in se že počutim, kot da sem tukaj.
Njegov "dobri prijatelj" je spet postal jezen, ko je videl, da so se s Stello pojavile veličastne "nižje astralne" gobe po koži ... Ko sem vstal, sem se poskušal malo umiriti in se začel čuditi tej dlakavi divi ... izgubili so spoštovanje , motorično kazali zobe na svojem pašniku ... sem skočil ven.
- Oh, ne kregaj se, bodi prijazen! Zakaj bi se smejal, - se je deklica pomirila.
Torej... S takšnim smehom se boš začel veliko učiti... - sem pomislil.
- In kako se je zgodilo, o čem ste se pogovarjali z njim? - je vprašala Stella.
- Če bi le prišel sem, me je bilo še bolj strah, še posebej, če so te danes napadle takšne pošasti. In enkrat, če ne bi malo umrl, je Dean, ko me je predal kot celoto, kupil strašne leteče "ptice". Zarenčal sem tudi na zatilju, potem pa sem razumel, kot novo zlato srce ... Vin je najboljši prijatelj! Takih nisem imel, če bi se zadrževal na Zemlji.
- Toda kako ste zveneli tako živahno pred novim? Aje brezčutnost novega se ne pozna, recimo tako, zvična je ...
- In tukaj sem se naučil eno preprosto resnico, nisem se spomnil, kaj sem mislil na Zemlji - klicnost ni pomembna, saj imajo ljudje dobro srce ... In potem je vsa lepota nekam izginila ... In Din, čeprav je grozno, potem za vedno bodi prijazen in me za vedno zaščiti, vidim ga dobro in se ničesar ne bojim. In lahko pokličete zovnіshnosti.
- Ali veste, da boste tukaj še dolgo, bolj bogato, kot živijo ljudje na zemlji? Zakaj ne želiš ostati tukaj?
- Tukaj je moja mama, oče, mushu mu pomagam. In če bo "ven", da bom spet živel na Zemlji, bom šel tudi ... Tja, za bog, več. V tem groznem svetu so ljudje še bolj čudoviti - ne smrdijo in se ne zadržujejo v ognju. Zakaj tako? Ali veste o tem?
- In kdo ti je rekel, da tvoje matere ni več, da bom spet živel? - Stella se je zataknila.
- Dean, očitno. Veliko veste, tudi če že dolgo živite tukaj. In ko sem rekel, da če bova (z mama) spet zaživela, bova imela druge ljudi z nami. In potem v meni ne boste več matere ... Potem se želim takoj družiti z njo.
- In kako se pogovarjaš z njim, s svojim dekanom? - je vprašala Stella. – Zakaj nočeš povedati svojega imena?
In res je – nismo vedeli, kako se sliši! In zvezde sploh niso vedele ...
- Ime mi je bilo Maria ... Toda kaj pomeni to?
- No, očitno! - se je zasmejala Stella. - In kako naj govorim s tabo? Axis če prideš - tam boš poimenoval novega, zaenkrat pa ostani tukaj, živel boš v starosti. Ste govorili tukaj iz Kimosa, punca Marie? - Za zvichkoyu skakanje s tistih na temo, je Stella vprašala.
- Torej, govorila sem ... - je ravnodušno rekla deklica. - Ale, smrad tukaj je tako čudovit. In tako nesrečen ... Zakaj smrad tako nesrečen?
- In hіba tisti, kaj delaš tukaj, si lahko srečen? - Z veseljem sem hranil. - Navit sama tukaj "resničnost" vnaprej vozi v be-podobnih upah! .. Kako si lahko tukaj srečen?
- Ne vem. Če sem pri mami, sem srečna, lahko bi bila srečna tudi tukaj ... Res je, tukaj je strašljivo in tukaj ne pašem več ... Če bi rekel, da sem dober zanjo , je veliko vpila name in rekla, da sem "na žalost brez možganov" ... Ampak ne pokažem se ... vem, da me je samo strah. Torej, tako kot jaz ...
- Mogoče vas je samo želela rešiti vaše "skrajne" odločitve in je želela, da se vrnete k njej "zgoraj"? - Previdno, schob ne grd, Stella je spala.
- Ne, zvichayno no ... Ale, hvala za prijazne besede. Mama me je pogosto klicala z nelepimi imeni, da bi me pripeljala na Zemljo ... Vem pa, da ni jeze. Vaughn je bil preprosto nesrečen zaradi tistih, ki sem jih rodil, in mi je pogosto rekel, da sem si uničil življenje. Ampak nisem bila jaz kriva, kajne? Vedno sem se trudil biti srečen, a zakaj nisem niti šel v to ... Toda v meni ni bilo take stvari, kot je tata. - Marija je bila bolj razkošna in njen glas je bil tremtiv, namesto osi joka.
Mi in Stella sta se spogledali in še bolj me je navdušilo, da sem videla podobne misli... povrhu še bolj boleče lažne.
- Axis Dіn kazhe, jaz sem dober, in delam jogo še bolj vesel! - je malenkost jecljala bolj veselo. - Želim biti prijatelj z mano. In drugi, ki sem jih tu zmerjal, so še bolj hladni kot baiduzhi in včasih prinesejo zlo ... Še posebej tisti, ki imajo navezane pošasti ...
- Pošasti - kaj? .. - nismo razumeli.
- No, na hrbtu imajo strašljive pošasti in zdi se jim, da je smrad lahko robitski. In če ne poslušaš, so pošasti strašno zaskrbljene zanje ... Poskušal sem govoriti z njimi, a pošasti tega niso dovolile.
Te "razlage" nismo razumeli popolnoma nič, a že to, da takšne astralne stvari pretresajo ljudi, nismo "dosegli" v trenutku, zato smo bili nahranjeni, kot smo morda, s čudovito manifestacijo. magije.
- Oh, to škripanje! Še posebej bіlya "črna opeklina". Za drevesi so vina. Počakaj, mi tezh s tabo pіdemo?
- Zvichayno, za moje dobro! - Stello je takoj pozdravilo.
Meni tezh, če sem iskren, se ni niti smejal možnosti zustrichatsya s kimoshche, "motornim in nerazumnim", zlasti samoukom. Aleksey tsіkavіst je premagal strah in mi bi seveda odšli, ne glede na tiste, ki so se bali majhnih ... Ampak če bi imeli s seboj takšnega zahisnika, kot je Din, bi bilo bolj zabavno ...
Prva os, v kratkem času, pred našimi široko odprtimi očmi se je prav pekel razplamtel ... ... Božanska vina očitno ne buv, ampak bov samo zato, da bi podlegel, kot da bi lahko podlegel nižji astral. Ale, paziti moraš nate in si predstavljaš vina tega čudežnega ... Te slike sem vpisal v knjigo, kot da bi bile v knjižnici mojega očeta, in teh motorjev se spominjam v spominu, kot da nosili v sebi več slik ...
- Kakšen udarec! .. - je zašepetala Stella v svoji goloti.
Posamezno bi se dalo reči, da smo tekli tukaj, po »režijah«, da je že bogato ... A kaj takega ne moremo videti v najhujši nočni mori! veličasten, mahajoč v bližini skale, ploski "kotel", na dnu katerega je brbotala škrlatna "lava" ... Rozpečenje je povsod "počilo" s čudovitimi rdečimi puhlji, ki so jih spalahuly, iz katerih je preživela pojoča para. in padel z velikimi kapljicami. na tleh, ali na ljudeh, kot da bi se v tistem trenutku dvignili ... Nesebični kriki so zazibali, a so se takoj premaknili, bolj na hrbtih tihih ljudi so sedela ogidna bitja, kot bi z zadovoljnim pogledom, »navijali ” njihovih žrtev, ki niso brutalno požrešne na ta trpljenja... Pod bosimi nogami ljudi se je pekel rdeč kamen, ki je brbotal in "topil" hrano s toploto škrlatne zemlje... Krizne veličastne razpoke so izbruhnile z brizganjem vročega para in pekoča človeška stopala, ki so bile vsepovsod, bolečina. viseli, vapeli z lahkim dimljenim ... In po sami sredini "jame" je tekla svetlo rdeča, široka, ognjena reka, pri jagu, uro za uro, so tiste ogidne pošasti neustavljivo brbotale nad tistim chi іnsha mučenim dnevom, jak, ki je padal, je zaklical še kratek pljusk oranžnih iskric in prav tam, preoblečena v ljubico v puhasti beli meglici, je vedela ... nekaj časa ... Bilo je peklensko in mi, Stella, smo želeli znati "priti v stik" ...
– Kaj je robitim?.. – je zašepetala Stella s tihim vročičnim glasom. - Ali želite iti tja dol? Hiba jim lahko pomagamo? Čudite se, kako bogato je!
Stali smo na črno rjavem, toplotno posušenem britju, varovani pred bolečino, pomanjkanjem pobega in nasiljem in čutili, da so tla otroško nemočna, ki jih je moja bojevnica Stella tokrat kategorično zložila in bila pripravljena bula na prvi klic hitite k svojemu, tako dragi in zgoraj, zgornji "na vrh" ...

