Nabrajanje privatnih sličnih je drugačijeg reda. Privatni praznici su drugačijeg reda. Upoznajte privatne događaje sami, a zatim potražite rješenje

Neka je data funkcija dvije promjene. Argumentu dajemo povećanje, ali argument je previše nepromjenjiv. Ista funkcija uklanja povećanje, jer se naziva privatnim povećanjem za promjenu i dodjeljuje se:

Slično, fiksirajući argument i dajući prirast argumentu, oduzimamo privatno povećanje funkcije iza promjene:

Vrijednost se naziva najveći porast funkcije u bodovima.

Imenovanje 4. Privatna funkcija dvije promjenjive se poziva između promjene privatnog povećanja funkcije do promjene date promjene, ako ostane ostatak nule (tj. granica). Privatno se označava ovako: ili, ili.

U ovom rangu, za imenovanog gradonačelnika:

Privatne funkcije se računaju po samim pravilima i formulama, kao da je funkcija ista promjena, zaštićena je od svoje, koja se razlikuje promjenom, bitno je da bude konstantna, a kada se diferencira promjenom, ona važno je popraviti.

Primjer 3. Upoznajte privatne zabavne funkcije:

Rješenje. a) Da bismo znali važnu konstantnu vrijednost tog diferencijala kao funkciju jedne varijable:

Slično, s obzirom na konstantnu vrijednost, znamo:

Imenovanje 5. Ukupni diferencijal funkcije je zbir stvaranja privatnih sličnih funkcija na povećanje nezavisnih nezavisnih, tobto.

Osvrćući se na činjenicu da diferencijali nezavisnih promjena rastu sa svojim priraštajima, tj. , formula za ukupni diferencijal se može napisati u obliku

Primjer 4. Izračunajte konačni diferencijal funkcije.

Rješenje. Oskílki iza formule ukupnog diferencijala je poznat

Privatni praznici najvišeg reda

Privatni praznici nazivaju se privatni praznici prvog reda ili prvi privatni praznici.

Imenovanja 6. Privatne funkcije drugog reda nazivaju se privatne funkcije prvog reda.

Privatni čotiri drugog reda. Vonovi se označavaju kako slijedi:

Slično se dodjeljuju privatni gubici 3., 4. i višeg reda. Na primjer, za funkciju može:

Privatni praznici različitog reda, uzeti iz različitih promjena, nazivaju se promijenjenim privatnim praznicima. Za funkciju ê pokhídní. Za poštovanje je što ste raspoloženi, ako tečno govorite bez prekida, ima mjesta za ljubomoru.

Primjer 5. Promijenite privatne funkcije drugim redoslijedom

Rješenje. Privatne funkcije prvog reda pronađene u aplikaciji 3:

Diferencijacija i promjena x i y, otrimamo

Virishuvati probleme fizike ili primijeniti matematiku je apsolutno nemoguće bez znanja o toj metodi proračuna. Pokhídna je jedan od najvažnijih za razumijevanje matematičke analize. Odlučili smo da ovu temeljnu temu posvetimo današnjem članku. Šta je tako loše, kakva fizička i geometrijska promjena, kako pokvariti dobru funkciju? Svi obroci se mogu uzeti u jednom: kako da razumem kako da idem?

Geometrijski i fizički smisao sličan

Hajde, funkcija f(x) , dat je u intervalu pjevanja (a,b) . Tačke x i x0 leže do th intervala. Prilikom promjene x mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u vrijednosti joge x-x0 . Kakva razlika je evidentirana kao delta x i naziva se veći argument. Promjena ili povećanje funkcije naziva se razlika u vrijednosti funkcije u dvije točke. Zakazivanje putovanja:

Pokhídna funktsíí̈ y tačka - između povećanja funkcije u tački tsíy do argumenta zbílshennya, ako je ostatak jednak nuli.

Inače, možete to napisati ovako:

Kakav je smisao takve granice? A os je jaki:

slično funkciji u tački, tangenta kuta između tačaka OX je slična grafu funkcije u tački tsij.

Fizički osjećaj dana: pokhídna staze za sat vremena dorovnyuê shvidkostí pravolinijski ruhu.

Definitivno, iz školskih sati možemo vidjeti da je švedski jezik privatan put. x=f(t) tog sata t . Prosječna brzina za jedan sat:

Schob da prepozna sigurnost jurnjave u trenutku sata t0 potrebno je izračunati između:

Prvo pravilo: krivite konstantu

Za loš znak se može okriviti konstanta. Više od toga - zahtijeva rad. Kada vyrishenny primijenjena matematika uzima kao pravilo - kako možeš pitati viraz, obov'azkovo pitati .

guza. Izračunajmo cijenu:

Pravilo prijatelju: Pokhídna sumi funktsíy

Pokhídna sumi dvoh funktsíy dorivnyuê sumí pokhídnih tsikh funktsíy. Isto vrijedi i za slične maloprodajne funkcije.

Ne sugerira dokaz teoreme, već praktičan primjer.

Znati povezane funkcije:

Pravilo tri: loš rad funkcija

Pokhídna kreira dvije funkcije koje se razlikuju, izračunate po formuli:

Primjer: znati sljedeće funkcije:

Rješenje:

Ovdje je važno reći o broju preklapajućih sličnih funkcija. Pokhídna foldable funkcija je skuplja da dopuni pokhídnoí̈ tsíêí̈ funktsííí̈ iza srednjeg argumenta na gore od srednjeg argumenta iza nezavisne promjene.

Sa stanovišta, primjena mi zustríchaêmo viraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x za peti korak. Da bi se izračunala cijena takve viraze, važno je izračunati vrijednost vanjske funkcije za međuargument, a zatim pomnožiti s vrijednošću neposrednog argumenta za nezavisnu promjenu.

Četvrto pravilo: slično kao privatne dvije funkcije

Formula za odabir sličnog dijela dvije funkcije:

Pokušali smo da vam ispričamo o praznicima za čajnike od nule. Ova tema nije tako jednostavna, ispostavilo se da je moguće: guzice često imaju tjesteninu na guzi, pa budite oprezni kada ih brojite.

Iz nekog razloga, za druge teme, možete se obratiti studentskoj službi. Kratkoročno ćemo vam pomoći da sastavite kontrolnu listu i sredite zadatke, tako da se nismo ranije bavili obračunom zadnjih.

Pogledajmo funkciju na dva načina:

Dijelovi promjene $x$ i $y$ su nezavisni, za takvu funkciju moguće je pružiti razumijevanje privatnih informacija:

Privatna funkcija $f$ u tački $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \desno)$ za promjenu $x$ -

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \desno))(\Delta x)\]

Na isti način možete dodijeliti privatnu naknadu za promjenu od $y$:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \desno))(\Delta y)\]

Drugim rečima, da bi se poznavale privatne funkcije neke promene, potrebno je utvrditi odluku o promeni, krím shukanoí̈, i tada ćemo znati zvichaynu pokhídna za cenu promene.

Zvuči kao glavni trik za brojanje takvih loših: samo uzmite u obzir da se sve mijenja, krym tsíêí̈, ê konstanta, nakon čega diferencirajte funkciju tako da biste razlikovali „jedninu“ - od jedne zminnoy. Na primjer:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) ) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& ( ( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^( \ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$

Očigledno je da je normalno davati privatne praznike iz različitih promjena. Zašto je važnije razumjeti, zašto nam je, recimo, u prvom mirno naplaćeno $10y $ z-pid lošeg znaka, a u drugom - nulirali smo prvi dodatak. Sve je koncipirano kroz one da se sva slova, krím zminnoi, za neku vrstu diferencijacije, poštuju konstantama: mogu se kriviti, pljuvati itd.

Šta je "privatna zabava"?

Danas ćemo govoriti o funkcijama nekoliko mjenjača i o privatnim praznicima u njima. Prije svega, koja je funkcija nekoliko zamjena? Dosi mi je pozvao da promijeni funkciju poput $y\left(x \right)$ ili $t\left(x \right)$, u suprotnom promijeni tu jednu jedinu funkciju u njoj. Sada će u nama biti samo jedna funkcija, a doći će i do promjene papaline. Ako promijenite $y$ i $x$ vrijednost funkcije će se promijeniti. Na primjer, ako se $x$ dvaput poveća, vrijednost funkcije se mijenja, ako se promijeni $x$, ali se $y$ ne promijeni, vrijednost funkcije se mijenja sama.

Razumjelo se da se funkcija u obliku većeg broja varijabli, baš kao i u jednoj od varijabli, može diferencirati. Međutim, oskílki zmínnykh kílka, tada je moguće razlikovati od različitih zmínnyh. Kome se okrivljuju konkretna pravila, koja su ista kada se razlikuje jedna promjena.

Prvo za sve, ako želimo da izgubimo funkcije, ako smo nekako promjenjivi, onda smo sami krivi, za kakvu promjenu treba da napustimo - zato se to zove privatni nered. Na primjer, imamo dvije različite funkcije, i možemo popraviti í̈í̈ kao $x$, tako da su $y$ dvije privatne koje su slične skinu zminnyh.

Na drugi način, ako smo jednu promjenu popravili i nakon nje počnemo privatno poštovati, onda se sve ostalo što ulazi u funkciju poštuje konstantama. Na primjer, $z\left(xy \right)$, pošto nam je važno da privatno šetamo oko $x$, onda nam je, škiljeći, polujednostavno $y$, važno da budemo konstanta i da budemo tretirani sami kao konstanta. Zokrema, kod brojanja loših stvari možemo kriviti $y$ za okove (imamo konstantu), ali kada računamo loš novac, kao što imamo ovdje, to je kao virus da osveti $y$ a ne osveti $x$, onda je dobro virazu dorivnyuvatime "nula" kao dobra konstanta.

Na prvi pogled, možete se izvući što vam pričam o tome na presavijeni način, a mnogi učenici zalutaju na klip. Među privatnima nema ničeg natprirodnog, a mi se mijenjamo na osnovu konkretnih zadataka.

Odgovoran za radikale i bogate članove

Menadžer br. 1

Jecaj da ne gubimo sat vremena, od samog klipa počećemo sa ozbiljnim guzicima.

Za početak, pretpostavljam sljedeću formulu:

Ovo je standardna vrednost tabele, kao što znamo iz standardnog kursa.

Dobro je da neko koristi $z$ ovako:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Ajmo još jednom, krhotine ispod korijena koštaju ne $x$, nego neki drugi vir, u ovom slučaju $\frac(y)(x)$, onda ubrzavamo standardne tablične vrijednosti, a zatim, krhotine ispod korijeni ne koštaju $x $, a drugi viraz, potrebno je da pomnožimo naše troškove za još jedan viraz za drugi viraz. Počnimo gaziti na klip:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot xy\cdot 1)(((x)^(2) ) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Okrenimo se našem virazu i zapišimo:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \desno)\]

Sve je u principu. Međutim, pogrešno je ostaviti njenu u takvom izgledu: nije zgodno pobijediti takvu konstrukciju za one daleke, pa hajde da učinimo sitnicu:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Vidpovid pronađen. Sada se pozabavimo $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Vipishemo okremo:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot xy\cdot 0)(((x)^(2) ) )=\frac(1)(x)\]

Sada pišemo:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Sve je razbijeno.

Menadžer br. 2

Ova zadnjica je istovremeno jednostavnija i sklopiva, niže naprijed. Više sklopivi, na to ima više akcije ovdje, ali jednostavnije, na to ovdje nema korijena, štoviše, funkcija je simetrična na $x$ i $y$, tobto. Kako pamtimo $x$ i $y$ kao misije, čini se da se formula ne mijenja. To poštovanje je moralo biti oprošteno zbog plaćanja privatnih troškova, tobto. Dovoljno je da oštetite jednu od njih, a u drugoj samo zapamtite $x$ i $y$ četkicama.

Da pređemo na stvar:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy))(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \ desno ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+ ( (y)^(2))+1 \desno)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))\]

Hajde da se uzbudimo:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Prote bogato nauči takav zapis neznanja, os ćemo zapisati ovako:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\levo(y \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

U ovom rangu još jednom prelazimo na univerzalnost algoritma privatnih rođaka: njima nije bilo stalo do njih, ako su sva pravila ispravno postavljena, bit ćete sami.

Sada pogledajmo još jedan privatni trik naše sjajne formule:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \desno))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Pretpostavimo da oduzimamo ovisnost o našoj formuli i oduzimamo je:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ desno)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno)-xy\cdot 2x)(((\left((( ( x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \desno))((\ lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \desno))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2 )))\]

$x$ je vraćen. A da bismo popravili $y$ u istom virazu, nemojmo vikonuvati sve iste sekvence diy-a, već radije sa simetrijom našeg živopisnog viraza - samo zamijenimo u našem živopisnom virazu sve $y$ sa $x$ i navpak :

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \desno))((( ( \levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))\]

Za rahunok simetrije, hvalili su cijeli viraz bogato shvidshe.

nijansa trešnja

Za privatne se koriste sve standardne formule, što je najbolje za privatne, ali isto važi i za privatnu. Ovim, međutim, okrivljuju svoje specifične karakteristike: ako poštujemo $x$ privatno, onda ako uzmemo íí̈ za $x$, onda to smatramo konstantom, a tome je íí slična skupljoj „nuli“ .

Kao i u isto vrijeme sa najznačajnijim pokhídnymi, privatnim (jednom te istom) možete pokvariti kílkom na različite načine. Na primjer, ista konstrukcija, koja je tako dobro pozdravljena, može se prepisati ovako:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Odjednom o onima, s druge strane, možete pobijediti formulu u obliku slučajne sume. Kao što znamo, ima i skupljih suma mrtvih. Na primjer, napišimo ovo:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Sada, znajući sve, pokušajmo da se poboljšamo ozbiljnijim upotrebama, krhotine pravih privatnih trikova nisu okružene više od bogatih pojmova i korijena: tu se koriste trigonometrija, logaritmi i funkcije prikaza. A sad da se zaposlimo.

Zadatak sa trigonometrijskim funkcijama i logaritmima

Menadžer br. 1

Pišemo sljedeće standardne formule:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Nakon što smo savladali ovo znanje, pokušajmo stihovati:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Okremo napiši jednu promjenu:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Okrenite se našem dizajnu:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Svi znamo za $x$, a sada pređimo na izračunavanje $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Pa znam, bojim se jedan viraz:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \desno)\]

Hajde da se okrenemo kraju dana i nastavimo da vidimo:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Sve je razbijeno.

Menadžer br. 2

Zapišimo formulu koja nam je potrebna:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Sada mi je žao za $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Pronađeno za $x$. Važno za $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Zadatak je završen.

nijansa trešnja

Kasnije, s obzirom na to da funkcije nisu preuzete privatno, pravila se zamenjuju istim, bez obzira da li rade sa trigonometrijom, sa korenima ili sa logaritmima.

Klasična pravila rada uvijek se zamjenjuju standardnim, a ujedno i zbir maloprodajnih, privatnih i sklopivih funkcija.

Ostatak formule najčešće se objašnjava na kraju dana kada se sastanak završi sa privatnim praznicima. Mi zustríchaêmosya s njima praktički skríz. Još nije bilo gradskog menadžera, da ne izađemo. Ali ako se nismo mučili sa formulom, ipak imamo još jednu korist, a za sebe posebnost rada sa privatnim šetnjama. Tako da popravimo jednu promjenu, linije su konstante. Zocrema, pošto poštujemo privatno izgubljenu virazu $\cos \frac(x)(y)$ $y$, onda se sam $y$ mijenja, a $x$ se prepisuje konstantom. Ista praksa i navpaki. Može se kriviti za loš znak, ali loše jer je sama konstanta više kao "nula".

Sve treba dovesti do toga da privatni izgledi jednog te istog viraza, ali iz različitih promjena mogu izgledati drugačije. Na primjer, diveći se takvom viraziju:

\[((\left(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Zadatak s pokaznim funkcijama i logaritmima

Menadžer br. 1

Zapišimo sljedeću formulu:

\[((\left(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Znajući ovu činjenicu, kao i sklopive funkcije, možemo pokušati uplašiti. Vjerujem na dva različita načina odjednom. Prvi i najočitiji je trošak rada:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Pogledajmo ovaj viraz:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot yx .(((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot yx\cdot 0)((((y)^(2) )) =\frac(y)((((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Hajde da se okrenemo našem dizajnu i nastavimo da ga vidimo:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left( 1 +\frac(1)(y)\right)\]

Sve, $x$ je pokriveno.

Međutim, kao što sam rekao, istovremeno ćemo pokušati da zaštitimo moju privatnost na drugačiji način. Za koga uz poštovanje:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Zapisujemo to ovako:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y ) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) ) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

Kao rezultat toga, oduzeli smo isti iznos novca, a štićenik je naplaćen kao manji. Za koga da završite na veliko zapamtite da kada završite emisiju, možete zbrajati.

Sada mi je žao zbog $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Hajde da zapevamo jedan viraz okremo:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot yx \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)((((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Prodajemo verziju našeg vanjskog dizajna:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Palo mi je na pamet da sam mogao da zalutam na drugi način, i sam bih ovako izgledao.

Menadžer br. 2

Jebi se za $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

Zaustavimo jedan viraz okremo:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)(( ((x)^(2))+y)\]

Prodato rješenje eksterijera: $$

Osa je tako jasna.

Izgubljeno za analogiju koju treba znati po $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \desno)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \desno) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Jedan viraz, ok je, kao zavzhdi okremo:

\[((\left(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Prodovzhuêmo viríshennya glavnog dizajna:

Sve je pokriveno. Kao bahit, ugar, u zavisnosti od toga kako se promjena uzima za diferencijaciju, izlaze potpuno različiti.

nijansa trešnja

Os je odličan primjer kako se jedna te ista funkcija može koristiti na dva različita načina. Osa za čudo:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y)))) )\ lijevo(1+\frac(1)(y) \desno)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \desno)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \desno)\ ]

Prilikom odabira različitih staza računica bi mogla biti drugačija, ali ako je tačno, sve je urađeno kako treba, vidjet ćemo na isti način. Cijene su dostojne klasičnih, a privatne onih kasnijih. Pogodit ću opet od koga: ugar je, onako, kakva promjena, uzeću dobru, to je to. diferencijacija, vídpovíd može vyyti zovsím raznoyu. Marvel:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(( (( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(( ((x)^(2))+y)\cdot 1\]

Nasamkineti za pričvršćivanje cijelog materijala, pokušajmo popraviti dva kundaka.

Zadatak s trigonometrijskom funkcijom i funkcijom s tri promjene

Menadžer br. 1

Napišimo ove formule:

\[((\left(((a)^(x)) \desno))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Hajdemo sada da virišujemo naš viraz:

\[(((z)")_(x))=((\left((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Okremo porahuemo takav dizajn:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ lijevo(\sin y \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Prodovzhuêmo virishuvati vihídny viraz:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Ovo je preostali iznos privatne promjene $x$. Sada mi je žao zbog $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Virishimo one viraz okremo:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ lijevo(\sin y \desno))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Virishuemo do kraja našeg dizajna:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Menadžer br. 2

Na prvi pogled, ova zadnjica se može sklopiti, jer postoje tri izmjene. Zaista, to je jedan od najjednostavnijih zadataka za današnju video turneju.

Poznat po $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \desno))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ) ^(z)) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) ) )) \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Sada pogledajmo $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \desno))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ) ((e)^(z)) \desno))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \desno))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Znali smo istinu.

Sada je previše znati $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \desno))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \desno))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Pohvalili smo treću pohidnu, na kojoj je ponovo završena vizija drugog zadatka.

nijansa trešnja

Kao bahit, u ova dva kundaka se ništa ne sklapa. Jedina stvar, zašto smo zabrljali, to je zato što su sklopive funkcije često ustajale i ustajale, pošto smo privatno stidljivi, moraćemo da se menjamo u zavisnosti od situacije.

U ostatku zadatka od nas je zatraženo da razradimo funkcije tri različite. Nema ništa strašno u tsomu, prote naprikintsí mi su se raskrstili, taj smrad je jedna vrsta i potpuno je iritiran.

Ključni momenti

Ostatak vysnovki iz današnje video lekcije je sljedeći:

Privatni troškovi se uzimaju u obzir kao takvi, kao da su bitni, da bi se privatni troškovi uzeli u obzir po jednoj promjeni, odlučujući o svim promjenama koje su uključene u ovu funkciju, uzimamo ih kao konstante.
Pratsyyuyuchi s privatnim pokhídnymi vikoristovuêmo tí sami standardnim formulama, yak í z znichnym pokhídnymi: suma, raznitsyu, pokhídnu create í private í, zrozumílo, pokhídnu sklopive funkcije.

Očigledno, gledanje jedne video lekcije nije dovoljno, da bih mogao ponovo da proširim ovu temu, tako da odjednom na mom sajtu, pre ovog videa, postoji set zadataka posvećenih današnjoj temi - uđite, zavantažite, virišujte tsí avdannya i stupite u kontakt. Uostalom, nećete imati nikakvih svakodnevnih problema od privatnih poput spavanja ili samostalnog rada. Očigledno, ovo je daleko od posljednje lekcije iz moderne matematike, stoga idite na našu web stranicu, dodajte VKontakte, pretplatite se na YouTube, lajkujte i pratite nas!

Privatni praznici ostaju na čelu funkcija malog broja ljudi. Pravila značajnosti su potpuno ista kao i za funkcije jedne varijable, s jedinom razlikom što se jedan od tragova varijable uzima u obzir u trenutku diferencijacije konstantom (konstantnim brojem).

Formula

Privatni datumi za funkciju dvije varijable $ z (x, y) $ upisuju se u sljedećem izgledu $ z "_x, z"_ y $ i slijede formule:

Privatni praznici prve narudžbe

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Privatna putovanja drugačijim redoslijedom

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Zmishana je dobra

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Funkcija preklapanja za privatno skladište

a) Neka je $ z(t) = f(x(t), y(t)) $, tada će slične funkcije savijanja slijediti formulu:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$

b) Neka je $ z (u, v) = z(x(u, v), y(u, v)) $, a zatim ponovite sljedeće privatne funkcije nakon formule:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Privatni praznici implicitno definiraju funkcije

a) Neka je $ F(x,y(x)) = 0 $, tada je $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Neka je $ F (x, y, z) = 0 $, tada je $ $ z "_x = - \frac (F"_x) (F"_z); z "_y = - \ frac (F"_y) ( F"_z) $$

Nanesite rješenje

guza 1
Pronađite privatne vrijednosti prvog reda $z(x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10$
Rješenje
Za vrijednost privatne varijable u $ x $, koristit ćemo $ y $ kao konstantnu vrijednost (broj): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Za vrijednost privatne funkcije u odnosu na $ y $, $ y $ je značajno konstantom: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Ako se ne usuđujete prekinuti svoj zadatak, onda forsirajte jogu prije nas. Treba nam detaljnije rješenje. Možete saznati kako napreduje izračunavanje i oduzeti informacije. Tse dopomozhe svaki sat uzeti dvoranu iz vikladach!
Vidpovid
$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

guza 2
Pronađite privatne slične funkcije u drugom redu $ z = e ^ (xy) $
Rješenje
Istovremeno, potrebno je poznavati prvi korak, a zatim poznavajući ih možete znati korake drugog reda. Važna konstanta $ y $: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Stavimo sada $ x $ konstantnu vrijednost: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Poznavajući prvi pokhídní, slično poznajemo i druge. $ y $ instaliramo trajno: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot(xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Postavi $x$ konstantu: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Sada sam izgubio znanje o zmíshanu pokhídnu. Možete razlikovati $ z"_x $ u odnosu na $ y $, ili možete razlikovati $ z"_y $ u odnosu na $ x $, zbog teoreme $ z""_(xy) = z""_(yx ) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot(xy)"_y = yxe^(xy) $$
Vidpovid
$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

guza 4
Neka $ 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 = 0 $ stavi implicitnu funkciju $ F (x, y, z) = 0 $. Upoznajte privatne događaje prvog reda.
Rješenje
Zapisujemo funkciju u formatu: $F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0$ $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$
Vidpovid
$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Imenovanje 1.11 Neka se podesi funkcija dva izmjenjivača z=z(x,y), (x,y)D . Tačkasta, šarena M 0 (x 0 ;y 0 ) - unutrašnja tačka područja D .

Yakscho in D ê takav komšiluk UM 0 bodova M 0 , što za sve tačke

onda pokažite M 0 naziva se tačka lokalnog maksimuma. I značenje z(M 0 ) - lokalni maksimum.

A što se tiče svih tačaka

onda pokažite M 0 naziva se tačka lokalnog minimuma funkcije z(x,y) . I značenje z(M 0 ) - Lokalni minimum.

Lokalni maksimum i lokalni minimum nazivaju se lokalnim ekstremima funkcije z(x,y) . Na sl. 1.4 objašnjava geometrijsku promjenu lokalnog maksimuma: M 0 - ukazati na maksimum, na ono što je na površini z = z(x, y) jasna poenta C 0 znati više od bilo koje druge tačke C (koji ima maksimalan lokalitet).

S poštovanjem, na površini postoje tačke (npr. IN ), ako znate više C 0 , ale qi tačke (na primjer, IN ) nije "sudski" sa tačkom C 0 .

Zocrema, tačka IN potvrđuje razumijevanje globalnog maksimuma:

Slično, globalni minimum je određen:

Poznavanje globalnih maksimuma i minimuma biće razmatrano u paragrafu 1.10.

Teorema 1.3(Neophodan um do krajnosti).

Neka funkcija bude postavljena z = z (x, y), (x, y) D . Tačkasta, šarena M 0 (x 0 ;y 0 D - tačka lokalnog ekstremuma.

Šta imaš z" x і z" y , onda

Geometrijska potvrda je "očigledno". Šta je sledeće C 0 na (sl. 1.4) da nacrtate dotično ravnu površinu, tu "prirodno" prolaze horizontalno, tj. ispod haube 0° to axis Oh i na os OU .

Isto važi i za geometrijsku promjenu privatnih srodnika (slika 1.3):

šta je trebalo doneti.

Imenovanje 1.12.

Šta je sledeće M 0 pomislimo (1.41), onda se to naziva stacionarna tačka funkcije z (x, y) .

Teorema 1.4(Dovoljno um do ekstrema).

Da pitam z = z (x, y), (x, y) D , jer mogu postojati privatni događaji različitog reda u stvarnoj blizini tačke M 0 (x 0 ,y 0 )D . I zašto M 0 - Stacionarna tačka Izračunajmo: