Savelyev I.V. Kurs globalne fizike, tom I. Poznavanje kuta između vektora

Dovzhina vektora, isječen između vektora - tsí razumiju ê prirodno i zastosovnymi i intuitivno zrozumílimi shdo vektor yak vídrízka pjevaju ravno. U nastavku ćemo naučiti kako razlikovati vektore u trivijalnom prostoru, yogo kosinus i možemo pogledati teoriju o guzici.

Za bolje razumijevanje kute između vektora, okrećemo se grafičkoj ilustraciji: stavimo dva vektora a → i b → koji su različiti od nule na ravni ili u trivimernom prostoru. Također postavljamo dovoljnu tačku O i dodajemo je vektoru O A → = b → i O B → = b →

Zakazivanje 1

Kutom između vektora a → í b → naziva se presek između razmena PRO i PRO.

Oduzimanje kuta je označeno takvim rangom: a → , b → ^

Očigledno, moguće je dobiti vrijednost od 0 do π ili od 0 do 180 stepeni.

a → , b → ^ = 0 ako su vektori kosmjerni i a → , b → ^ = π ako su vektori suprotno usmjereni.

Zakazivanje 2

Vektori se nazivaju okomito yakscho rez između njih je 90 stepeni ili π 2 radijana.

Ako želimo da jedan od vektora bude nul, onda a → , b → ^ nije dodijeljen.

Kosinus kuta između dva vektora, a takođe, í well kut, može se koristiti ili za pomoć skalarnog kreiranja vektora, ili za pomoć kosinus teoreme za triko, na osnovu dva data vektora.

Vídpovídno skalarni TVír ê a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Ako su dati vektori a → i b → različiti od nule, onda možemo podijeliti desni i lijevi dio jednakosti na dodatna dva vektora, izostavljajući na taj način formulu za vrijednost kosinusa kuta između vektora koji nisu nula :

cos a → , b → ^ = a → , b → a → b →

Tsya formula vikoristovuetsya, ako sredinom vikenda danikh ê dozhini vectorív yogo skalar tver.

guza 1

Eksterni podaci: vektori a → i b → . Dovzhini ih jednaki 3 i 6 su jasni, kao skalarni twír dorívnyuê - 9. Potrebno je izračunati kosinus reza između vektora i znati sam rez.

Rješenje

U prošlosti ima dovoljno podataka da se završi formula, a zatim cos a → , b → ^ = - 9 3 6 = - 1 2 ,

Sada je značajno između vektora: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4

Prijedlog: cos a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Najčešće su zadaci fiksni, vektori su dati koordinatama pravokutnog koordinatnog sistema. Za takve varijacije potrebno je unijeti istu formulu, ali u koordinatnom obliku.

Dužina vektora je definirana kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata, a skalarni zbroj vektora je zbir sume odgovarajućih koordinata. Tada formula za vrijednost kosinusa kuta između vektora na ravni a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) izgleda ovako:

cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

A formula za vrijednost kosinus kuta između vektora u trivijalnom prostoru a → = (ax , ay , az) , b → = (bx , by , bz) izgleda ovako: cos a → , b → ^ = ax bx + ay po + az bzax 2 + ay 2 + az 2 bx 2 + po 2 + bz 2

guza 2

Eksterni podaci: vektori a → = (2, 0, - 1), b → = (1, 2, 3) u pravougaonom koordinatnom sistemu. Potrebno je odrediti rez između njih.

Rješenje

Da bismo završili zadatak, možemo odmah staviti formulu:

cos a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = arc cos (-170) = - arc cos 170

Također možete dodijeliti kut formuli:

cos a → , b → ^ = (a → , b →) a → b → ,

a zatim proširimo naprijed vektor_v i skalar tv_r za koordinate: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = - 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = - 1 5 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - luk cos 1 70

Prijedlog: a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Takođe, proširenje zadatka, ako su date koordinate tri tačke u pravougaonom koordinatnom sistemu, a potrebno je navesti isti rez. Također, da bi se dodijelile tačke između vektora i datih koordinata, potrebno je izračunati koordinate vektora na različitim tačkama klipa i kraja vektora.

guza 3

Spoljašnji podaci: na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu date tačke A (2, - 1), B (3, 2), C (7, - 2). Potrebno je pronaći kosinus coota između vektora A C → B C → .

Rješenje

Znamo koordinate vektora iza koordinata datih tačaka AC → = (7 - 2 , - 2 - (- 1)) = (5 , - 1) BC → = (7 - 3 , - 2 - 2) = (4 , - 4)

Sada možemo pronaći formulu za definisanje kosinusa kuta između vektora na ravni u koordinatama: cos AC → BC → ^ = (AC → BC →) AC → BC → = 5 4 + (- 1) (- 4) 5 + (-1 ) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13

Vrijednost: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Kut mízh vektori se mogu izračunati pomoću teoreme kosinusa. Točki O dodajemo vektor O A → = a → í O B → = b → tada će, zgídno sa kosinus teoremom za tricutnik OAB, biti tačno:

A B 2 \u003d O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B),

šta je jednako:

b → - a → 2 = a → + b → - 2 a → b → cos (a → , b →) ^

a mi ćemo pokazati formulu za kosinus kute:

cos (a → , b →) ^ = 1 2 a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → b →

Za zastosuvannya otrimanoí̈ formule, potrebna su nam dva vektora, yakí nespretno dodijeljena svojim koordinatama.

Ako želite dodijeliti metodu, moguće je, međutim, uobičajenije je staviti formulu:

cos (a → , b →) ^ = a → , b → a → b →

Kako ste zapamtili pomilovanje u tekstu, budite ljubazni, pogledajte ga i pritisnite Ctrl + Enter

ωn = υ 2

Zamjenom u cijeloj virazi υ z (10.9), poznato je da

ωn = ω2 R

Modul tangencijalnog ubrzanja je u redu do (9.8) bolji

Obnavljam svoje jednake (10.9), uzimamo:

(ωR)

t → 0

ωτ = βR

(10.10) d dt? zbijeni

Rβ,

Također, normalno i tangencijalno ubrzano linearno od R - tačke u smjeru ose omotanja.

§jedanaest. Veza između vektora v i ω

Krím je ranije razmatrao operacije savijanja i množenja vektora, kao i množenje vektora skalarom (razd. §2), kao i operaciju množenja vektora. Dva vektora se mogu pomnožiti jedan po jedan na dva načina: prvi način rezultira novim vektorom, drugi se svodi na skalarnu vrijednost. Značajno je da ne postoji operacija da se vektor podijeli na vektor.

Pogledajmo sektorske vitvir vektore odjednom. Skalarni dobutok vector_v ćemo uvesti kasnije, ako vam treba vino.

Kreiranje vektora dva vektora A i B naziva se vektor Z, koji daje takve moći:

1) modul vektora Z je dobar dodatak modulima vektora koji su pomnoženi sa sinusom reza α između njih (slika 35):

2) vektor C okomit na ravan, u kojem leže vektori A í B, štaviše, prave linije th se preklapaju sa pravim A í B po pravilu desnog zavrtnja: da se zadiviš vektoru C koji je najkraći način da se okrenete od prvog sp_multipliera na drugi zdíysnyuêtsya za strelicu godine.

Simbolično vektorski TV se može napisati na dva načina: | AB | ili A×B.

Koristićemo prvu od ovih metoda, a ponekad, radi lakšeg čitanja formula, stavimo nekoga između množitelja. Nije potrebno istovremeno blokirati kosi krst i četvrtaste lukove: [A×V], nedopustiv zapis ovog oblika: [AB]=ABsinα. Zliva je ovdje vektor, desno je modul vektora, koji je skalar. Pravedna ljubomora dolazi:

| [AB] |= ABsinα.

Dijelovi kreiranja vektora su direktno povezani sa omotačem od prvog množitelja u drugi, rezultat vektorskog množenja dva vektora leži u redoslijedu množitelja. Promena redosleda množenika poziva, promena smera rezultujućeg vektora na dužini (slika 35)

= −

B×A = − (A×B).

U takvom rangu vektor tvir ne može imati moć komutativnosti. Može se reći da je vektorski tvir distributivni, to

[A, (B1 + B2 + ... + BN)] = [AB1] + [AB2] + ... + [ABN].

Vektor robota ima dva polarna i dva aksijalna vektora i aksijalni vektor. Međutim, vektorsko dodavanje aksijalnog vektora polarnom (ili na neki drugi način) će biti polarni vektor. Promijenite znak, koji direktno označava aksijalne vektore, na reversu, dovedite ga u suprotnom smjeru da promijenite predznak ispred vektorskog pojačanja i odmah promijenite znak ispred jednog od sp_multiplikatora, kao rezultat toga, vrijednost koja je prikazana vektorskim pojačanjem se gubi bez promjene.

Modul kreiranja vektora može se dati jednostavno geometrijsko tumačenje: ABsinα je numerički paralelniji ravnini paralelograma kreiranog na vektorima A i B (slika 36; vektor C=[AB] pravih linija na ovom nagibu je okomita na ravan stolice, iza stolice).

Neka su vektori A i B međusobno okomiti (slika 37).

1) , odobravam s

Utavimo podviyne vektorne tvir tsikh vektoriv:

D = A, [BA],

pa množimo vektor sa A, a zatim vektor A množimo sa vektorom, koji je rezultat prvog množenja. Vektor [VA] je maksimalni modul koji je dobar BA(sin α = sin π 2

vektori A i B cuti, jednaki π/2. Također, modul vektora D je veći |A|*||=A*BA=A2 B. Smjer vektora D, kao što je lako vidjeti sa sl. 37, zbígaêtsya iz vektora V. Tse nam daje priliku da napišemo takav rívníst:

			A2B.

Formulom (11.3) dali smo corystuvatimos koji nije jednokratan. Utvrdite da je pravedno samo u tom slučaju, ako su vektori A i B međusobno okomiti.

Poravnanje (10.9) uspostavlja vezu između modula vektora v i ω. Za pomoć kreiranja vektora može se napisati viraz, što daje podršku između samih vektora. Neka tijelo obavija oko ose z od vrha swidkistyu ω (slika 38). Lako je znati da je vektorski sabirak ω radijus-vektoru tačke, swidkity v, kao što želimo da znamo, vektor koji ide direktno sa vektorom v i može biti modul, jednak ωr sinα=ωR, tobto . v [div. formula (10.9)]. Na ovaj način, vektorski komplement [ωR] i nakon direktnog i modula je komplementaran vektoru v.

Hajde V – n-mirni vektorski prostor, u kojem su date dvije baze: e 1 , e 2 , …, e n- stara osnova, e" 1 , e" 2 , …, e"n- Nova osnova. Na dovoljnom vektoru aê koordinate na njihovoj koži:

a= a 1 e 1 + a2 e 2 + … + a n e n;

a= a" 1 e"1+a" 2 e"2 + … + a" ne"n.

Za umetanje veze između koordinata vektora a u staroj i novoj bazi potrebno je postaviti vektore nove baze za vektore stare baze:

e 1 = a11 e 1 + a 21 e 2 + … + a n 1 e n,

e 2 = a 12 e 1 + a 22 e 2 + … + a n 2 e n,

………………………………..

e"n= a 1 n e 1 + a2 n e 2 + … + a nn e n.

Imenovanje 8.14. Prijelaz matrice sa stare baze na novu Matrica se zove, sastoji se od koordinata vektora u novoj bazi prema staroj bazi, zapisivanjem kolona, tobto.

Matrične kolone T- sve koordinate osnovne, otzhe, linearno neovisne, vektori, otzhe, tsí stovptsí linearno neovisni. Matrica sa linearno nezavisnim stupcima je nedjevičanska, njen označitelj nije bliži nuli í za matricu T osnovna matrica preokreta T –1 .

Značajno koordinate vektora a u starim i novim bazama, očigledno, kao a] i [ a]". Iza dodatne matrice za prijelaz uspostavlja se veza između [ a] i [ a]".

Teorema 8.10. Postavite vektorske koordinate a stara osnova ima napredniji matrični prelaz na koordinate vektora a na novoj osnovi, onda [ a] = T[a]".

Posljedica. Postavite vektorske koordinate a nova osnova ima napredniju matricu, tranziciju povratne matrice, na vektorske koordinate a na staroj osnovi, onda [ a]" = T –1 [a].

Primjer 8.8. Presavijte prijelaznu matricu na osnovu e 1 , e 2 , na osnovu e" 1 , e 2, de e" 1 = 3e 1 + e 2 , e" 2 = 5e 1 + 2e 2 znam koordinate vektora a = 2e" 1 – 4e 2 na staroj osnovi.

Rješenje. Koordinate vektora nove baze duž stare baze su redovi (3, 1) i (5, 2) ili matrica T pogledacu. pa jak [ a]" = , zatim [ a] = × = .

Primjer 8.9. Date dvije baze e 1 , e 2 - stara osnova, e" 1 , e 2 - nova osnova, štaviše e" 1 = 3e 1 + e 2 , e" 2 = 5e 1 + 2e 2. Znati koordinate vektora a = 2e 1 – e 2 za novu osnovu.

Rješenje. 1 način. Iza uma su date koordinate vektora ali na staroj osnovi: [ a]=. Znamo prijelaznu matricu na staru osnovu e 1 , e 2 na novu osnovu e" 1 , e 2. Oduzmite matricu T= za njega znamo matricu inverzije T-1 = . Slično kao posledica teoreme 8.10, moguće je [ a]" = T –1 [a] = × = .

2 way so yak e" 1 , e 2 bazi zatim vektor ali rašireni iza baznih vektora sa ofanzivnim činom a = k 1 e" 1 – k 2 e 2. Znamo brojeve k 1 ta k 2 - ce i će biti koordinate vektora ali na novoj osnovi.

a = k 1 e" 1 – k 2 e" 2 = k 1 (3e 1 + e 2) – k 2 (5e 1 + 2e 2) =

= e 1 (3k 1 + 5k 2) + e 2 (k 1 + 2k 2) = 2e 1 – e 2 .

Koordinate jednog te istog vektora u datoj bazi su jedinstveno prikazane, možda sistem: Virishyuchi tsyu sistem, otrimaemo k 1 = 9 to k 2 = -5, tj. [ a]" = .

U ovom članku smo s vama razgovarali o jednom od malih štapića-viruchalochki, kako bi vam omogućili da preuzmete puno zadataka od geometrije do jednostavne aritmetike. Tsya "štap" vam zapravo može olakšati život, posebno takvoj osobi, ako se osjećate nezaustavljivo na poticaje širokih članaka, ponovno pregledavajući mršave. bud. Iskoristite sve da zapamtite pjesme i pokažite to praktičnim početnicima. Metoda koju ovdje možemo detaljno vidjeti je da vam omogući da se praktično potpuno apstrahujete od raznih geometrijskih motiva i zrcala. Metoda zvonjenja "koordinatni metod". U ovom članku sa vama možemo pogledati sljedeću hranu:

Koordinatna ravan
Tačke i vektori na ravni
Pobudov vektori iza dva poena
Dovžina vektor (stajati između dvije tačke)
Koordinate sredine vídrízke
Skalarni doboot vector_v
Kut mizh dva vektora

Pretpostavljam, već ste pogodili zašto se koordinatni metod tako zove? Tako je, pošto je vin oduzeo takvo ime, da vin ne operiše sa geometrijskim objektima, već sa njihovim numeričkim karakteristikama (koordinatama). A sama transformacija, koja vam omogućava da pređete od geometrije do algebre, zasniva se na naprednom koordinatnom sistemu. Ako je vanjski lik bio ravna, koordinate su dvosvjetske, a ako je figura 3D, onda su koordinate trodimenzionalne. U ovim statistikama možemo vidjeti više od dvodimenzionalnog vipadka. I glavna meta statistika - naučiti vas kako da koristite neke osnovne metode metode koordinata (smrad ponekad izgleda da je isti kao sat u danu kada je redoslijed preuzet iz plana mjerenja u dijelu B ED-a ). Razmatrane metode izvršavanja zadatka C2 (zadatak stereometrije) dodijeljene su napadu po dvije divizije prema temama.

Zašto bi bilo logično govoriti o koordinatnoj metodi? Bukvalno, iz razumijevanja koordinatnog sistema. Pogodi, ako prvo zaglavi s njom. Zanima me da li sam ja u 7. razredu, da li znate za osnove linearne funkcije, na primjer. Pretpostavljam da ćeš biti iza bodova. Sjećaš li se? Odaberete dovoljan broj, zamjenjujući í̈ u formuli i računajući u takav rang. Na primjer, yakscho, zatim, yaksho, oni, itd. Šta uzimate od rezultata? I otrimuvav ty mrlje sa koordinatama: i. Dali ty crtajući „krst“ (koordinatni sistem), birajući novu skalu (imaćete pojedinačne krstove) i zadajući tačke na njoj, čim pomerite pravu liniju, linija i grafik funkcije se skidaju.

Evo nekoliko trenutaka, kao da vam varto objasni izvještaj:

1. Usamljeni vijenac koji odaberete za ogledalo bistrine, tako da sve bude lijepo i kompaktno postavljeno na mališana

2. Prihvaćeno je da sve ide udesno, a sve ide uzbrdo

3. Smrad je uvučen ispod ravnog ruba, a tačka gazećeg sloja naziva se kos koordinata. Vaughn je označen slovom.

4. U zapisu koordinate tačke, na primer, levoruko, okovi imaju koordinate tačke duž ose, a desno, duž ose. Zokrema, to jednostavno znači

5. Da biste postavili tačku na koordinatnu os, potrebno je da navedete njene koordinate (2 broja)

6. Za bilo koju tačku koja leži na osi,

7. Za bilo koju tačku koja leži na osi,

8. Sve se zove sva apscisa

9. Sve se nazivaju sve ordinate

Ajmo sad s tobom zrobimo ofanzivni krok: smisleno dva boda. Z'êdnaêmo tsí dva boda vídrízkom. I stavimo strelicu ovako, to ćemo raditi od tačke do tačke: pa ćemo ispraviti našu liniju!

Pogodite, kako se zovu aparati za ravnanje? Možda se vino zove vektor!

U takvom rangu, kao da pogađamo poen po poen, štaviše, imaćemo tačku A na klipu i tačku B na kraju, uzimamo vektor. Qiu pobudovu tezh robiv u 8. razredu, sjećate li se?

Čini se da se vektori, kao i tačke, mogu označiti sa dvije cifre: qi cifre se nazivaju koordinate vektora. Ishrana: kako mislite, šta nam je dovoljno da znamo koordinate klipa i kraja vektora, da znamo koordinate? Čini se da je tako! A još je lakše boriti se:

Ovim redom, budući da je tačka vektora klip, a tačka kraj, vektor može imati napredne koordinate:

Na primjer, yakscho, zatim koordinate vektora

Sada idemo naprijed i počnimo, znamo koordinate vektora. Šta treba da promenimo za šta? Dakle, potrebno je zapamtiti klip i kraj sa izmaglicama: sada će klip vektora biti u tački, a kraj - u tački. Todi:

S poštovanjem, kako izgledaju vektori? Pojedinačni í̈hnya vídminníst - tse znakovi u koordinatama. Smrad se širi. Ovu činjenicu je prihvaćeno zapisati na sljedeći način:

Ponekad, pošto se o tome ne govori posebno, kao što je tačka uho vektora, a jak je kíntsem, tada se vektori ne označavaju sa dva velika slova, već jednim redom, na primjer:, í itd.

Sada trochs vježbe sami i pronađite koordinate nadolazećih vektora:

revizija:

A sada rozvyazhi zavdannya troch presavijeni:

Vektor sa klipom u tački maê co-or-de-na-ti. Pronađite abs-cis-su tačke.

Svejedno, dosit prozaično: ajde - koordinirajte tačke. Todi

Napravio sam sistem u svrhu onoga što je koordinata vektora. Ista tačka se može koordinirati. Us tsíkavit apscisa. Todi

prijedlog:

Šta još možete raditi sa vektorima? To može biti svejedno, scho í zí zvichaynymi brojevi

Vektori se mogu presavijati jedan po jedan
Vektori se mogu vidjeti jedan od jedan
Vektori se mogu pomnožiti (ili pomnožiti) sa velikim brojem koji nije nula
Vektori se mogu množiti jedan po jedan

Sve ove operacije mogu se u potpunosti geometrijski manifestovati. Na primjer, pravilo trikota (ili paralelogram) za savijanje i gledanje:

Vektor se širi ili smanjuje ili mijenja direktno kada se množi ili širi brojem:

Međutim, ovdje nam treba hrana, šta da tražimo sa koordinatama.

1. Prilikom savijanja (sabiranja) dva vektora, dodajemo (čitamo) element po element njihove koordinate. Tobto:

2. Kada množite (dijelite) vektor brojem svih koordinata, pomnožite (dijelite) cijelim brojem:

Na primjer:

· Pronađite zbroj co-or-di-nat vík-to-ra.

Počnimo sa poznavanjem koordinata vektora kože. Nakon što ste uvrijedili smrad, možete napraviti isti klip - točku na klipu koordinata. Imaju različite vrste. Todi, . Sada možemo izračunati koordinate vektora. Tada je zbir koordinata ekstrahovanog vektora veći.

prijedlog:

Sada se odvezite u ofanzivi:

Znati zbir koordinata vektora

Provjerite:

Pogledajmo sada problem: imamo dvije tačke na koordinatnoj ravni. Kako znati kako da se nađete između njih? Neka prva tačka bude, ali prijatelj. Značajno stajati između njih kroz. Da zrobimo radi tačnosti, dolazi stolica:

sta ja radim? Prvo sam spojio tačke i, kao i tačke prave, paralelne sa osom, i tačke prave, paralelne sa osom. Smrad se trzao do te mjere, nakon što je napravio čudesnu figuru s kim? Zašto je ona čudo? Možda ti i ja znamo sve o pravokutnom trikutniku. Pa, Pitagorina teorema, sigurno. Shukany vídrízok - tse hipotenuza ovog trikota, i vírízki - kateti. Zašto su koordinate tačaka jednake? Dakle, nije ih lako upoznati iza slike:

Sada ubrzavamo Pitagorinu teoremu. Dovzhini cathetiv znamo, znamo hipotenuzu:

Ovim redom, između dvije tačke - korijen zbroja kvadrata razlike iz koordinata. Abo dobro - stajati između dvije tačke - cijena dozhina vídrízka, šta im se dogodilo. Lako je zapamtiti da usred mrlja ne možete ležati ravno u pravoj liniji. Todi:

Zvídsi robimo tri visnovki:

Hajde da budemo bolji u broju poena između dve tačke:

Na primjer, yakscho, zatim stanite između i jedan

Abo pídemo ínakshe: znamo koordinate vektora

Í znamo dužinu vektora:

Yak bachish, jedan te isti!

Sada vježbajte sami:

Zadatak: znati udaljenost između navedenih tačaka:

Provjerite:

Postoji nekoliko zadataka za istu formulu, ali to stvarno zvuči kao smrad na sitnicu:

1. Know-dí-oni kvadratni dovzhini vik-to-ra.

2. Kvadrat Know-dí-te dovzhini vik-to-ra

Mislim da se lako možete nositi s njima? Provjerite:

1. I trošak gomilanja) Već smo znali koordinate vektora i ranije: . Tada vektor može imati koordinate. Yogo Square

2. Znamo koordinate vektora

Todi square yogo dozhini dorívnyuê

Ništa fensi, zar ne? Zvichayna aritmetika, ne više.

Predstojeći zadatak se ne može jednoznačno klasificirati, smrad je brži od divlje erudicije, a u međuvremenu crtajte jednostavne slike.

1. Pronađite sinus kuta on-clo-na víd-ríz-ka, z-ê-nya-y-th-ta tačka, z vísyu apscisa.

Kako to možemo popraviti ovdje? Potrebno je znati sinus kuta mízh i víssyu. I de mi vmíêmo shukati sinus? Tako je, sa trikutnikom ravnog kroja. Šta nam je potrebno da rastemo? Prepustite se svom prevarantu!

Oskílki koordinate točke, a zatim vídrízok dorívnyuê, ali vídrízok. Moramo znati sinus kute. Reći ću vam da je sinus produžetak noge protilegusa do hipotenuze

Šta smo izgubili zrobiti? Znati hipotenuzu. Možete raditi na dva načina: po Pitagorinoj teoremi (katety vídomí!) ili po formuli između dvije tačke (u stvari, isto, što je prvi način!). idem drugim putem:

prijedlog:

Sutradan će ti biti lakše. Vaughn - na koordinatnim tačkama.

Zadatak 2. 3 točke spuštanja po-pen-dikularu na cijelom abs-cis-u. Pronađite abs-cis-su os-no-va-nya per-pen-di-ku-la-ra.

Slomimo mališane:

Osnova okomice je središnja tačka, u yakíy vín cijela apscisa (vís) je promijenjena, u donjoj tački. Na malom se vidi da su koordinate: . Apscisa je da nas nazovemo - tobto "iksova" magacin. Ona je dobra.

prijedlog: .

Zadatak 3. U vrijeme prednjeg zadatka, znajte zbir udaljenosti od tačaka do koordinatnih osa.

Glava vatre je bila elementarna, kao što znate, kojim putem se dolazi od tačke do sjekire. Znaš li? Spodívayus, ali svejedno ti kažem:

Otzhe, na mom malom, troch troch je veći, jesam li već slikao takvu okomicu? Do koje vinske osovine? Do ose. A zašto je Yogo Dozhina dostojan? Ona je dobra. Sada sami nacrtajte okomicu na osu i saznajte yoga dozhina. Osvojio dorivnyuvatime, zar ne? Todi í̈khnya sum dorivnyuê.

prijedlog: .

Zadatak 4. U zadatku 2, pronađite ordinatu tačke koja je simetrična u odnosu na tačku duž x-ose.

Mislim da ste intuitivno shvatili šta je simetrija? Od njega se mogu napraviti čak i bogati predmeti: bogati budinkiv, stolovi, litakivi, bogati geometrijski oblici: kulu, cilindar, kvadrat, romb i tako dalje. . Takva simetrija se naziva aksijalna. I o čemu se još radi? Zašto je ta linija iza koje figure možete, naizgled mentalno, "prerezati" na iste polovine (na ovoj slici je sva simetrija ravna):

Sada se okrenimo našem vođi. Vidimo da tražimo tačku koja je simetrična nekoj osi. Todí tsya sve - sva simetrija. Otzhe, trebamo označiti takvu točku, tako da sve loze režu na jednake dijelove. Pokušajte sami identificirati takvu tačku. A sada uporedi sa mojim odlukama:

Jeste li se tako osjećali? Dobre! Na pronađenoj tački moramo kliknuti na ordinatu. Osvojio dorivnyuê

prijedlog:

A sada mi recite, nakon što malo razmislim, zašto mi treba apscisa tačke, simetrična tačka A, a šta kažete na y-osu? Kakvo je vaše mišljenje? Tačan odgovor je: .

Za zagal vipad pravilo se može napisati na sljedeći način:

Krapka, simetrična tački duž ose apscise, može koordinirati:

Krapka, simetrična tački duž ose ordinata, može koordinirati:

Pa, sad je strašno menadžer: znati koordinate tačke koja je simetrična sa tačkom duž grebena koordinata. Razmislite sami, a onda pogledajte mog malog!

prijedlog:

Sad Zadatak na paralelogramu:

Zadatak 5: Krapki yav-la-yut-sya ver-shi-na-mi paral-le-lo-lo-gram-ma. Pronađite op-di-na-tu tačku.

Probleme možete rješavati na dva načina: logikom i metodom koordinata. Počeću metodu koordinata na poleđini, a onda ćemo to zapisati, kao da je drugačije.

Sasvim je jasno da je apscisa tačke tačna. (Von da leži na okomici, povučenoj od tačke do ose apscise). Trebali bismo znati ordinatu. Ubrzajmo, jer naša figura je paralelogram, to znači. Upoznajmo dvostruku, vikorističku formulu između dvije točke:

Spuštamo okomicu, tako da dobijemo mrlju od vela. Označit ću tačku prekida slovom.

Dovzhina vídrízka dorívnyuê. (Pronađite sam problem, demi je raspravljao o ovom trenutku), tada znamo razliku između njih dvojice prema Pitagorinoj teoremi:

Dovzhina vídrízka - točno zbígaêtsya z yoga ordinate.

prijedlog: .

Druga odluka (donijet ću samo male, šta da ilustriram)

Híd vyshennya:

1. Potrošite

2. Znati koordinate tačke i udaljenost

3. Donesite šta.

Drugi Naručite dozhina vídrízka:

Krapki su-la-guddle tops-shi-on-mi trikutniks. Pronađite dužinu srednje linije, paralelne.

Da li se sećate šta je srednja linija trikutnika? Samo isti zadatak je elementaran. Ako se ne sjećate, onda ću pogoditi: srednja linija trikotaže je cijela linija, kao što se to događa na sredini suprotnih strana. Vaughn je paralelan sa jezgrom i njegovom najvažnijom polovinom.

Pidstava - tse vídrízok. Yogo dozhina smo imali priliku šukati ranije, čak i više. Isto važi i za srednju liniju druge linije, koja je sve manja i starija.

prijedlog: .

Komentar: tse zavdannya se može uraditi i na drugačiji način, u meri u kojoj smo u stanju da podnesemo poslednja tri.

U međuvremenu, vaša osovina je spiel, vježbajte na njima, smrad je još jednostavniji, ali pomozite da “nabijete ruku”, koristeći najbolji način koordinata!

1. Krapki yav-la-yut-sya tops-shi-on-mi tra-pe-tsíí̈. Pronađite dužinu srednje linije.

2. Krapki i yav-la-yut-sya tops-shi-na-mi paral-le-lo-gram-ma. Pronađite op-di-na-tu tačku.

3. Know-di-the dovzhina víd-ríz-ka, z-e-nya-th-th-th point i

4. Know-dí-one oblasti za-lijepe fí-gu-ri na co-or-di-nat-noí̈ stan-to-stí.

5. Okolina sa centrom u na-cha-le ko-or-di-nat za prolaz kroz tačku. Know-dít í̈í̈ ra-dí-vus.

6. Find-di-te ra-dí-us colo-no-stí, opiši-san-noí̈ bíla ravno-mo-kut-ní-ka, ver-shi-no-something-ro-go-ko-or - dí-na-ti zí-víd-vít-stven-no

Rješenje:

1. Čini se da je srednja linija trapeza ljepša od zbira osnova. Osnova je dobra, ali baza. Todi

prijedlog:

2. Najjednostavniji način da to uradite je da zapamtite šta (pravilo paralelograma). Lako izračunajte koordinate vektora i: . Kada su vektori presavijeni, koordinate se dodaju. Todi maê koordinate. Qi koordinate maê í točka, oskílki cob vektor - tse točka s koordinatama. Ordinate da nas zvika. Ona je dobra.

prijedlog:

3. Diemo pored formule između dvije tačke:

prijedlog:

4. Pogledaj sliku i reci mi da li je zasjenjeno područje stisnuto između dvije figure? Vaughn je stisnut između dva kvadrata. To su kvadrati šukano figure i jednaki kvadrati velikog kvadrata, minus kvadrat malog. Strana malog kvadrata je tse vídrízok, scho z'ednuê točke i yogo dozhina dorívnyuê

Čak je i površina malog kvadrata skuplja

Dakle, to se radi samo od sebe i sa velikim kvadratom: yogo strana je tse vídrízok, scho spajanje bodova i yogo dozhina je skuplje

Todi oblast Velikog trga je skuplja

Površina shukano figure poznata je po formuli:

prijedlog:

5. Čim središte klipa koordinata prođe kroz točku, tada će polumjer biti potpuno isti kao i stari vídrízka (bacite male i shvatite zašto je to očito). Hajde da znamo dužinu ovog vjetra:

prijedlog:

6. Čini se da je poluprečnik opisanog kvadrata pravougaonika kočića veći od polovine dijagonale. Znamo dožinu, bilo da je sa dve dijagonale (čak i ako je smrad ravnog reza jednak!)

prijedlog:

Pa, jeste li uspjeli to učiniti? Bulo nije lako odrasti, zar ne? Ovdje postoji samo jedno pravilo - ne zaboravite pogledati sliku i samo "rahuvat" sve podatke sa nje.

Izgubili smo našu sreću. Postoje bukvalno još dvije stvari o kojima bih želio razgovarati.

Pokušajmo riješiti os tako jednostavnog zadatka. Dajte data dva boda. Pronađite koordinate sredine vídrízke. Rješenje ovog zadatka je sljedeće: neka tačka - sredina je šukana, zatim iste koordinate:

Tobto: koordinate sredine vídrízke = aritmetička sredina koordinata krajeva vídrízke.

Još je jednostavnije i ne prozivajte poteškoće učenika. Hajde da se divimo nekom zavdanju i koliko je pobedonosno:

2. Krapki yav-la-yut-sya ver-shi-na-mi che-ti-reh-vogí-no-ka. Know-dí-te op-dí-on-the point pe-re-si-che-nya yogo dia-go-on-lei.

3. Znaj-dí-te abs-cis-su centra kruga, opiši-san-noí̈ bíla ravno-mo-kut-ní-ka, ver-shi-no-something-ro-go-to or- dí-na-ti zí-víd-vít-ali.

Rješenje:

1. Prvi zadatak je samo klasičan. Díëmo vídrazu za oznaku sredine vídrízka. Vaughn može koordinirati. Ordinat je dobar.

prijedlog:

2. Lako je bačiti, da je ovaj čotirikutnik paralelogram (navit romb!). Možete ga sami dovesti, virahuvavši dožine strane i izjednačiti ih između sebe. Šta ja znam o paralelogramu? Jogo dijagonalno sa tačkom peretina navpil! Aha! Znači tačka prelaska dijagonala - šta? Tse sredina biti kao dijagonala! Viberu, zokrema, dijagonala. Tada se tačka može koordinirati. Ordinata tačke, što je skuplje.

prijedlog:

3. Zašto je središte opisanog kvadrata kolca kvadratno? Vín zbígaêtsya s točkom križanja yogo dijagonala. Šta znaš o dijagonalama pravougaonika? Smrad je jednak i vrh krsta je navpil. Menadžer je zvao naprijed. Uzmimo, na primjer, dijagonalu. Todi yakshcho je središte opisanog kolca, zatim je sredina. Shukayu koordinate: Abscissa rívna.

prijedlog:

E sad, vježbajte malo sami, samo ću vas odvesti na njegu kože, da na trenutak ne vjerujete sebi.

1. Znaj-di-te ra-di-us obima, opiši san-no í̈ bele trikutnika, top-shi-no-so-ro-go može ko-or-de-on ti

2. Znaj-dí-te ili-dí-na-to središte kruga, opiši-san-noí̈ bíla trikutnik, vrhovi nekoga mogu ko-or-dí-on-ti

3. Koji r-dí-u-su može biti buti colo z centar na mjestu gdje je osa abs-cis virila?

4. Find-dí-te op-dí-on-the point pe-re-se-che-nya osí í víd-ríz-ka, z-e-nya-yu-th-th point i

Prijedlozi:

Je li sve nestalo? Već navijam za tebe! Sada - ostatak reda. Budite posebno poštovani sada. Taj materijal, koji ću odmah objasniti, može se primijeniti ne samo na jednostavne zadatke o metodi koordinata dijela B, već se koristi i svuda u zadatku C2.

Yaku zí svoí̈h obítsyanok Još nisam završio šišanje? Pogodite kakve sam operacije na vektorima najavio i koliko je to bilo dozvoljeno zauvijek? Nisam ništa zaboravio? Zaboravi! Zaboravljajući objasniti šta znači višestrukost vektora.

Postoje dva načina da se vektor pomnoži sa vektorom. Nasuprot tome, imat ćemo objekte različite prirode:

Vector tvír vykonuetsya dosit lukavo. Kako joga funkcionira i kako je sada neophodna, razgovarat ćemo s vama u sljedećem članku. I u tsíy mi zupinimsya na skalarnoj kreaciji.

Već postoje dva načina koji nam omogućavaju da izračunamo jogu:

Čim pogodite, rezultat može biti isti! Otzhe, hajde da pogledamo prvi način:

Skalarni twir preko koordinata

Znati: - pohlepno prihvatiti značenje skalarne kreacije

Formula za izračun je:

Tobto skalarni witwir = zbir kreativnih koordinata vektora!

zadnjica:

Saznati

Rješenje:

Znamo koordinate kože iz vektora:

Skalarni twir se izračunava pomoću sljedeće formule:

prijedlog:

Bachish, ništa komplikovano!

Anu, sad probaj i sam:

Know-di-te ska-lyar-not pro-z-ve-de-nie v_k-to-r_v i

Požurio? Možda je ovaj pristup mali podsjetnik? Hajde da revidiramo:

Koordinate vektora, kao u prošlosti! Prijedlog: .

Krím koordinata, je th Ínshy način za izračunavanje skalarnog tvíra, a sam kroz dva vektora i kosinus kuta između njih:

Označava kut između vektora ta.

Zato je skalarna suplementacija efikasnija od povećanja vektora kosinusom preseka između njih.

Pa, potrebna nam je drugačija formula, jer imamo prvu, kao vrlo jednostavnu, nemamo zajedničkih kosinusa. I trebat će vam zbog činjenice da s prvom i ostalim formulama možete pokazati kako se zna između vektora!

Hajde, pogodi formulu za sljedeći vektor!

Kao što zamjenjujem qi podataka prije formule skalarnog stvaranja, tada oduzimam:

Ale sa druge strane:

Šta smo vam oduzeli? Sada imamo formulu, tako da mogu izračunati između dva vektora! Ostale riječi za stil pišu se na sljedeći način:

Ovo je algoritam za izračunavanje kuta između vektora napada:

Izračunljiva skalarna TV u smislu koordinata
Znamo dožini vector_v i množimo ih
Podijelimo rezultat tačke 1 rezultatom tačke 2

Vježbajmo na zadnjici:

1. Know-dí-te kut mízh vík-to-ra-mi i. Dajte dokaz gra-du-sah.

2. U mislima zadatka naprijed, pronađite kosinus između vektora

Uradimo to ovako: prije svega, pomoći ću ti da to uradiš sam, a drugome, pokušaj da to uradiš sam! Dobro? Hajde da to popravimo!

1. Qi vektori - naši stari znaju. Već smo poštovali njihov skalarni tver i vín jednaki. Koordinate su sljedeće: , . Todí znamo ih dozhini:

Tada postoji kosinus između vektora:

Kosinus kojeg kuta je skuplji? Tse cut.

prijedlog:

E, sad ću reći svom prijatelju samom menadžeru, pa ćemo se posvađati! Daću vam malo kraće rešenje:

2. mogu koordinirati, mogu koordinirati.

Hajde - kut mizh vectors i todi

prijedlog:

Slid assign, scho zavdannya direktno na vektor i metodu koordinata u dijelu B ispitnog rada za završetak ispita. Međutim, važniji zadatak C2 se lako može promijeniti uvođenjem koordinatnog sistema. Dakle, možete koristiti ovaj članak kao temelj, na osnovu takvog mirnog vremena možete postići lukavo podsticanje, kao da trebamo završiti složene zadatke.

KOORDINATE I VEKTORI. MIDDLE AT RIVEN

Nastavljamo koristiti koordinatnu metodu. U proteklih nekoliko godina razvili smo niz važnih formula koje omogućavaju:

Znati koordinate vektora
Pronađite dužinu vektora (alternativno: kretati se između dvije tačke)
Presavijte, pogledajte vektore. Pomnožite ih na broj govora
Upoznaj sredinu vjetra
Izračunajte skalarno pojačanje vektora_v
Upoznajte rez između vektora

Očigledno, 6 tačaka ne uključuje cijelu koordinatnu metodu. Vín leži u osnovi takve nauke, kao što je analitička geometrija, koju biste trebali naučiti od VNZ-a. Želim da izgradim fondaciju koja će vam omogućiti da primate naređenja iz jedne države. ispiti. Íz zavdannymi dio B mi rozíbralis u satu je došao da krene dalje kao novi ríven! Ovaj članak će biti posvećen metodi završetka zadatka C2, u kom slučaju bi bilo razumno prijeći na metodu koordinata. Tsya razumnístnost vznachaetsya tim, scho zavdannya je potrebno znati, i kako je dat. Dakle, počeo sam da postavljam koordinatni metod, a to je način na koji postavljam snagu:

Zna kut između dva stana
Upoznajte rez između ravne i ravne linije
Znajte rez između dva ravna
Znati udaljenost od tačke do ravni
Znati udaljenost od tačke do prave linije
Znati udaljenost od prave do kvadrata
Znajte razliku između dva ravna

Yakshcho dat za um glave figure je omotavanje tijela (vreća, cilindar, konus...)

Priložene slike za metodu koordinata su:

Pravougaoni paralelepiped
piramida (trikutna, čotirikutna, šestokutna)

Tako sa mojim znanjem potcjenjuje metodu koordinata za:

Značaj područja pereriziv
Izračun obsyagív tíl

Prote zatim označite da je tri "nevidljiva" za metodu koordinata situacije praktično završiti proračune. Za veće, vođa vina može postati vaš rijativnik, pogotovo što među trivimerima niste toliko jaki (kao što to često rade sa lukavcima).

Koji su sve ostali postovi koje sam naveo? Smrad više nije ravan, kao npr. kvadrat, trikutnik, kolo, već volumen! Očigledno, moramo uzeti u obzir ne dvosvjetski, već trosvjetski koordinatni sistem. To će biti lako završiti: samo prevucite os apscise i ordinate, uvest ćemo još jednu, sve app. Na malom je shematski prikazano njihovo međusobno roztashuvannya:

Svi smradovi su međusobno okomiti, preklapaju se u jednoj tački, što je ono što nazivamo klapnom koordinata. Sva apscisa, kao i prije, smisleno, sve ordinate - , i sva aplika - .

Dok su ranije kožnu tačku na ravni karakterisala dva broja - apscisa i ordinata, tada je skin point u prostoru već opisana sa tri broja - apscisa, ordinata, aplika. Na primjer:

Apscisa tačke je jasno ispravna, ordinata je , a aplikacija je .

Ponekad se apscisa tačke naziva i projekcija tačke na celu apscisu, ordinata - projekcija tačke na celu ordinatu, a aplika - projekcija tačke na čitav aplikator. Očigledno, ako je data tačka, tačka sa koordinatama:

nazovimo projekciju tačke na ravan

Ostani prirodna ishrana: koje su sve formule koje su opravdane, za dvosvjetsku vipadku, u svemiru? Zvuk je čvrst, smrad pristojan i možda je i sam prizor. Za mali detalj. Mislim da ste već sami shvatili, posle sebe. U sve formule krivice dodaćemo još jedan član, koji važi za celu aplikaciju. I sebi.

1. Kako postaviti dvije tačke: , zatim:

Vektorske koordinate:
Kretanje između dvije tačke (ili dva vektora)
Sredina vídrízka maê koordinate

2. Ako su data dva vektora: i, onda:

Njihov skalarni tvír dorívnyuê:
Kosinus kuta između vektora do_vnyuê:

Međutim, nije sve tako jednostavno u svemiru. Kako razumete, dodavanje još jedne koordinate da unesete osećaj različitosti u spektar figura koje „žive” u ovom prostoru. A za daljnje rozpovidi mene će biti potrebno poslati deaka, grubo naizgled, "zagalnennya" ravno. Tsim zagalnennyam će biti stan. Šta znaš o ravnosti? Pokušajte s vídpoviddu, ali šta je stan? Važno je reći. Prote mi sve se intuitivno otkriva, kao da gleda van:

Otprilike kazhuchi, tse yakys neskíchenny "arkush", ušuškan u prostranstvo. "Nedosljednost" je trag razumijevanja da se područje širi na sve strane, pa je to kvadrat više nedosljednosti. Međutim, ovo objašnjenje "na prste" ne daje ni najmanje informacije o strukturi aviona. I mi smo s puta.

Hajde da pogodimo jedan od glavnih aksioma geometrije:

kroz dve različite tačke na ravni postoji prava linija, a pre toga postoji samo jedna:

Abo njen analog svemira:

Očigledno, sjećate se, što se tiče dvije date tačke koje vode prave linije, nije važno: ako prva tačka ima koordinate: ali druga, tada će ravne linije biti napadnute:

Polaganje u 7. razredu. Na širini pravih osa izgleda ovako: imamo dvije tačke sa koordinatama:

Na primjer, kroz tačke idite ravno:

Kako možeš razumjeti? Zatim treba razumjeti os yak: tačka leži na pravoj liniji, tako da koordinate zadovoljavaju takav sistem:

Ne postoji drugi način da cijenimo direktan vektor prave linije, ali moramo dati poštovanje važnom razumijevanju direktnog vektora prave linije. - biti vektor različit od nule koji leži na pravoj ili je paralelan s njom.

Na primjer, ofanzivni vektori i ê direktni vektori prave linije. Hajde - tačka koja leži na pravoj liniji, i - direktni vektor. Iste prave linije možete napisati na sljedeći način:

Još jednom, ponavljam, neću biti direktniji od prave linije, ali potrebno je da zapamtim da je takav direktni vektor! Još jednom: tse BE-YAKIYA ne-nulti vektor koji leži na pravoj ili paralelnoj í̈ th.

Vivesti nivelisanje površine iznad tri zadate tačke to više nije tako očigledno, a zvuk hrane se ne viđa u toku srednje škole. I darma! Tsej priyom zhittêvo nebhídny, ako idemo na metodu koordinata na vrhu presavijanja zadataka. Međutim, priznajem, šta ste naučili od bajannya o nečem novom? Štaviše, možete impresionirati svog vikladača na VNZ-u, ako znate da ste već upoznati sa metodologijom, kao što zvučite na kursu analitičke geometrije. Otzhe, uradimo to.

Ravnost stana ne ruši ravnost ravne linije na stanu, ali može izgledati izvan sebe:

decimalni brojevi (usí jednaki nuli), i zminní, na primjer: tanko. U stvari, ravnost ravni čak ni ne prelazi u pravu liniju (linearna funkcija). Prote, pogodi šta smo se prekalili sa tobom? Rekli smo da, pošto imamo tri tačke, ako ne leže na jednoj pravoj liniji, onda je ravnost ravni jedinstveno inspirisana njima. Hello yak? Pokušaću da ti objasnim.

Krhotine zaravnjenosti prostora mogu se vidjeti:

I tačke leže na ovoj ravni, onda kada postavljamo koordinate tačke kože na ravnini, mi smo odgovorni za uzimanje ispravnog identiteta:

U ovom rangu je potrebno već od nepoznatog napraviti tri jednaka! Dilema! Međutim, to uvijek možete priznati (za šta je potrebno dodati). U ovom rangu uzimamo tri jednaka iz trija neophodnih:

Međutim, mi ne kršimo takav sistem, već zapisujemo tajanstveni izraz, kao da vrištimo iz novog:

Ravnost ravni koja prolazi kroz tri date tačke

\[\lijevo| (\begin(niz)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(niz)) \desno| = 0\]

Stani! šta je drugo? Kakav nevidljivi modul! Međutim, objekat, kao da hodate ispred vas, nema nikakve veze sa modulom. Ovaj objekat se naziva primat trećeg reda. Vídteper i nadalí, ako matimesh na desnoj strani s metodom koordinata na avionu, onda ćete često vidjeti znakove. Šta je vyznachnik trećeg reda? Nije iznenađujuće, to je više od broja. Izgubio sam razum, kao i sam broj koji smo postavili kao označitelj.

Zapišimo glavu trećeg reda za divljeg izgleda:

De - deakí brojevi. Štaviše, pod prvim indeksom razumijemo broj reda, a pod indeksom - broj kolone. Na primjer, to znači da je broj na peretini drugog reda i trećeg reda. Stavimo nogu na hranu: kakav čin računamo na takvog vyznačnika? Dakle, kako ćemo vam dati sam broj? Za sam vyznachnik trećeg reda, heuristički (na prvi pogled), trikutnikovo pravilo izgleda ovako:

Dodatni elementi u dijagonali glave (od gornjeg lijevog kuta do donjeg desnog)
Izvlačenje elemenata u bočnoj dijagonali (od gornjeg desnog ruba do donjeg lijevog)
Todi vyznachnik skuplje maloprodajne vrijednosti, otrimanih na crocita

Da sve zapišemo brojevima, uzimamo sljedeći viraz:

Tim nije manji, zapamtite način brojanja u takvom izgledu nije neophodan, dovoljno je u glavi jednostavno zadržati trikove i samu ideju, šta se dešava i šta se kasnije vidi).

Ilustrujmo metodu trikova na zadnjici:

1. Izračunajte pobjednika:

Hajde da shvatimo šta pohranjujemo, a šta vidimo:

Dodanki, kako iz "plusa":

Glavna dijagonala: dodatni elementi vrata

Prvi trikutnik, okomito na dijagonalu glave: dodatni elementi

Još jedan tricutnik, okomito na dijagonalu glave: dodatni elementi od drveta

Dodajemo tri broja:

Dodanki, yakí idi sa "minusom"

Bočna dijagonala: dodatni elementi

Prvi tricoutnik, “okomito na bočnu dijagonalu: dodatni elementi

Još jedan tricutnik, okomito na bočnu dijagonalu: dodatni elementi

Dodajemo tri broja:

Sve što je ostalo bez posla - to možete vidjeti sa sumom donacija “sa plusom” zbirom dodankiva sa “minusom”:

na takav način,

Yak bachish, nema ničeg koherentnog i natprirodnog među pobrojanim vyznačnikima u trećem redu. Važno je samo zapamtiti prevarante i ne dozvoliti aritmetička pomilovanja. Sada pokušajte samostalno virahovati:

Provjerite:

Prva trojka, okomita na dijagonalu glave:
Još jedan triko, okomit na glavnu dijagonalu:
Količina dodankív íz plus:
Prvi triko, okomit na bočnu dijagonalu:
Još jedan triko, okomit na bočnu dijagonalu:
Količina dodankiva sa minusom:
Količina dodankiv íz plus minus količina dodankív íz minus:

Os je također nekoliko vyznachnikov, neovisno izbrojanih njihove vrijednosti i izjednačenih s vídpovídyami:

Prijedlozi:

Pa, je li sve krenulo po zlu? Dobro, onda se možeš srušiti daleko! Iako je teško, onda mi je zadovoljstvo ovo: na internetu postoji gomila programa za izračunavanje menadžera on-line. Sve što je potrebno za vas je da smislite svog lidera, sami ga izračunate, a onda ćemo mi to nadoknaditi, da je program važan. I tako doti, doki rezultati ne počinju spívpadati. Upevneniy, tsey moment not zmusit dovgo chekati!

A sada da se okrenemo tom putokazu koji sam zapisao, ako sam govorio o niveliranju aviona kroz tri zadate tačke:

Sve što je potrebno je da izračunate vrijednost bez sredine (pomoću trikutnik metode) i rezultat izjednačite sa nulom. Zvičajno, krhotine se mijenjaju, onda ti odneseš deaky viraz, koji treba u njih odložiti. Sam viraz i biće jednak ravni, koja će proći kroz tri date tačke, koje neće ležati na jednoj pravoj liniji!

Ilustrirajmo ono što je rečeno na jednostavnom primjeru:

1. Ohrabrite ravan da prođe kroz tačke

Za ove tri tačke putokaza dodajemo:

Recimo samo:

Sada se joga računa bez posrednika po pravilu trikova:

\[(\left| desno| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \desno) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Ovim redoslijedom, jednakim ravnini, koja može proći kroz tačke, možete pogledati:

Sada pokušajte sami da otpevate jedan dan, pa hajde da pričamo o tome:

2. Znati poravnanje ravnine koja prolazi kroz tačke

Pa, hajde da razgovaramo o odluci:

Napravimo znak:

Í izračunljiva vrijednost:

Todi izravnavanje površine može izgledati:

Ali dobro, ukratko, skini to:

Sada dva zadatka za samokontrolu:

Ohrabrite avion da prođe kroz tri tačke:

Prijedlozi:

Je li sve pošlo po zlu? Pa, iako je teško, moj razlog je ovaj: uzmete tri boda s glave (sa velikim korakom imovirnosti neće ležati na jednoj pravoj liniji), bit ćete ravno iza njih. A onda ćemo to sami provjeriti na internetu. Na primjer, na web stranici:

Međutim, uz pomoć sveštenoslužitelja nećemo se samo izjednačiti na području. Pogodi, pokazaću vam šta je dodeljeno vektorima ne samo skalarnom twir. Više vektora, kao i zmíshany tvír. Ako će skalarno kreiranje dva vektora i biti broj, onda će kreiranje vektora dva vektora i biti vektor, štoviše, vektor okomitih zadataka:

Štaviše, yogo modul je površina paralelograma izgrađenog na vektorima i. Ovaj vektor je potreban za izračunavanje broja tačaka od tačke do prave linije. Kako možemo dobiti vektor TV vektora i, kao i njihove koordinate zadatka? Za pomoć ponovo dolazi vyznachnik trećeg reda. Međutim, prije svega ću prijeći na algoritam za izračunavanje kreacije vektora, pokušat ću napraviti mali lirski unos.

Tsey pristup osnovnim vektorima.

Šematski, smrad slike malenog:

Šta mislite, zašto se smradovi nazivaju osnovnim? Desno u tome:

Abo na slici:

Valjanost ove formule je očigledna, čak i:

Vector vitvir

Sada mogu početi predstavljati vektorsku umjetnost:

Kreiranje vektora od dva vektora je vektor koji se izračunava prema sljedećem pravilu:

Sada ćemo dodati nekoliko primjera izračunavanja kreiranja vektora:

Primjer 1: Upoznajte vektorsko povećanje vektora:

Rješenje: sastavljam znak:

volim jogu:

Sada gledajući notaciju osnovnog vektora, okrenut ću se notaciji baznog vektora:

na ovaj način:

Sada probaj.

Spreman? Provjerite:

Ja tradicionalno dvoje zadaci za kontrolu:

Pronađite vektorski TV nadolazećih vektora:
Pronađite vektorski TV nadolazećih vektora:

Prijedlozi:

Zmishany tvir tri vektora

Ostatak konstrukcije, kako mi treba, rezultat je zbrke tri vektora. Vono, jak i skalar, ê broj. Postoje dva načina izračunavanja. - kroz vyznachnik, - kroz zmishane tvir.

A za sebe, hajde, data su nam tri vektora:

Tada se tri vektora, koji su označeni kroz, mogu izračunati kao:

1. - tobto shift tvir - svi skalarni tvir vektora na vektoru tvir dva druga vektora

Na primjer:

Samostalno pokušajte izračunati jogu kroz vektorski twir i predomislite se, rezultati će pasti!

Ja opet - dva guza za nezavisnu viziju:

Prijedlozi:

Izbor koordinatnog sistema

E, sad imamo osovinu cjelokupnog potrebnog temelja znanja, tako da možemo kreirati sklopive stereometrijske zadatke iz geometrije. Međutim, prva stvar koju treba učiniti je nastaviti bez srednjeg koraka u primjeni tog algoritma na njihovu svestranost, poštujem da će na bilo kojoj hrani biti otrcane boje: kao i sama izaberite koordinatni sistem za te druge oblike.Čak i ako odaberete međusobnu ekspanziju koordinatnog sistema i figura u prostoru, moguće je odrediti, izračunat će se najveći dio mase.

Pretpostavljam šta vidimo u takvom postu:

Pravougaoni paralelepiped
Prava prizma (trikutna, šestokutna...)
piramida (trikutna, čotirikutna)
Tetraedar (jedan te isti kao trikutna piramida)

Za pravougaoni paralelepiped ili kocku preporučujem sljedeći pristup:

Tobto figuru stavit ću "u kut". Kocka i paralelepiped su dobre figure. Za njih možete lako znati koordinate svojih vrhova. Na primjer, yakscho (kao što je prikazano na malom)

tada su koordinate vrhova:

Sjećanje, zvichayno, nije potrebno, štiti pamćenje, kao bolju matičnu kocku ili ravno rezani paralepiped - bazhano.

Prava prizma

Prizma - više shkidliva post. Roztashovuvati njeno u svemiru može se obaviti na drugačiji način. Međutim, čini se da je najprihvatljivija opcija:

Tricut prizma:

Na jednu od strana trikutnika stavljamo ga u cjelinu, štaviše, jedan od vrhova ide sa klipom koordinata.

Prizma sa šest tačaka:

To je razlog zašto jedan od vrhova zbígaêtsya sa klipom koordinata, a jedan od zí storín leži na osi.

Čotirikutna ta šestokutna piramida:

Situacija je slična kocki: dvije strane baze su jedna po jedna sa koordinatnim osa, jedan od vrhova je jedan po jedan sa kockom koordinata. Jedno malo presavijanje za otkrivanje koordinata tačke.

Za šestostruku piramidu - slično kao i za šesterostruku prizmu. Glavni zadatak će biti pronaći koordinate vrha.

Tetraedar (trikutna piramida)

Situacija je slična kao kod tíêí̈, kao što sam nakalemio za trouglastu prizmu: jedan vrh ide duž klipa koordinata, jedna strana leži na koordinatnoj osi.

E, sad smo blizu vas, pa da pređemo na Dan trešanja. Nakon onoga što sam rekao na samom početku članka, istog trenutka je stvorena os svojevrsnog vysnovoka: više zadataka C2 podijeljeno je u 2 kategorije: zadaci na rezu i zadaci na vrhu. Na potiljku ćemo sa vama pogledati dobro poznatu kutu. Smrad njihove linije podijeljen je u sljedeće kategorije (svijet ima više sklopivih):

Tražim traženje kutiva

Znakhodzhennya kuta mizh dvije ravne linije
Znakhodzhennya kuta između dva stana

Pogledajmo ove zadatke jedan po jedan: pogledajmo znanje kute između dvije prave. Pa, pogodite šta, zašto niste ranije probali slične sa vama? Pogodi, aje mi već ovako mali schos... Mi shukali kut mizh dva vektora. Pretpostavljam, pošto su data dva vektora: i, kako se onda mogu znati iz spívvídnosheniya:

Sada, međutim, možemo imati meta - znak kute između dvije prave linije. Hajdemo podivljati na "ravnu sliku":

Skílki imamo wiyshlo kutív pri prelasku dvije ravne linije? Već stvari. Istina, samo dva od njih nisu jednaka, drugi su im okomiti (i izbjegavaju ih). Onda kakav kut za nas vvazhat kutom između dvije prave linije: chi? Ovdje je pravilo: rez između dvije prave linije ne više od nižih stupnjeva. Tobto od dva kutiva uvijek ćemo izabrati kut iz najmanjeg stepena svijeta. Tobto na ovoj slici izrezan između dvije ravne linije. Kako se ne bi zezali šalom najmanjeg od dva kutiva, lukavi matematičari propagirali su pobjednički modul. Ovim redoslijedom, rez između njih dvoje direktno ovisi o formuli:

Vi, kao uvaženi čitalac, nemate dovoljno hrane: a zvezde, dobro, uzimamo same te brojeve, jer treba da izračunamo kosinus kuta? Napomena: mi smo braća direktnih vektora pravih linija! U ovom rangu algoritam za poznavanje kuta između dvije prave izgleda ovako:

Zastosovuêmo formulu 1.

Abo reporter:

Shukaêmo koordinate direktnog vektora prve linije
Shukaêmo koordinate direktnog vektora druge prave linije
Izračunavanje modula nove skalarne kreacije
Shukaemo dozhina prvi vektor
Shukaëmo dovzhina još jedan vektor
Rezultate iz tačke 4 množimo sa rezultatima iz tačke 5
Podijelimo rezultat tačke 3 sa rezultatom tačke 6. Uzimamo kosinus kuta između pravih
Čak i ako rezultat omogućava upravo virahuvati kut, šaljivu jogu
Inače, pišemo kroz arc kosinus

E, sad je vrijeme da pređemo na dan: rješenje prva dva ću demonstrirati u izvještaju, rješenje drugog ću ukratko iznijeti, a prije preostala dva dana neću više davati nego sugestije, sve kalkulacije prije njih vi ste krivi da sami izvršite.

Menadžer:

1. Pravo tete-ra-ed-re zna-di-te kut mi-zh vy-so-da tete-ra-ed-ra i me-di-a-noi bo-koi lica.

2. Na desno-wild shost-vugilny pi-ra-mi-de sto-ro-no OS-no-va-nya-to-roí̈ jednaka, i više-to-ví rebra jednaka, znajte rez između ravnih linije i.

3. Neka sva rebra ispravne četiri-ti-rekh-vugílnoi pí-ra-mí-di budu jednaka među sobom. Know-dí-te kut m_zh ravno-mi-mi i yakscho víd-rízok - vy-so-ta dan-noí̈ pí-ra-mí-di, tačka - se-re-di-on í̈vo bo-ko-vo- th edge

4. Na ivici kocke nalazi se tačka tako da Nai-di-te seče između pravih linija

5. Tačka - se-re-dí-na rubovima kocke

Nepogrešivo postavljam zadatke tim redom. Još uvijek se nisam uspio orijentirati u metodi koordinata, sam ću srediti najproblematičnije figure, ali ću vam dati da smislite najjednostavniju kocku! Korak po korak, trebalo bi da naučite kako da vežbate sa nama u brojkama, ja ću promeniti redosled dana iz jednog u drugi.

Idemo do odabira trešnje:

1. Mali tetraedar, premjestite yogo u koordinatni sistem kao što sam ranije radio. Oskílki tetraedi su ispravni - sva yogo lica (uključujući bazu) - su ispravni trikutnici. Oskílki nam nije dao dovzhina stranu, onda mogu prihvatiti njen jednak. Mislim, razumete, šta zaista nije bajato, s obzirom na to koliko će se naš tetraedar „rastegnuti“? Također ću nacrtati visinu i medijanu u tetraedru. Po mogućnosti, ja ću slikati potporu za jogu (trebaće nam).

Neophodno je da znam kut mizh i. šta vidimo? Nemamo koordinate tačke. Otzhe, morate znati koordinatnu tačku. Sada mislimo: tačka je cela tačka linije visina (bilo bisektrisa ili medijana) trikutnika. Tačka je ulančana tačka. Tačka w je sredina vídrízke. Tada je dovoljno znati: koordinata tačka: .

Počnimo od najjednostavnijeg: koordinate tačaka. Pogledajte mališane: Jasno je da je aplikator tačke jednak nuli (tačka leži na ravnom). Ej ordinate dorívnyuê (oskílki - srednja). Pogodnije je znati í̈ apscisu. Međutim, lako se boriti na osnovu Pitagorine teoreme: Pogledaj prevaranta. Yogo hipotenuza je dobra, a jedan od katetera je dobar:

Preostalo maêmo: .

Sada znamo koordinate tačke. Jasno je da je njena aplikacija nova na nulu, a njena ordinata je ista, kao u tački, tobto. Znamo njenu apscisu. Trivijalno je pokušati to završiti, kao da se toga sećate visine jednostrane pletene tkanine s poprečnom točkom koju treba podijeliti proporcijom pogled odozgo. Oskílki: zatim shukana apscisa točke Ovim redoslijedom se ažuriraju koordinate tačaka:

Znamo koordinate tačke. Jasno je da apscisa i ordinata idu dalje od apscise i ordinate tačke. A aplikacija je stara dobra. - ovo je jedan od katetera trikutnika. Hipotenuza trikota - ce vídrízok - noga. Vín shukaê z mirkuvan, yaky vidio sam podebljanim slovima:

Krapka je sredina vídrízke. Zatim moramo pogoditi formulu za koordinate sredine vídrízke:

To je sve, sada možemo šukati koordinate direktnih vektora:

Pa, sve je spremno: sve podatke dostavljamo formuli:

na takav način,

prijedlog:

Niste vi krivi što lažete ovako "zhahlivy" vídpovídí: za probleme C2, to je odlična praksa. Ja bih prije zdivuvavsya b "lijepa" vídpovídí u ovom dijelu. Dakle, podsjećanja radi, praktično nisam ulazio u ništa, osim u Pitagorinu teoremu i visinu visina jednakostranog trikutnika. Stoga sam za završetak stereometrijskog zadatka odabrao minimum stereometrije. Vigrash na tsyomu se često "gasi" glomaznim punjenjem. Onda smrdi da dosit algoritamski!

2. Zamislite ispravnu šestostranu piramidu odjednom iz koordinatnog sistema, kao i bazu:

Moramo znati rez između pravih linija. Otzhe, naša zavdannya zavdannya za traženje koordinata tačke: . Koordinate preostale tri su poznate po malom, a koordinata temena je poznata preko koordinate tačke. Roboti na veliko, ali morate doći do nje!

a) Koordinata: jasno je da je ova ordinata jednaka nuli. Znamo apscisu. Za koga možemo pogledati pravi trikutnik. Šteta što imamo manje hipotenuze u našoj kući, jer je ljepša. Noga mi namagatimosya vídshukati (jer je jasno da će nam donji dio noge dati apscisu mrlja). Kako možemo í̈shukati? Pogodite šta za objavljivanje moramo ležati u osnovi piramide? Tse je ispravna šestočlana. I šta to znači? Tse znači da novi ima sve strane i da su svi kuti jednaki. Potrebno je poznavati jedan takav kut. Ima li ideja? Ideas masa, ale ê formula:

Zbroj cutiva ispravnog n-kutnika je skuplji .

Otzhe, zbir kutiva ispravnog šest-kutnika je više stupnjeva. Todi koža iz kutív dorívnyuê:

Pogledajmo ponovo sliku. Shvatio sam da je dušnik bisektrisa kute. Todí kut dovnyuê stupnjeva. Todi:

Same zvídki.

U ovom rangu, maê koordinate

b) Sada možemo lako znati koordinate tačke: .

c) Znamo koordinate tačke. Oskílki íí̈ apscisa zbígaêtsya z dovzhina vídrízka prema van. Poznavanje ordinate također nije previše teško: na primjer, dobijamo tačke, a tačka na pravoj liniji je značajna, na primer. (Sam Zrobi nespretno pobudova). U ovom redoslijedu, ordinata tačke B jednaka je zbiru dožina vídrízkíva. Znovu zvernemosya to trikutnik. Todi

Isto kao što tačka može koordinirati

d) Koordinate tačke su sada vidljive. Pogledajte pravougaonik i dovedite ga u takav rang koordinatnih tačaka:

e) Izgubljeni da znaju koordinate vrha. Jasno je da apscisa i ordinata idu dalje od apscise i ordinate tačke. Znamo aplikaciju. Jer. Pogledajmo trikutnik ravnog reza. Iza mozga je bichne rebro. Hipotenuza mog trikutera. Tada je visina piramide noga.

Ista tačka može imati koordinate:

Pa, to je to, imam koordinate svih tačaka da kliknem na mene. Šalim se koordinate direktnih vektora u ravnim linijama:

Shukaêmo kut mizh tsimi vektori:

prijedlog:

Pa znam, sa izvršenjem ovog zadatka nisam pobedio godišnje namotaje, formule za zbir rezova ispravnog n-reza, kao ni oznaku kosinusa i sinusa pravog- cut tricut.

3. Oskílki nam opet ne daju ostatak rebara na piramidi, onda ću ih počastiti jednakom usamljenošću. Ovim redom, oskílki sva rebra, a ne samo bíchní, jednaka između sebe, tada je osnova piramide i manje kvadrat, a bíchní lica su ispravni trikutniki. Zamislite takvu piramidu, kao i osnovu na ravni, koja označava sve podatke, stavite u tekst zadatka:

Shukaemo kut mizh i. Radit ću čak i na kratkim karticama, ako tražim koordinate tačaka. Morat ćete ih "dešifrirati":

b) - sredina vírízke. njene koordinate:

c) Poznajem Dovžinu vídrízku za Pitagorine teoreme u trikutniku. Znat ću za Pitagorinu teoremu u trikutniku.

koordinate:

d) - sredina vírízke. Koordinate su jednake

e) Vektorske koordinate

f) Vektorske koordinate

g) Shukaemo rez:

Kocka je najjednostavnija figura. Žao mi je što ćeš to sama shvatiti. Vidpovídí do zavdana 4 i 5 dolazi:

Znahodzhennya kuta mizh ravna i ravna

Pa, sat najjednostavnijih zadataka je prošao! Sada će zadnjice biti još više sklopive. Za vídshukannya kuta mízh ravna i ravna, popravit ćemo to ovako:

Iza tri tačke biće jednake ravni
,
vikoristovuyuchi vyznachnik trećeg reda.
Za dvije tačke možemo pronaći koordinate direktnog vektora prave linije:
Zastosovuêmo formulu za izračunavanje kuta između prave i ravnine:

Jak bačiš, ova formula je već slična onoj, jaku mi zastosovuvali za šalu kutiv između dve prave. Struktura desnog dijela je jednostavno ista, ali sada govorimo o sinusu, ali ne o kosinusu, kao prije. Pa, dobio sam jednu neprihvatljivu diju - potragu za ravnošću kvadrata.

Nije primjenjivo na stari ekran savršenstvo aplikacija:

1. Os-no-va-ní-êm direktna-moja nagrada-mi yav-la-et-sya rív-ali-poor-ren-ny trikutnik Vi-so-ta prize-mi dorivnyu. Pronađite rez između moje ravne i ravne četke

2. Na ravnom-mo-vug_lny pa-ral-le-le-pí-pe-de z-west-ni Nai-di-te rezu između mog ravnog i ravnog kista

3. Ispravna šestokružna prizma ima sva rebra jednaka. Pronađite rez između moje ravne i ravne četke.

4. Na desnoj-vílníy trikutníy pi-ra-mi-de z os-no-va-ní-êm íz-west-ni rebra -ali-va-nya i ravno, prolazeći kroz se-re-dí-ni rebra i

5. Držite sve ivice desne chotiricut piramide sa vrhom jednakim jedan drugom. Know-dí-te kut između ravne linije i ravnog kista, kao tačka - se-re-di-na bo-ko-in-th rubu p-ra-mi-di.

Prva dva zadatka pišem u izvještaju, treći - ukratko, a preostala dva vam ostavljam za samostalni stih. Prije toga, već ste imali majku na desnoj strani sa trikutnoy i chotirikutnoy piramidama, a osa prizme - još uvijek ne.

Rješenje:

1. Zamislite prizmu i navijte njenu osnovu. Sumy í̈is je koordinatni sistem za koji su značajni svi podaci, kao što je dato za um zadatka:

Kunem se na dan potcenjivanja proporcija, ali za promenu zadatak, zapravo, nije toliko bitan. Stan je samo „zadnji zid“ moje prizme. Samo da završim, pogodite kakvu ravnost možete pogledati:

Međutim, moguće je prikazati i bez posrednika:

Odaberite dovoljno tri tačke na ovoj ravni: na primjer, .

Pohranjujemo ravnost prostora:

Pravo je za vas: samostalno virahuvat tsey vyznachnik. Imate li vau? Todi izravnavanje površine može izgledati:

Abo just

na takav način,

Na primjer, moram znati koordinate direktnog vektora prave linije. Ako je točka skalirana s kobom koordinata, tada se koordinate vektora jednostavno skaliraju s koordinatama točke. Za koje znamo kolonu koordinata tačke.

Za koga možemo pogledati trikutnik. Nacrtajmo visinu (osvojena - medijana i simetrala) od vrha. Oskílki ordinata točke je dorivnyuê. Da bismo znali apscisu tačke, moramo izračunati dužinu vdrízke. Iza Pitagorine teoreme možemo:

Ista tačka može imati koordinate:

Krapka - tse "podigao" do krapke:

Iste vektorske koordinate:

prijedlog:

Yak bachish, u principu ne postoji ništa sklopivo za sat takvih zadataka. U stvari, proces će reći malo "direktnosti" takve figure, poput prizme. A sada idemo na ovu zadnjicu:

2. Mali paralepiped, nacrtan u novoj ravni i ravan, a takođe i oko donje osnove:

Na poleđini znamo nivo ravnine: koordinate tri tačke koje ima:

(prve dvije koordinate su oduzete na očigledan način, a preostale koordinate na slici lako možete pronaći iz tačaka). Todi skladište jednake površine:

Računamo:

Shukaêmo koordinate direktnog vektora: Jasno je da su yogo koordinate pomaknute od koordinata tačke, zašto ne? Kako saznati koordinate? Tse koordinate točke, pomicanje duž ose aplikacije po jedinici! . Todi Shukaemo shukanovy kut:

prijedlog:

3. Šestostrana piramida je malo ispravna, a zatim se izvodi pravo u ravni.

Ovdje je problematično slikati avion, ne čini se da se radi o razvoju ovog zadatka, metoda koordinata je ista! Sama u jogi univerzalnost i joga je glavna stvar!

Avion prolazi kroz tri tačke: . Shukaêmo njihove koordinate:

jedan). Pronađite koordinate za preostale dvije točke sami. Morate riješiti problem iz šesterostruke piramide!

2) Površina će biti jednaka:

Shukaêmo koordinate vektora: . (Opet se divite radniku sa triko piramidom!)

3) Shukaemo rez:

prijedlog:

Yak bachish, u ovim fabrikama nema ničeg natprirodnog sklopivog. Bolje je više poštovati korijene. Do zadnja dva dana daću samo nagoveštaj:

Kao i trenutak pomirenja, tehnika rješavanja zadatka je ista: glavni zadatak je znati koordinate vrhova i staviti ih u formule. Ostao nam je još jedan čas da pogledamo broj kutiva, ali za sebe:

Proračun kutiva između dva stana

Algoritam rješenja će biti ovakav:

Iza tri tačke vidimo jednakost prve ravni:
Iza ostale tri tačke vidimo nivo druge ravni:
Zastosovuêmo formulu:

Yak bachish, formula je već slična dvojici ispred, uz pomoć nekih od njih su promiješali kuti između ravnih linija i ravnih linija i ravnih linija. Tako zam'yatati tsyu tobí ne skladište osoblivih trudnoshchiv. Pređimo na analizu zadatka:

1. Sto ro-na na osnovu ispravne trostruke nagrade je skuplja, a dijagonala bočne strane je ljepša. Know-dí-te kut mízh flat-brush i flat-brush OS-no-va-nya nagrade.

2. Na desnoj strani che-ti-rekh-vugíl-noí̈ pí-ra-mí-de, sva rebra su nekako jednaka, znate sinus kute između ravne četke i ravne četke, scho da prođe kroz tačka po-di-ku-lyar-ali ravno.

3. Ispravna četiri-rekh-vugílníy prizma ima sto-ro-no OS-ali-va-nya jednaka, a više-to-ví rebra su jednaka. Na rubu vid-me-che-na točku tako, scho. Znajte rez između ravnina

4. Na desnoj-vil-noy chotiricutnoy prize-mí strana os-no-va-nya je jednaka, a rebra su jednaka. Na rubu víd-mí-che-na točku tako da Nai-di-te kut mízh plane-ko-stya-mi i.

5. Kod kocke, nađi-de-te co-si-nus kuta m_zh flat-to-stya-mi i

Zadaci stavljanja van pogona:

1. Mala pravilna (u osnovi - jednakostranična triko) trikot prizma koja je gola na ravnom, kao figura za um glave:

Moramo znati poravnanje dvije ravni: Poravnanje temelja je trivijalno za unos: gornju liniju možete staviti iza tri tačke, ja ću postaviti poravnanje u nizu:

Sada znamo nivo Tačka je koordinatna tačka Tačka - Oskilki je medijana i visina trikota, onda je lako znati Pitagorinu teoremu u trikou. Ista tačka može koordinirati: Znamo aplikativ tačke

Tada su nam potrebne sljedeće koordinate: Preklapanje ravnine.

Izračunajte rez između stanova:

prijedlog:

2. Robimo mališani:

Nayskladníshe - tse zozumíti, scho tse takva taêmnicha ravna, jak da prođe kroz tačku okomito. Šta ima, glupane, šta ima? Golovne - ce respekt! Zaista, prava linija je okomita. Linija je također okomita. Tada će ravan, koja će prolaziti kroz dvije prave, biti okomita na pravu liniju, tj. na govor, prolaziti kroz tačku. Tsya površina također prolazi kroz vrh piramide. Todi treba ravan - A ravan nam je već dat. Shukaêmo koordinatna tačka.

Koordinata tačke je poznata kroz tačku. Od male bebe lako je znati da će koordinate tačke biti ovako: Šta je sada ostalo da znamo, da znamo koordinate vrha piramide? Još uvijek treba virahuvati njen visotu. Požurite u pomoć íêí̈ zh Pitagorine teoreme: donesite klip, scho (trivijalno je od malih trikutnika, scho napraviti kvadrat na postolju). Krhotine za um, onda možda:

Sada je sve spremno: koordinate vrhova:

Savijamo ravnost površine:

Vi već fahívets na broj vyznachnív. Bez vežbe oduzimate:

Abo ínakshe (kako umnožiti uvrede dijelova na korijenu dva)

Sada znamo nivo oblasti:

(Ne zaboravljate, kako uzimamo ravnost površine, zar ne? Ako ne razumijete, zvijezde su uzele minus jedan, onda okrenite na naznačenu ravnost stana!

Izračunavamo označitelj:

(Možete se sjetiti da je ravnina ravni padala na prave koje prolaze kroz tačke i! Razmislite zašto!)

Sada izračunavamo rez:

Moramo znati sinus:

prijedlog:

3. Šaljiva hrana: šta je pravougaona prizma, šta mislite? Zašto je još bolje vidjeti te paralelepipeda! Odrazu OK robimo kreslennya! Možete navit okremo ne zamišljajte, ali nema se tu puno gledati:

Stan se, kao što smo već spomenuli, evidentira pri pogledu na jednaku:

Sada savijamo područje

Vídrazu skladêmo izjednačavanje površine:

Shukaemo rez:

Sada moramo čekati do zadnja dva dana:

Pa, sada je vrijeme da ponovo pročitamo troh, a mi smo dobro prošli s vama i uradili smo odličan posao!

Vektorske koordinate. Sticking ríven

U ovim člancima ćemo raspravljati o još jednoj klasi zadataka, koja se može koristiti za dodatnu metodu koordinata: zadatak na izračunavanje podataka. A za sebe, mi ćemo vas gledati ovako:

Proračun između pravih linija koje treba ukrstiti.

Naređujem podatke narudžbe u najvećoj mjeri njihovog savijanja. Najjednostavnije je znati kretati se od tačke do ravni, a najbolji način je znati stajati između ukrštenih pravih linija. Želim, pa, nema ništa nemoguće! Nemojmo ga stavljati u staru kutiju i odmah pređimo na prvorazredni zadatak:

Obračun od tačke do ravni

Šta nam je potrebno da izvršimo ovaj zadatak?

1. Koordinatne tačke

Od tada, čim oduzmemo sve potrebne podatke, stavljamo formulu:

Kako ću biti izjednačen sa stanom, to se već vidi iz prednjih zgrada, kako sam razabrao iz prošlog dijela. Pređimo na posao prije sutra. Šema je uvredljiva: 1, 2 - pomažem vam da to dokažete, štaviše, da to prijavite, 3, 4 - samo mišljenje, sami donosite odluke i dokazujete. Počni!

Menadžer:

1. Danijum kocka. Dovžina rebra kocke su stara. Pronađite-dí-te ruže-sto-i-nya u se-re-dí-ni víd-ríz-ka do ravnog do-stí

2. Dana je velika-vílna che-ti-rekh-vugíl-on pi-ra-mi-yes. Znaj-dí-te ruže-sto-I vid mrlja do ravne kosti de-se-re-dí-na rebrima.

3. Desni-vil-noi trikutnoy pi-ra-mi-de z os-no-va-ní-êm ima jedno rebro, a sto-ro-na os-no-vanya je dorívnyuê. Znaj-dí-te ruže-sto-I-nya od vrha do stana.

4. Ispravna šestougla nagrada jednaka je svim rebrima. Know-dí-te vídstan víd pokazuje na ravan.

Rješenje:

1. Mala kocka sa pojedinačnim rebrima, biće to krst te ravni, sredina šine je značajna sa slovom

Pogledajmo legendu: znamo koordinate tačke. Bo (pogodite koordinate sredine vjetra!)

Sada sabiramo poravnanje područja za tri tačke

\[\lijevo| (\begin(niz)(*(20)(c))x&0&1\y&1&0\z&1&1\end(niz)) \right| = 0\]

Sada mogu da nastavim sa potragom za odgovorom:

2. Počinjemo iznova od stolice, na kojoj se poklanjaju svi pokloni!

Za piramidu, to bi bila predivno ofarbana baza.

Navedi da šapom vučem kao okidač, nije nam lako prekršiti zadatak!

Sada je lako znati koordinate tačaka

Oskílki koordinatne tačke, dakle

2. Oskílki koordinate točke a - sredina vídrízka, zatim

Bez problema znamo koordinate dvije tačke na ravni. Zbrajamo ravnost područja i, jednostavno, jogu:

\[\lijevo| (\levo| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\z&0&(\frac( ( \sqrt 3 ))(2))\end(niz)) \right|) \right| = 0\]

Tačka Oskílki može koordinirati: , tada možemo izračunati broj:

Vidpovid (duzhe rídkísna!):

Pa, šta, jesi li dobio? Pretpostavljam da je ovdje tako tehnicno, kao u tihim guzicima, sto smo vidjeli kod vas u prednjem dijelu. Tako da mi je žao, jer vas je ovaj materijal oklevetao, onda vam nije važno da zapišete dva zadatka koja ste izgubili. Dat ću vam još savjeta:

Obračun u liniji u pravoj liniji do stana

Nema tu zaista ništa novo. Kako možeš da ispraviš taj stan jedan po jedan? Imaju sve mogućnosti: da se preokrenu, inače je pravo paralelno sa ravninom. Kako mislite, koji je najbolji način da idete pravo do stana, sa kojom pravom linijom preći? Pretpostavljam da je ovdje jasno da tako nešto vrijedi nula. Nesíkaviy drop.

Još jedan zaokret je nezgodan: već postoji jedan koji nije nula. Međutim, krhotine su ravne paralelne s ravninom, tada je tačka kože ravne linije jednako udaljena od ravnine:

na ovaj način:

A to znači da je moj zadatak išao napred: možemo gledati koordinate bilo koje tačke na pravoj liniji, možemo pogledati ravan ravni, možemo izračunati tačke od tačke do ravni. Zaista, takvi zadaci u EDI-ju se rijetko čuju u regionu. Bio sam daleko da znam samo jedan zadatak, a onda su podaci u novom bili takvi da metoda koordinata prije toga više nije stagnirala!

Sada pređimo na drugu, bogato važnu klasu zadataka:

Izračunavanje tačaka na pravu liniju

Šta nam treba?

1. Koordinate tačke, kao što vidimo:

2. Koordinate bilo koje tačke koja leži na pravoj liniji

3. Koordinate direktnog vektora prave linije

Kako popraviti formulu?

Šta znači zastava ovog kadra, pa može biti jasno: glava direktnog vektora prave linije. Ovdje je lukav broj! Viraz znači modul (dovžina) vektorskog kreiranja vektora, a Kako izračunati vektor vitvera, zavrtili smo s vama na prednjem dijelu robota. Osvježite svoje znanje, moramo smrdi odjednom!

U ovom rangu će doći algoritam za razdvajanje zadataka:

1. Shukaêmo koordinate tačke, za koju se šalimo:

2. Shukaêmo koordinira bilo koju tačku na pravoj liniji, do koje shukâêmo idemo:

3. Budite vektor

4. To će biti direktni vektor

5. Izračunavanje vektorske TV

6. Shukaêmo dozhina otrimenny vektor:

7. Izračunavanje broja:

Imamo puno robota, ali zadnjice će biti prilično sklopive! Zato uzmite svo poštovanje!

1. Dana pra-vílna trikutna pí-ra-mi-yes sa ver-shi-noy. Sto-ro-na os-no-va-nya pi-ra-mi-di dorívnyuê, vi-so-ta dorívnyuê. Znaj-dí-te ruže-sto-i-nya u se-re-dí-nee-bo-ko-go-th rebru do prave linije, de tačke i - se-re-dí-bez rebara i zí- víd-víd- stven-ali.

2. Dovzhini rebra i ravno-vugíl-no-go parale-le-le-pí-pe-da su jednaki co-víd-vet-stvo-ali í Nay-dí-te ras-st-i-ny víd ver-shi -nema na ravno

3. Kod desno-divlja šesta-vuhilna nagrada, sve ivice su jednake, nađi-di-te ruže-stoje od tačke do prave linije

Rješenje:

1. Robimo je tačnija stolica, na kojoj su dodijeljeni svi podaci:

Roboti kod nas su bezlični! Želim ukratko riječima opisati šta možemo reći redom:

1. Koordinatna tačka

2. Koordinatne tačke

3. Koordinatna tačka

4. Koordinate vektora i

5. Vaš vektorski TV

6. Dovžina vektor

7. Kreiranje vektora Dovžina

8. Sačekajte dok

Pa, pa, roboti mi maêmo chimalo! Mi je preuzimamo, zasukali rukave!

1. Da bismo znali koordinate visine piramide, moramo znati koordinate tačke Eye applique na nulu, a ordinatu na apscisu í̈í do vrha vídrízke. Preostalo, oduzeo koordinate:

Koordinate tačke

2. - sredina reza

3. - sredina reza

Sredina vídrízka

4.Koordinate

Vektorske koordinate

5. Izračunavanje vektorske TV:

6. Dovžina vektora: najjednostavnije je zamijeniti, što je srednja linija trikota, također u srednjoj polovini baze. Pa šta.

7. Draga kreacija vektora:

8. Nareshti, znamo da treba da:

Vau, to je sve! Iskreno ću vam reći: izvršenje zadatka koji je izveden tradicionalnim metodama (putem nagoveštaja) bilo bi bogatije. Natomist evo pozivam sve na gotov algoritam! Mislim da jeste, koji je algoritam tvoje mudrosti? Stoga ću vas zamoliti da sami napišete dva zadatka. Porivniaemo vídpovidí?

Pa, opet ću ponoviti: lakše je (slađe) to vidjeti kroz promptu, a ne ulaziti u koordinatni metod. Pokazao sam takav način da se ne radi ništa više nego da vam pokažem univerzalnu metodu koja vam omogućava da "ništa ne dobijete".

Nareshti, pogledajmo ostatak odeljenskog starešine:

Izračunavanje broja puta između pravih linija koje treba preći

Ovdje će algoritam za rješavanje problema biti sličan prethodnom. šta imamo:

3. Da li postoji vektor koji povezuje tačke prve i druge prave:

Kako se šalimo o tome da stojimo između pravih linija?

Formula je:

Chiselnik - cijeli modul mješovite kreacije (moj yogo je uveden u prednji dio), a baner - kao i u prednjoj formuli (modul kreiranja vektora direktnih ravnih vektora, stanite između njih sa vama).

Reći ću ti šta

takođe formula za pogled se može ponovo napisati u pogledu:

Takav sobí vyznachnik diliti na vyznachnik! Želim, iskreno, nisam dorastao ovdje! Tsya formula je zaista prilično glomazna i dovesti je do sklopivog proračuna. Ja bih na tvom mjestu prije nje pao u ekstremnu depresiju!

Pokušajmo vyrishiti kílka zavdan, vikoristovuyuchi i više metoda:

1. Na desnom-vil-noy trikutnoy prize-mí, sva rebra su kao nešto jednako, znate udaljenost između pravih linija.

2. Dana je desno-divlja trikutna priz-ma sva rebra os-no-va-nesto jednako Se-che-nie, prolazi kroz bocno rebro i se-re-di- dobro, rebra su quad-ra-tom . Nađi-di-te ruže-sto-I-nya mízh ravno-mi-mi i

Ja ga varam, a spiralno na njemu, ti varaš prijatelja!

1. Mislim na malu prizmu ravno

Koordinate tačke C: todi

Koordinate tačke

Vektorske koordinate

Koordinate tačke

Vektorske koordinate

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1))) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(niz)(*(20)(l))(\begin(niz)(*(20)(c))0&1&0\end(niz))\\(\begin(niz)(*(20) (c))0&0&1\end(niz))\(\begin(niz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) ( 2))&1\kraj(niz))\kraj(niz)) \desno| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Molimo, vektor TV između vektora koji

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(niz)(l)\begin(niz)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(niz)\\\begin(niz )(*(20)(c))0&0&1\end(niz)\\\begin(niz)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\kraj(niz)\kraj(niz) \desno| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Sada rahuemo yogo dozhina:

prijedlog:

Sada pokušajte pažljivo vikonati prijatelja zavdannya. Vídpoviddu neí̈: .