Gradivo iz Wikipedije - brezplačne enciklopedije

Imenovanje te oblasti

Kompleksna ničla nima logaritma, kompleksne eksponentne lestvice ne prevzamejo vrednosti nič. Nenulove $z$ se lahko predstavi v obliki prikaza:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$ de $k$- kar nekaj

Todi $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$ pozna formulo:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash levo(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash desno)$

tukaj $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$- govorni logaritem. Zvoki kričijo:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash dots)$

Uporabite vrednost kompleksnega logaritma

Predstavljamo smut vrednost logaritma ( $\backslash ln$) ta hud izraz joge ( $\backslash mathrm(Ln)$) za veljavne argumente:

$\backslash ln(1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln(i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

Naj bo varno pri pretvorbi kompleksnih logaritmov, vrakhovuyuchi, ker je smrad bogat, in zaradi enakosti logaritmov vseh virusov, enakost teh virusov ne izstopa. Zadka oprosti mirkuvannya:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$- Očitno pomilostitev.

Pomembno je, da je levičar vreden vrednosti glave logaritma, desničar pa vrednost spodnje glave ( $k=-1$). Razlog za pomilostitev je neprevidnost oblasti $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$.

Kompleksna logaritemska funkcija in Riemannova površina

Zaradi ene povezave je Riemannova površina logaritma univerzalna krivulja za kompleksno ravnino brez pike. $0$.

Analitično spremljanje

Logaritem kompleksnega števila lahko dodelimo tudi kot analitično razširitev govornega logaritma na celotno kompleksno ravnino. Gremo krivo $\backslash Gamma$ začnite v osamljenosti, ne prehajajte skozi ničlo in ne spreminjajte negativnega dela govorne osi. Enaka smut vrednost logaritma v končnih točkah $w$ krivulja $\backslash Gamma$ lahko pripišemo formuli:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash over\; u)$

Yakscho $\backslash Gamma$- preprosta krivulja (brez samopermutacije), potem je za številke, ki ležijo na njej, logaritemsko totemnost mogoče določiti brez boja, na primer:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash forall\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash colon\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

Glava logaritemske funkcije je neprekinjena in diferencirana na celotni kompleksni ravnini, vendar na negativnem delu govorne osi, na $2\backslash pi$. In to dejstvo je rezultat kos-mealinga očitnega dela vrednosti glave po intervalu $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. Če pogledate vse dvorane funkcije, je lahko kontinuiteta na vseh točkah, razen na nič, de funkcija ni dodeljena. Kako dovoliti krivo $\backslash Gamma$ premakniti negativni del govorne osi, nato najprej prenesti rezultat iz vrednosti glave na susceptus glave, na kožnem koraku pa je rezultat podoben premikanju logaritemske funkcije vzdolž nog (razd. dojenčki).

3 formule za analitično spremljanje, kakšen naj bo logaritem logaritma:

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash nad\; z)$

Za kakršen koli vložek $S$, v čem je smisel $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash over\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

Integral je vzet iz pozitivne smeri (puščica proti letu). Vrednost je v osnovi teorije okrevanja.

Izračunate lahko tudi analitično nadaljevanje kompleksnega logaritma za dodatne vrstice, uporabljene za govorni vzorec:

{{{2}}}

(1. vrstica)

{{{2}}}

(2. vrstica)

Prote z um tsikh ryadіv viplivaє, scho v enoti vsota na število dorivnyuє nič, tako da se serija prinese samo do glave bogate vrednosti funkcije kompleksnega logaritma. Polmer bivanja na obeh vrstah vrat 1.

Povezave z obrnjenimi trigonometričnimi in hiperboličnimi funkcijami

$\backslash operatorname(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (і\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arsh)z\; =\; \backslash operatorname(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- obratni hiperbolični sinus $\backslash operatorname(Arch)z=\backslash operatorname(Ln)\; \backslash left(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash right)$- obratni hiperbolični kosinus $\backslash operatorname(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash desno)$- povratna hiperbolična tangenta $\backslash operatorname(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash right)$- obrnjeni hiperbolični kotangens

zgodovinska risba

Leibnizu in Johannu Bernoulliju, ki sta prva poskušala rešiti logaritem za kompleksna števila na prelomu iz XVII v XVIII. stoletje, Leibnizu in Johannu Bernoulliju ni uspelo ustvariti koherentne teorije - iz teh razlogov, da tudi takrat ni bilo jasno razumeti sam logaritem. Razprava o tej temi je potekala skupaj med Leibnizom in Bernoullijem, sredi 18. stoletja pa med d'Alembertom in Eulerjem. Bernoulli in d'Alembert sta razmišljala, kaj bi moralo biti $\backslash log(x)\; =\; \backslash log(x)$, podobno kot Leibnitz, ki je dokazal, da je logaritem negativnega števila jasno število . Novo teorijo logaritmov negativnih in kompleksnih števil je objavil Euler v letih 1747-1751 in je danes pravzaprav na noben način ne obravnavamo. Želel je super dekle trival (D'Alembert, ki je zagovarjal svojo misel in domnevno zagovarjal v člankih svoje "enciklopedije" in drugih praks), je Eulerjev pidkhіd do konca XVIII stoletja odvzel globoko znanje.

Napišite oceno o članku "Kompleksni logaritem"

Literatura

Teorija logaritmov

• Korn R., Korn T.. – M.: Nauka, 1973. – 720 str.
• Sveshnikov A. G., Tikhonov A. M. Teorija funkcij kompleksnih sprememb. – M.: Nauka, 1967. – 304 str.
• Fikhtengolts G.M. Potek diferencialnega in integralnega računanja. - Pogled. 6. – M.: Nauka, 1966. – 680 str.

Zgodovina logaritmov

• Matematika 18. stoletja // Pod uredništvom A. P. Juškeviča, v treh zvezkih. - M.: Nauka, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Juškevič A. P. (ur.). Matematika XIX stoletja. Geometrija. Teorija analitičnih funkcij. - M.: Nauka, 1981. - T. II.

Opombe

1. Logaritemska funkcija. //. - M .: Radianska enciklopedija, 1982. - T. 3.
2. , II. zvezek, strani 520-522.
3. , z. 623..
4. , z. 92-94.
5. , z. 45-46, 99-100.
6. Boltyansky St R., Efremovič St.. - M.: Nauka, 1982. - Str. 112. - (Kvantna knjižnica, številka 21).
7. , II. zvezek, strani 522-526.
8. , z. 624..
9. , z. 325-328.
10. Ribnikov K.A. Zgodovina matematike. V dveh zvezkih. - M .: Pogled. MDU, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231.
11. , z. 122-123.
12. Klein F.. - M.: Nauka, 1987. - T. II. Geometrija. - S. 159-161. – 416 str.

Lekcija, ki označuje kompleksni logaritem

Vidi se, da se ta močna, čudovita oseba, ki se je spremenila pod očarljivo infuzijo, obrne na novo črno, graciozno, ljubeče dekle.
Rostov se je spominjal novega sveta Dolohova in Sonje; ale, ne da bi se podpisali, yakі tse buli new vіdnosiny. "Smrdi brki v kohoš," razmišlja vino o Sonji in Nataši. Toda za vas ni bilo tako, kot prej, v miru s Sonjo in Dolohovom in prej ste postali doma.
Jeseni 1806 je vse spet začelo govoriti o vojni proti Napoleonu z večjo vročino, nižjo od zadnje usode. Imenovanja buv niso zaposlila samo rekruta, ampak še vedno 9 bojevnikov od tisoč. Povsod so preklinjali Bonaparta z anatemo, v Moskvi pa je bilo o prihajajoči vojni le malo smisla. Za družino Rostov je ves interes v pripravah pred vojno, le v dejstvu, da Mikoluška ni preveč dobra, da bi jo pustili v Moskvi in ​​bi izvili le desetino sprejema Denisova, da bi šel z njim takoj v polk svetnika. Prihodnji dan ni samo želel, da bi se zabavali, ampak vas je vseeno želel do konca. Večino časa preživijo doma, na obidah, večerih in balih.

XI
Tretji dan praznika je Mikola poškodoval svoj dom, ki je do konca ure le redko hodil z njim. To je uradna poslovilna žalitev, oskolki vina iz Denisovym їhav v polku po Khreshchennya. Dvajset užaljenih ljudi, med njimi Dolokhov in Denisov.
Nikolaja v Rostovovi hiši ljubezni spet vzdušje zadušitve ni dovolilo občutiti takšne moči, kot da je dan sveti. »Hvilini veselo lovi, kohati stresi, ubij se! Samo ena in ista pomoč na svetu - reshta vse po malem. Tukaj sem samo zaposlen,« se je zdelo vzdušje. Mykola, kot in za vedno, ko je zvil dva para konj, potem pa ni dohitel, da bi obiskal vse kraje, zakaj si potreboval plen in kam si ga poklical, ko je prišel domov pred žalitvijo. Kot samo vin uvishov, vin se spominja in vidi intenzivnost ljubezenskega vzdušja v stojnici, poleg tega pa vin spominja na čudovito zamіshanno, ki panuє mіzh med aktivnimi člani zarote. Še posebej blagoslovljeni so bili Sonja, Dolokhov, stara grofica in mala Nataša. Mykola je razumen, ni dovolj, da postaneš obidu med Sonjo in Dolohovom, in z močnim chuynistyu srca je še nižje in amuleti, za uro užaljenosti, ob priliki obeh. Isti večer tretjega dne je sveti mav buti eno od tihih bal pri Yoglu (učiteljici plesa), kot daja vino od svetnice za vse njene učence, tistega učenca.
- Nikolenko, boš šel v Yogel? Bodi prijazen, pojdi, - ti je rekla Natalija, - prosim te posebej za vino, in Vasil Dmitritch (tse buv Denisov) je tukaj.
- Kamorkoli ne grem po naročilo ґafіnі!
- Ko ga dobim! Proslavljal sem Arkharovim, imajo zabavo, - pravi Mykola.
– In ti? - Obrnil sem se nazaj k Dolohovu. Lepo sem se naspal in se spomnil, česa ti ni bilo treba hraniti.
- Torej, morda ... - Dolokhov hladno in jezno gleda v Sonyo in, namrščeno, gleda tako v klub, se čudi P'eru, spet pogleda Mikola.
»Je,« je mislil Mikola in se še bolj potrjeval v svojem priznanju, da mu je Dolohov takoj napisal žalitev. Zmaga Natalka in sprašuje, kaj je to?
- In šalila sem se, - je rekla Natasha in vzdihovala do novega. - Rekel sem, da nisi hotel vsega verjeti, - je zmagoslavno rekla, - ko si zgradil Sonyin predlog.
Ker ste v vsej uri veliko skrbeli za Mykola Sonya, čeprav ni bolelo, če ste se počutili krivega. Dolokhov buv je vreden in v deyaky vidnosis svetla zabava za Sir Sonya. Glede na pogled stare grofice ti ta luč ni mogla pomagati. Pred tem sem se počutil kot Mikoli, če sem čutil, sem bil ogorčen proti Sonji. Vіn se je pripravljal povedati: "Čudežno je, smiselno je, pozabiti moraš na otroške obіtsyanke in sprejeti predlog"; vendar nisem ujel krivde več za povedati.
- Lahko se pokažeš! vona led, zowsim led! Natalia je spregovorila. - Vaughn je rekel, scho ljubiti іnshoy, - je dodala, troch pomochavsya.
"Tako moja Sonya ne bi mogla popraviti!" Mikola je pomislil.
- Mama ni zahtevala skilkija, naredila je to in vem, da ne bo spremenila tega, kar je rekla ...
- In moja mama jo je vprašala! - Z dokor je rekel Mikola.
- Da, - je rekla Natalka. - Veš, Nikolenko, ne jezi se; ampak vem, da se z njim ne boš spoprijateljil. Vem, Bog ve zakaj, zagotovo vem, da ne boš sklepal prijateljev.
»Pa ne veš kaj,« je rekel Mikola; - Alemeni se mora pogovoriti z njo. Kakšna lepotica, Sonya! – dodajanje vina, smeh.
- Tse take charіvnіst! Dal ti bom njeno. - Natalka sem, ko sem poljubila brata, pritekla noter.
Skozi udarec je Sonya odšla, hudobna, to vino je bilo uničeno. Mykola Pidiishov ji je pred njo poljubil roko. To je bilo prvič, da so smradi ob svojem prihodu ves čas govorili in o svoji kohanji.
- Sophie, - ko je rekel plaho, potem pa se bomo vsi bolj in bolj veselo nasmehnili, - kot da želiš delovati ne samo v svetli, zmagoviti zabavi; ale vin lep, plemenit moški ... vin moj prijatelj ...
Sonya je prekinila jogo.
- Sem že opazila, - je rekla naglo.
- Če deluješ zame, potem se bojim, da zame ...
Sonya je spet prekinila Yoga. Vaughn je strmel v novega z blaženim, zibajočim pogledom.
- Nicolas, ne povej mi, - je rekel potepuh.
- Ne, jaz sem mushu. Mogoče tse dovolj [arogantnost] z moje strani, ampak povedano bolj preprosto. Če mi slediš, potem sem ti dolžan povedati vso resnico. Ljubim te, mislim več ...
"Stara sem," je rekla Sonya, ko se je ujela.
- Ne, ampak tisočkrat so me zadušili in zadušili, ker si želim takšnega občutka prijateljstva, zaupanja, ljubezni, ne morem doseči nikogar, kot si ti. Naj ostanem mlad. Mama noče ničesar. No, samo nič ne zamerim. In prosim vas, da razmislite o Dolohovovem predlogu, - ko je rekel vino, na silo izsilil klic svojega prijatelja.
- Ne reci mi. nič nočem. Ljubim te kot brata in za vedno ljubljenega in od mene se ne zahteva nič več.
- Vee angel, nisem te vreden, a se manj bojim, da bi te preslepila. - Mikola ti je še enkrat poljubil roko.

Yogel Mav najbolj zabaven Bali v Moskvi. Tako so govorile matere, ki so se čudile svojim mladostnikom, [deklicam], kaj pravijo o lastnih vičenih pasih; govorili so in sami mladostniki in mladostniki, [dekleta in mladostniki], so plesali, dokler niso padli; Ta odrasla dekleta in mladi so kot prišli na bale z mislijo, da gredo k njim in tistim, ki se v njih najbolje zabavajo. Kakšna usoda sta na teh balih postali dve kurbe. Dve princeski Gorčakova sta poznali imeni in odšli v tujino ter spustili več ljudi v slavo Balija. Predvsem na teh balih so bili tisti, ki niso imeli gospodarja tega gospoda: buv, kot puh lete, po pravilih umetnosti, dobrodušni Yogel, ki je sprejemal račune za lekcije od vseh svojih gostov; to so bili tisti, ki so še čakali le na tiste, ki so želeli plesati in se zabavati, kakor hočejo 13- in 14-letne punce, kot da bi oblačile staro krpo. Brki, za redke vinnyatki, boules chi so dobili garnery: tako zadušen smrad so se vsi smejali in oči so jim tako zasvetile. Nekateri najboljši učenci so plesali na pas de chale, za najboljši Natalkin balvan, saj je pomenil njegovo milost; a pri tem je ostala žoga plesali le ecosesi, anglesi in mazurka, kar bi moralo biti modno. Dvorano je pri Bezuhovih stojnicah zavzel Yogel, žoga pa je bila, kot so vsi rekli, bolj oddaljena. Bilo je veliko lepih deklet in Rostov pannochki so bili najboljši. Smrad zamere je bil še posebej vesel in vesel. Tisti večer je Sonya, ponosna na Dolohovo predlogo, na svojo razlago Mikole, še vedno krožila po hiši in ni pustila, da bi deklica zavohala svojo koso, in zdaj je močno zasijala od ognjenega veselja.
Nataša, nič manj ponosna nanje, da je bila v starem suknu, na pravem balu, je bila bolj vesela. Prekrški so bili v belih, muslinskih krpah z erizipelnimi šivi.
Natalya je postala zakokhana iz istih kapric, kot da bi šla na žogo. Vaughn ni podlegel nikomur posebej, je pa podlegla vsem. Tisti, ki se ji je potepuška na tistem mestu začudila, kakor da bi se čudila, v tem zaman je bila udarjena.
- Oh, kako dobro! - Vsi so spregovorili, podbіgayuchi za Sonia.
Mikola in Denisov sta se sprehajala po dvoranah in zvito in pokroviteljsko gledala v plese.
- Kot da je sladka, boš v redu, - je rekel Denisov.
- WHO?
- Gafinya Natasha, - Vidpoviv Denisov.
- Sem kot plesalec, kot gatz! - Ko sem se pogovarjal s trohi, ko sem spet rekel vina.
- O kom govoriš?
"O tvoji sestri," je jezno zavpil Denisov.
Rostov se je nasmehnil.
- Mon cher comte; Vous etes l'un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez, je rekel mali Yogel in se približal Mikoli. - Voyez combien de jolies demoiselles. lepa dekleta!] - Na enak način sem se obrnil nazaj k Denisovu, tudi moji ogromni izobrazbi.
"Živjo, ljubezen moja, tukaj sedim in pišem steno," je rekel Denisov. - Heba, se ne spomniš, kako sem bil pokvarjen s tvojimi lekcijami?
- Oh ne! - hitro vtishayuchi yogo, rekoč Yogel. - Večinoma nespoštljivo, najmanj pa za vibracije, za tako, najmanj za vibracije.
Igrali so mazurko, ki se je ponovno uvajala; Mykola se Yoglu ni takoj odzval in je prosil za Sonyo. Denisov pidsív k babici in se naslanja na vzorec, zaduši utrip, šole veselo recitirajo in spravljajo stare dame v smeh, gledajo mlade, kaj plešejo. Yogel je s prvim parom plesal z Natalko, svojim ponosom in najboljšo dijakinjo. M'yako, ki je s svojimi škorenjčki v škornjicah nežno trgal, je Yogel najprej prestrašen preletel dvorano, a se pridno pripravljal na Natalko. Denisov ni odprl oči in je tapkal po taktu, s takšnim pogledom, ki je jasno pokazal, da sam ni plesal več od tistega, kar si ni želel, a ne zato, ker ne bi mogel. Na sredini figure sem poklical Rostov k sebi.
- Tsezovsim ne tiste, - ko je rekel vino. - Hiba tse poljska mazuka? In čudovit ples. - Ker je vedel, da je Denisov in na Poljskem znan po svojem mojstrskem plesu poljske mazurke, je Mikola odšel k Nataši:
- Pojdi, izberi Denisova. Axis dance! Čudež! - pravi vino.
Ko se je Nataša spet zatemnila, je vstala in s svojimi loki zamahnila svoje male loke, prestrašeno je sama stekla skozi dvorano do kuta, kjer je sedel Denisov. Vona bachila, da se ji vsi čudijo in preverjajo. Mykola Bachiv, da sta se Denisov in Nataša smejala drug drugemu in da se je Denisov žareče smejal. Vin pidbig.
- Bodi prijazen, Vasil Dmitrič, - je rekla Natalka, - pojdimo, bodi prijazen.
- Torej, scho, vibachte, gospod, - pravi Denisov.
"No, počakaj, Vasya," je rekel Mikola.
"Kot da zavijajo mačko Vasko," je z jezivim glasom rekel Denisov.
- Tsiliy vechir spiš, - je rekla Natalka.
- Čarovnica vse z zrob me! - Ko je rekel Denisov in stisnil šabljo. Vin Vijšov izza koleščkov, ljubkovalno prijel svojo damo za roko, dvignil glavo in postavil nogo naprej ter preverjal utrip. Samo na konju in v Mazuryju ne moreš videti Denisove majhne rasti, bil pa je tako dober fant, da se je tudi sam počutil kot vino. Videti takt, zmagati s strani, je možno in vroče, gledati svojo damo, nenadzorovano tapkati z eno nogo, kot žogica, ki se dvigne v zrak in leti z uzdo na kolo, vleče svojo damo za seboj. Zdelo se je, da Vіn ni preletel pol dvorane na eni nogi in, kot se je zdelo, ne da bi pogledal na koleščke, ki so stali pred njim, in naravnost hitel nanje; ale raptom, čofota z ostrogami in širi noge, udarja po podstavkih, tako stoji za sekundo, s klokotanjem ostrog na enem mestu z nogami, se hitro vrti in z levo nogo brca v desno, spet leti naprej vložek. Nataša je ugibala o tistih, ki so naleteli na mamo, sama pa ni vedela, kako, je zalezovala za njim - dala se vam. Zdaj se vrti njena, nato na desni, nato na levo roko, nato pade na kolena, kroži okoli sebe in spet skače in začne naprej s tako strimkistyu, nebi vin mav namir, ne da bi zadihal, skoči čez brki iz kamna; potem je spet zazvenel raptom in spet oropal nova in neurejena kolena. Če vino, žveči damo pred njeno meglo, klopotec z ostrogo, se klanja pred njo, ga Nataša ni poslala k tebi. Vaughn je strmel v novo oko in se smejal, ne da bi vedel ničesar. - Kaj je to? je razglasil Vaughn.
Ne glede na tiste, ki Yogel ni prepoznal zvoka mazurke desnice, je vse pokopal Denisov mojster, začeli so nenehno vibrirati, stari pa so se nasmejani začeli govoriti o Poljski in o stari uri. Denisov, pordel v mazurki in obrisan z ostrino, je šel k Nataši in iz nje ni izšla cela žoga.

Prikazna funkcija spremembe govora (s pozitivno utemeljitvijo) prikazuje papalino primarnih. Prvič, za naravne vrednosti - kot dobutok enakih spiv pomnožiteljev. Nato se vrednost razširi na število negativnih in nenič vrednosti za pravila. V daljavi se vidijo prikazovalniki puške, za katere so vrednosti prikazovalne funkcije odvisne od dodatnih korenin: . Za iracionalne pomene je pomen naloge povezan z osnovnimi koncepti matematične analize – z mejnim prehodom, z zrcaljenjem neprekinjenega. Vsi testi niso zastosovnі, preden poskušajo razširiti funkcijo prikaza na kompleksno vrednost indikatorja, in to je, na primer, popolnoma nerazumno.

Prvi korak s kompleksnim indikatorjem z naravno osnovo je uvedel Euler na podlagi analize nizkih motivov integralnega izračuna. V nekaterih primerih podobne vrstice algebre, ko so integrirane, dajejo različne razlike:

Hkrati tu še en integral formalno izstopa iz prvega, ko ga nadomesti

Zvіdsi lahko zrobiti vysnovok, scho z dobro definirano funkcijo prikaza s kompleksnim indikatorjem obračanja trigonometričnih funkcij sporidnі z logaritmi, in po istem znaku je funkcija prikaza povezana s trigonometričnimi.

Euler je imel veliko ponižnosti in domišljije, da je z osnovo dal razumno oznako funkciji predstave.

Zaradi imenovanja in do tega formula ni vzpostavljena, je mogoče le šukat argumente o surovosti inteligence in dozilnosti takega imenovanja. Matematična analiza je že bogata s tovrstnimi argumenti. Razumemo se z več kot enim.

Vіdomo, scho s govor mіsce mejni spіvvіdnoshennia: . Desna stran ima polinom, ki ima smisel i za kompleksne vrednosti za . Med zaporedji kompleksnih števil so označeni kot naravni vrstni red. Zaporedje velja za podobno, tako da se zaporedje govornih in besednih delov zbližuje in je sprejeto

Vemo. Za katero žival se premaknemo v trigonometrično obliko, poleg tega je za argument mogoče izbrati vrednost vrzeli. Za takšno izbiro je jasno, da. Dali,

Za mejni prehod je potrebno spremeniti vmesno črto za in poznati razdaljo med. To je jasno

Oče, pri Virazu

govorni del je pragne to, očitno je - na kaj pa

Ta nerodna mirkuvannya daje enega od argumentov o povprečnosti Eulerjevega poimenovanja funkcije razstave.

Zdaj ugotovimo, da se pomnožene vrednosti funkcije prikaza seštejejo. Diyno:

2. Eulerjeve formule.

Naredimo to z dodeljeno funkcijo prikaza. Vzamemo:

Zamenjava b z -b je odvzeta

Če dodamo in vidimo izraz za izraz qi enak, poznamo formule

imenovane Eulerjeve formule. Smrad vzpostavlja povezavo med trigonometričnimi funkcijami ter prikazovanjem in prikazovanjem znakov.

3. Naravni logaritem kompleksnega števila.

Kompleksno število, podano v trigonometrični obliki, lahko zapišemo v obliki kompleksnega števila. Prevzame vso dobro moč trigonometrične oblike in je še vedno kratka. Nadalje je naravno upoštevati, da je logaritem th modula prikazan z govornim delnim logaritmom kompleksnega števila, th argument pa se kaže z besednim delnim logaritmom. S celim svetom razlagam "logaritemsko" moč argumenta - argumenta za ustvarjanje bogate vsote argumentov v spivmulnikih.

Načrt:

Vstop

• 1 logaritem govora
  • 1.1 Moč
  • 1.2 logaritemska funkcija
  • 1.3 Naravni logaritmi
  • 1.4 Decimalni logaritmi
• 2 Kompleksni logaritem
  • 2.1 Imenovanje te oblasti
  • 2.2 Prijavite se
  • 2.3 Analitično spremljanje
  • 2.4 Riemannova površina
• 3 zgodovinska risba
  • 3.1 logaritem govora
  • 3.2 Kompleksni logaritem
• 4 Logaritemske tabele
• 5 programov
Literatura
Opombe

Vstop

riž. 1. Grafi logaritemskih funkcij

Logaritem števila b na stojalu a (Vtipkajte grško. λόγος - "beseda", "nastavitev" tega ἀριθμός - "številka") je označena kot indikator koraka, v katerem je treba poklicati bazo a, da vzamete številko b. Oznaka: . Iz tega sledi, da so rekordi enako močni.

Na primer k temu.

1. Logaritem govora

Logaritem dnevnika številk govora a b max sens pri . Očitno funkcija zaslona y = a x monotono in dermalno pomen nabuy samo enkrat, poleg tega pa obseg njen znachen maščevati vse pozitivne govorne številke. Jasno je, da je pomen besednega logaritma pozitivnega števila vedno jasen in nedvoumen.

Najširši zastosuvannya je poznal te vrste logaritmov.

1.1. moč

dokaz

Recimo kaj.

(praske za um bc > 0). ■

dokaz

Sporočite nam to

(delci za um ■

dokaz

Vikoristovuєmo za dokazovanje identitete. Logaritem žalitve dela enakosti na substituentu z. Vzamemo:

dokaz

Recimo kaj.

(tako kot b str> 0 za um). ■

dokaz

Sporočite nam to

dokaz

logaritem levo in desno od osnove c :

Levi del: Pravice dela:

Virazovo ljubosumje je očitno. logaritmi so enaki, potem so zaradi monotonosti logaritemske funkcije enaki in sami različni. ■

1.2. logaritemska funkcija

Kako na število, ki je logaritemsko, gledamo kot na spremembo, to vzamemo logaritemska funkcija y= dnevnik a x (Div. slika 1). Vaughn je zaslužen za . Območje vrednosti: .

Funkcija je strogo narašča a> 1 i strogo padajo pri 0< a < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

naravnost x= 0 є leva navpična asimptota, skaliranje pri a> 1 ta pri 0< a < 1 .

Pokhіdna logarithmіchnіchnіchnіchnіchnіchnіchn_chn_chn_chn_chna_dvor_vnyuє:

dokaz

I. To vemo

Zapišimo identiteto e ln x = x i prodifferentiyuemo joga lev in desni del

Vzamemo, šo, zvezde kričijo, šo

II. Sporočite nam to

Logaritemska funkcija ustvarja izomorfizem med multiplikativno skupino pozitivnih realnih števil in aditivno skupino vseh govornih števil.

1.3. Naravni logaritmi

Zvyazok іz deseti logaritem: .

Kot je navedeno zgoraj, za podoben naravni logaritem velja preprosta formula:

Zato je pri matematičnem študiju pomembneje pridobiti sam naravni logaritem. Smrad pogosto krivi uro razlike v diferencialnih ekvivalencah, glede na statistične izpade (na primer delitev praštevil) pretanko.

Z integracijo delov je enostavno spoznati nedoslednosti integrala v naravnem logaritmu:

Postavitev v seriji Taylor je lahko predstavljena v naslednjem vrstnem redu:
s pravično enakostjo

(1)

Zokrema,

Ta serija se bolj konvergira, poleg tega je levi del formule zdaj mogoče uporabiti za oblikovanje logaritma katerega koli pozitivnega števila.

1.4. Decimalni logaritmi

riž. 2a. logaritemsko lestvico

riž. 2b. Logaritemska lestvica z vrednostmi

Logaritmi na osnovi 10 (znak: lg a) pred tekom vina so bili kalkulatorji na veliko založeni za izračun. Za logaritemske črte je treba uporabiti neenakomerno lestvico desetin logaritmov. Podobna lestvica zmaga v bogatih krogih znanosti, na primer:

• Fizika - jakost zvoka (decibeli).
• Astronomija je lestvica sijaja zvezd.
• Kemija - aktivnost vodnih ionov (pH).
• Seizmologija - Richterjeva lestvica.
• Teorija glasbe je glasbena lestvica, sto frekvenc glasbenih zvokov.
• Zgodovina je logaritmična časovna lestvica.

Logaritemska lestvica se pogosto uporablja tudi za prikaz kazalnika koraka v statičnih rudinah in koeficienta za kazalnik eksponenta. S tem grafom, ki prikazuje pozive v logaritemski lestvici vzdolž ene ali dveh osi, je videti naravnost, lažje slediti.

2. Kompleksni logaritem

2.1. Imenovanje te oblasti

Za kompleksna števila se logaritem uporablja kot i, kot govor. V praksi je mogoče uporabiti naravni kompleksni logaritem, ki je pomemben in pomemben, kot neosebno vseh kompleksnih števil. z tako da e z = w . Kompleksni logaritem se uporablja za ali ne, govorni del pa je nedvoumen, v tej uri ima lahko neoseben pomen. Zato se joga imenuje funkcija z bogato vrednostjo. Kako razkriti w v prikazni obliki:

,

potem je logaritem za formulo:

Tukaj je govorni logaritem, r = | w | , k- kar nekaj. Vrednost, ki je vzeta pri k= 0 se imenuje vodilne vrednote kompleksni naravni logaritem; običajno je vzeti novo vrednost argumenta v intervalu (− π,π] . glava gulka logaritem i je dodeljen. Včasih označujejo tudi vrednost logaritma, ki ne leži na glavi glave.

Očitne so tri formule:

• Razpon govora logaritma je dodeljen formuli:

• Za formulo je logaritem velikega števila:

Oskilki kompleksne trigonometrične funkcije, povezane z eksponentno (Eulerjeva formula), kompleksni logaritem kot preobrat na eksponentno funkcijo recipročnih povratnih trigonometričnih funkcij. Primer takega klica:

2.2. Prijavite se

Prinesemo logaritem za zadnje argumente:

Naj bo varno pri pretvorbi kompleksnih logaritmov, vrakhovuyuchi, ker je smrad bogat, in zaradi enakosti logaritmov vseh virusov, enakost teh virusov ne izstopa. Primer pomilovanja mirkuvannya:

jazπ = log(−1) = log((− jaz) 2) = 2ln(− jaz) = 2(− jazπ / 2) = − jazπ - očitna neumnost.

Pomembno je, da je levičar vreden vrednosti glave logaritma, desničar pa vrednost spodnje glave ( k= − 1). Razlog za pomilostitev je neprevidnost zmagoslavja moči, kot da je v navideznem blisku lahko na robu kompleksne spremembe celoten nabor vrednosti logaritma in ne le napačna vrednost.

2.3. Analitično spremljanje

riž. 3. Kompleksni logaritem (vidni del)

Logaritem kompleksnega števila lahko uporabimo tudi kot analitično nadaljevanje govornega logaritma po celotni kompleksni ravnini. Naj se krivulja Γ začne v eni, ne gre skozi nič in ne spreminja negativnega dela govorne osi. Enaka smut vrednost logaritma v končnih točkah w krivuljo Γ lahko vzamemo iz formule:

Če je Γ preprosta krivulja (brez samopermutacije), potem je za števila, ki ležijo na njej, logaritemsko identiteto mogoče določiti brez boja, npr.

Če dovolite, da krivulja Γ transponira negativni del govorne osi, potem je prvi tak prehod prenos rezultata z vratu vrednosti glave na stran jezika, koža pa premakne prehod na levo stran jezika, podobno kot premik vzdolž jezikov logaritemske funkcije (razd. dojenčki).

3 formule za analitično spremljanje, kakšen naj bo logaritem

Za kakršen koli vložek S, ki ovije točko 0:

Integral je vzet iz pozitivne smeri (puščica proti letu). Vrednost je v osnovi teorije okrevanja.

Možno je tudi določiti analitično nadaljevanje kompleksnega logaritma po seštevanju zgoraj inducirane serije (1), ki je opozorjena na kompleksni argument. Prote z v mislih postavitev naslednjega, scho za enotnost vin je enaka nič, tako da serija leži več kot glava bogate vrednosti funkcije kompleksnega logaritma.

2.4. Riemannova površina

Kompleksna logaritemska funkcija - primer Riemannove površine; Vidni del (slika 3) je sestavljen iz neskončnega števila iglic, zavitih kot spirala. Tsya površina je enovezna; єє ena sama nič (prvega reda) presega z= 1, posebne točke: z= 0 (točke brezkompromisnega reda).

Riemannova površina logaritma je univerzalna krivulja za kompleksno ravnino brez točke 0.

3. Zgodovinska risba

3.1. logaritem govora

Povpraševanje po zložljivih vrtnicah je v 16. stoletju hitro naraščalo in precejšnje težave pri urejanju množenja in rozpodil bogatih številk ter pripeljevanju do korenin. Na primer, sto matematikov je morda naenkrat zaspalo z idejo ​​: zamenjajte delavca s preprostim dodatkom, v pomoč pa sestavite posebno tabelo geometrijskih in aritmetičnih progresij, s katero bo biti geometrijski. Todi in rozpodil se samodejno nadomesti z neizmerno enostavnejšim in očitnejšim, koren koraka pa n zmanjšati na podlogaritem podkorenske viraze na n. Najprej sem idejo objavil v svoji knjigi » Aritmetika integra Michael Shtifel, ki vtim ni poročal o resnih prizadevanjih za uresničitev svojih idej.

Leta 1614 je škotski matematik-amater John Napier objavil latinski moj tvir pod naslovom " Opis neverjetne tabele logaritmov"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Nova beseda ima kratek opis logaritmov teh potenk ter 8-mestne tabele logaritmov sinusov, kosinusov in tangentov z izrazom 1. logaritem, Proponation by Napier, ki se je uveljavil v znanosti. Teorija logaritmov Neper viklav v naslednji knjigi " Pobudov neverjetne tabele logaritmov"(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), viden posmrtno leta 1619 roci yogo synom.

Razumevanje funkcije ni bilo enako in Neper je logaritem izračunal kinematično, pri čemer je nastavil enake in logaritemske izboljšave; na primer, logaritem sinusa vin je bil označen kot sledi:

Logaritem danega sinusa je število, kot da bi aritmetično raslo poljubno z enako hitrostjo, zaradi česar se je sinus začel geometrijsko spreminjati.

Za trenutne vrednosti lahko kinematični Napierjev model predstavimo z diferencialnimi enačbami: dx/x=-dy/M de M - skalirni množitelj, uvod v dejstvo, da je bila vrednost celo število s potrebnim številom predznakov (decimalni ulomki tudi niso poznali širokega razpona). Napier ob M=10000000.

Strogo kazhuchi, Neper tabelarizira napačno funkcijo, kot da bi naenkrat imenoval logaritem. Da bi definirali funkcijo LogNap(x), je ta povezana z naravnim logaritmom na naslednji način:

Očitno je LogNap(M) = 0, tako da je logaritem "polnega sinusa" nič - tsgogo i domagavsya Neper do cilja. .

Glavna moč Napierjevega logaritma: tako kot velikosti izpolnjujejo geometrijsko progresijo, potem njihovi logaritmi izpolnjujejo aritmetično progresijo. Prote pravila logaritma za funkcijo non-Peer so bila revidirana kot pravila dnevnega logaritma.

na primer LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Škoda, da so vrednosti Napierovih tabel zgrešile izračun pomilostitve po šestem znaku. Vendar se nova metodologija za izračun največje priljubljenosti ni začela in veliko evropskih matematikov, vključno s Keplerjem, se je lotilo zlaganja logaritmičnih tabel. Že po 5 letih, 1619, je londonski učitelj matematike John Spydell ( John Spidell) ob ponovnem pregledu Napierovih tabel je predelan smrad dejansko postal tabele naravnih logaritmov (pri povečevanju na celo število Spydell). Izraz "naravni logaritem" je uvedel italijanski matematik P'etro Mengoli. Pietro Mengoli)) sredi XVI. stoletja.

V 1620-ih sta Edmund Wingate in William Wydred krivila prvo logaritemsko vrstico, pred pojavom črevesnih kalkulatorjev - nepogrešljivega orodja za inženirja.

Blizu vsakdanjega razumevanja logaritma - kot operacija, prelomnica v stopalu - se je prvič pojavilo pri Wallisu in Johannu Bernoulliju, ostalo pa je legitimiral Euler v XVIII. Euler je v knjigi »Uvod v analizo nedoslednosti« (1748) sodobno označil tako prikazne kot logaritemske funkcije, navіv razladannja їх v statičnih lavi, pri čemer je posebej opozoril na vlogo naravnega logaritma.

Euler bi moral biti sposoben razširiti logaritemsko funkcijo na kompleksno domeno.

3.2. Kompleksni logaritem

Leibnitz in Johann Bernoulli, ki sta prva poskušala rešiti logaritem za kompleksna števila na prelomu XVII-XVIII stoletja, Leibnitz in Johann Bernoulli nista uspela ustvariti koherentne teorije – morali smo se soočiti s temi razlogi, da je bil tudi najbolj razumljiv logaritem še ni jasno dodeljena. Razprava o tej vožnji je potekala med Leibnizom in Bernoullijem, sredi XVIII stoletja pa med d'Alembertom in Eulerjem. Bernoulli in d'Alembert sta spoštovala, kar bi moralo biti log(-x) = log(x). Novo teorijo logaritmov negativnih in kompleksnih števil je objavil Euler v letih 1747-1751, vendar v sodobnem času pravzaprav sploh ni pomembna.

Ker je želel super dekle trival (d'Alembert, ki je zagovarjal lastno misel in domnevno trdil v člankih svoje Enciklopedije in drugih praktičnih delih), je Eulerjeva misel hitro odvzela očiten vzklik.

4. Logaritemske tabele

Logaritemske tabele

Iz potenk logaritma vidimo, da moramo namesto mukotrpne množice bogato pomembnih števil vedeti (za tabelami) in sešteti njihove logaritme, nato pa bomo same tabele uporabili za vikonacijo moči, da bomo vedeli vrednost rezultata iz th logaritma. Vikonanny rozpodіlu vіdrіznyaetsya manj kot tim, scho logaritmi vіdnіmayutsya. Laplace je dejal, da so vina logaritmov "nadaljevala življenje astronomov", kar je močno pospešilo proces izračuna.

Pri prenosu desetih Komi v številki n vrednost desetega logaritma števila se spremeni v n. Na primer, lg8314.63 = lg8.31463+3. Zdi se, da je dovolj sestaviti tabelo desetih logaritmov za števila v območju od 1 do 10.

Prve tabele logaritmov je objavil John Napier (1614), smrad pa se je maščeval le logaritmom trigonometričnih funkcij, poleg tega z odpuščanjem. Neodvisno od svojih tabel je izdal Іost Bürgі, Keplerjevega prijatelja (1620). Leta 1617 je oxfordski profesor matematike Henry Briggs objavil tabele, ki so vsebovale že na desetine logaritmov samih številk, od 1 do 1000, z 8 (zadnjimi - od 14) predznaki. Toda pomilostitve so se pojavile v Briggsovih mizah. Prva brezpomilkovo vidannya na podlagi tabele Vega (1783) se je pojavila šele leta 1857 v Berlinu (Tabela Bremiver).

V Rusiji so bile prve tabele logaritmov vidne leta 1703 s sodelovanjem L. F. Magnitskega. SRSR je izdal zbirko logaritmskih tabel.

• Bradis V. M. Chotyric matematične tabele. 44. izdaja, M., 1973.

Bradisove tabele (1921) so zmagale na začetku hipotek in v inženirskih oddelkih, kar ni zahtevalo velike natančnosti. Smrad se je maščeval bogomoljki desetih logaritmov števil in trigonometričnih funkcij, naravnih logaritmov in decimalk drugih usklajenih rozrahunkovih orodij.

• Vega G. Tabele sedemmestnih logaritmov, 4 izdaje, M., 1971.

Profesionalna izbira za natančne izračune.

• Petmestne tabele naravnih vrednosti trigonometričnih veličin, njihovih logaritmov in logaritmov števil, 6. izdaja, M.: Nauka, 1972.
• Tabele naravnih logaritmov, 2. izdaja, v 2 zvezkih, M: Nauka, 1971.

V tej uri je z razširitvijo kalkulatorjev treba uporabiti tabelo logaritmov.

M, Specifičnost (kompleksna analiza).

Podani so glavna moč logaritma, graf logaritma, obseg označevanja, anonimna vrednost, glavne formule, stopnja rasti padca. Preučen je pomen podobnega logaritma. In tako je integral, ki se razporedi v vrsto stanj, ki se kaže za pomočjo kompleksnih števil.

Zmist

Območje pomembnosti, neosebni pomen, rast, upad

Logaritem je monotona funkcija, zato ni ekstremov. Glavna moč logaritma je predstavljena v tabelah.

Območje za sestanke	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
vrednost površine	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
monotonost	monotono raste	monotono spreminjati
Nič, y = 0	x= 1	x= 1
Vozli peretina z vіssyu ordinate, x = 0	št	št
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Zasebne vrednote

Imenuje se logaritem na osnovi 10 deseti logaritem i je označen takole:

logaritem na osnovi e poklical naravni logaritem:

Osnovne formule za logaritme

Moč logaritma, ki se izdihuje iz oznake osrednje funkcije:

Glavna moč logaritmov in jogo sledi

Formula za spremembo baze

Logaritem je matematična operacija jemanja logaritma. Ko vzamemo logaritem, se tvorba množiteljev pretvori v vsoto členov.
Potencializacija je matematična operacija, reverzibilni logaritem. S potenciranjem je postavljena osnova, ki se gradi na nogah viraza, nad katerim zmaguje potenciranje. Hkrati se seštevek članov preoblikuje v ustvarjanje partnerjev.

Dokaz osnovnih formul logaritmov

Formule, povezane z logaritmi, so izpeljane iz formul za prikazne funkcije in funkcije obratne funkcije.

Poglejmo si moč funkcije zaslona
.
Todi
.
Treba je določiti kakovost funkcije prikaza
:
.

Prinesemo formulo za zamenjavo podlage.
;
.
Vendar pa je c = b lahko:

Funkcija povratka

Povratna funkcija za logaritem na podlagi a je prikazna funkcija z indikatorjem koraka a.

Yakscho nekaj

Yakscho nekaj

Pokhіdna logaritem

Pokhіdna logaritem vіd modulo x:
.
Pokhіdna n-ti vrstni red:
.
Formule Visnovok > > >

Da bi razumeli podoben logaritem joge, ga je treba postaviti do temeljev e.
;
.

Integralno

Integral v obliki logaritma se izračuna z integriranjem delov: .
Otzhe,

Virazi skozi kompleksna števila

Poglejmo funkcijo kompleksnega števila z:
.
Virazimo kompleksno število z preko modula r ta argument φ :
.
Todi, vikoristovuyuchi logaritem moči, morda:
.
Abo

Prote, argument φ ni jasno opredeljeno. Postavite Yakshcho
de n - qile,
potem bo ena in ista številka za različne n.

Zato logaritem kot funkcija kompleksnega zminnyja ni enoznačna funkcija.

Razporeditev v zloženi vrsti

V času polaganja:

Wikoristan literatura:
SEM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematični priročnik za inženirje in študente, Lan, 2009.

Div. tudi: