Sia data la funzione di due cambiamenti. Diamo un aumento all'argomento, ma l'argomento è troppo invariabile. La stessa funzione rimuove l'aumento, in quanto viene chiamato aumento privato per la modifica e viene assegnato:

Allo stesso modo, fissando l'argomento e dando l'incremento all'argomento, togliamo l'aumento privato nella funzione dietro la modifica:

Il valore è chiamato il massimo aumento della funzione in punti.

Appuntamento 4. La funzione privata dei due mutevoli è chiamata tra il cambiamento dell'incremento privato della funzione fino al cambiamento del cambiamento dato, se rimane il resto dello zero (cioè il confine). È significato privatamente in questo modo: o, o.

In questo grado, per il sindaco nominato:

Le funzioni private sono calcolate secondo le stesse regole e formule, come se la funzione fosse la stessa modifica, fosse protetta dalla propria, che si differenzia dal cambiamento, è importante essere costante e, quando differenziata dal cambiamento, è importante essere riparati.

Esempio 3. Conoscere le funzioni di divertimento private:

Soluzione. a) Per conoscere l'importante valore costante di quel differenziale in funzione di una variabile:

Allo stesso modo, rispetto al valore costante, sappiamo:

Nomina 5. Il differenziale totale di una funzione è la somma delle realizzazioni di funzioni private simili sull'aumento di funzioni indipendenti indipendenti, tobto.

Guardando indietro al fatto che i differenziali dei cambiamenti indipendenti crescono con i loro incrementi, cioè. , la formula per il differenziale totale può essere scritta nella forma

Esempio 4. Calcolare il differenziale finale della funzione.

Soluzione. Oskіlki dietro la formula del differenziale totale è noto

Vacanze private di prim'ordine

Le vacanze private sono chiamate vacanze private di prim'ordine o prime vacanze private.

Nomine 6. Le funzioni private di ordine diverso sono dette funzioni private di primo ordine.

Chotiri privati ​​di un ordine diverso. I von sono designati come segue:

Allo stesso modo, vengono assegnate le perdite private del 3°, 4° e ordini superiori. Ad esempio, per la funzione può:

Le vacanze private di ordine diverso, ricavate da diverse modifiche, sono dette vacanze private modificate. Per la funzione є pokhіdnі. È rispettoso che tu sia dell'umore giusto, se parli fluentemente senza interruzioni, c'è spazio per la gelosia.

Esempio 5. Modificare le funzioni private in un ordine diverso

Soluzione. Funzioni private del primo ordine che si trovano nell'applicazione 3:

Differenziazione e modifica xey, otrimaemo

Virishuvati problemi di fisica o applicare la matematica è assolutamente impossibile senza la conoscenza di quel metodo di calcolo. Pokhіdna è uno dei più importanti per comprendere l'analisi matematica. Abbiamo deciso di dedicare questo argomento fondamentale all'articolo di oggi. Cosa c'è di così brutto, che tipo di cambiamento fisico e geometrico, come rovinare una buona funzione? Tutti i pasti si possono consumare in uno: come faccio a capire come andare?

Senso geometrico e fisico simili

Dai, funzione f(x) , è dato nell'intervallo di canto (a,b) . I punti x e x0 giacciono fino all'intervallo th. Quando si cambia x, la funzione stessa cambia. Cambio di argomento - differenza del valore dello yoga x-x0 . Quale differenza viene registrata come delta x ed è chiamato l'argomento maggiore. La modifica o l'aumento della funzione è chiamata differenza nel valore della funzione in due punti. Appuntamento di viaggio:

Pokhіdna funktsії y point - tra l'aumento della funzione al punto tsіy all'argomento zbіlshennya, se il resto è zero.

Altrimenti puoi scriverlo così:

Qual è il senso di un simile confine? E l'asse è yaki:

simile alla funzione nel punto, la tangente della kuta tra i punti OX è simile al grafico della funzione nel punto tsij.

Senso fisico della giornata: percorsi pokhіdna per un'ora dorovnyuє shvidkostі rettilineo ruhu.

Sicuramente, possiamo vedere dall'orario scolastico che la Svezia è una strada privata. x=f(t) quell'ora t . Velocità media per un'ora:

Schob per riconoscere la sicurezza della corsa al momento dell'ora t0 occorre calcolare tra:

Prima regola: incolpare la costante

La costante può essere accusata del cattivo segno. Più di questo: richiede lavoro. Quando vyrishenny ha applicato la matematica come regola - come puoi chiedere a viraz, obov'azkovo chiedi .

culo. Calcoliamo il costo:

Regola per un amico: Pokhіdna sumi funktsіy

Pokhіdna sumi dvoh funktsіy dorivnyuє sumі pokhіdnih tsikh funktsіy. Lo stesso vale per funzioni di vendita al dettaglio simili.

Non suggerisce una dimostrazione del teorema, ma piuttosto un esempio pratico.

Conoscere le funzioni correlate:

Regola del tre: cattivo lavoro delle funzioni

Pokhіdna crea due funzioni differenziate, calcolate dalla formula:

Esempio: conoscere le seguenti funzioni:

Soluzione:

Qui è importante parlare del numero di funzioni simili pieghevoli. La funzione pieghevole Pokhіdna è più costosa per integrare il pokhіdnoї tsієї funktsії dietro l'argomento intermedio al peggio dell'argomento intermedio dietro il cambiamento indipendente.

Dal punto di vista, l'applicazione di mi zustrіchaєmo viraz:

In questo caso, l'argomento intermedio è 8x per il quinto passaggio. Per calcolare il costo di una tale virase, è importante calcolare il valore della funzione esterna per l'argomento intermedio e quindi moltiplicare per il valore dell'argomento non intermedio per la modifica indipendente.

Regola quattro: simile alle due funzioni private

La formula per scegliere una parte simile di due funzioni:

Abbiamo provato a raccontarvi da zero le vacanze per le teiere. Questo argomento non è così semplice, a quanto pare è possibile: i mozziconi hanno spesso la pasta sui mozziconi, quindi fai attenzione quando conta quelli.

Per qualche motivo, per altri argomenti, puoi rivolgerti al servizio studenti. Per un breve periodo, ti aiuteremo a comporre la checklist e a risolvere i compiti, quindi non ci siamo occupati del calcolo degli ultimi prima.

Esaminiamo la funzione in due modi:

I frammenti di modifica $x$ e $y$ sono indipendenti, per tale funzione è possibile fornire una comprensione delle informazioni private:

Funzione privata $f$ al punto $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ per la modifica $x$ -

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]

Allo stesso modo, puoi assegnare una tariffa privata per un cambio di $y$:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \destra))(\Delta y)\]

In altre parole, per conoscere le funzioni private di alcuni dei cambiamenti, è necessario fissare la decisione del cambiamento, il crimine di shukano, e poi conosceremo lo zvichayna che si occuperà del prezzo del cambiamento .

Sembra il trucco principale per contare quelli così schifosi: tieni conto che tutto sta cambiando, krym tsієї, є costante, dopodiché differenzia la funzione in modo da differenziare il "singolare" - da uno zminnoy. Per esempio:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2 ) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& ( ( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^( \ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\fine(allineamento)$

È ovvio che è normale concedere ferie private da diverse modifiche. Perché è più importante capire, perché, diciamo, nel primo ci sono stati tranquillamente addebitati $ 10y$ s-pid di un brutto segno, e nell'altro - il primo è stato azzerato. Tutto è concepito attraverso quelle che tutte le lettere, krіm zminnoi, per una sorta di differenziazione, sono rispettate da costanti: possono essere incolpate, sputate, ecc.

Che cos'è il "divertimento privato"?

Oggi parleremo delle funzioni di alcuni cambiavalute e delle vacanze private in essi contenute. Innanzitutto, qual è la funzione di alcuni sostituti? Dosi mi ha chiamato per cambiare la funzione come $y\left(x \right)$ o $t\left(x \right)$, altrimenti cambia quella singola funzione al suo interno. Ora ci sarà solo una funzione in noi e ci sarà un cambio di spratto. Se modifichi $y$ e $x$, il valore della funzione cambierà. Ad esempio, se $x$ aumenta due volte, il valore della funzione cambia, se $x$ cambia, ma $y$ non cambia, il valore della funzione cambia.

Si è capito che la funzione sotto forma di un numero di variabili, proprio come in una delle variabili, può essere differenziata. Tuttavia, l'oskіlki zmіnnykh kіlka, quindi è possibile differenziare da diversi zmіnnyh. Per chi vengono incolpate regole specifiche, che sono le stesse quando si differenzia un cambiamento.

Prima di tutto, se vogliamo perdere le nostre funzioni, se siamo in qualche modo mutevoli, allora siamo responsabili del tipo di cambiamento che dovremmo lasciare - ecco perché si chiama pasticcio privato. Ad esempio, abbiamo una funzione di due diversi e possiamo correggere її come $x$, quindi $y$ sono due privati ​​simili alla skin di zminnyh.

In modo diverso, se abbiamo corretto uno degli zminnykh e iniziamo a rispettarlo privatamente, tutto il resto che entra nella funzione della funzione viene rispettato dalle costanti. Ad esempio, $z\left(xy \right)$, poiché è importante andare oltre $x$, quindi, strizzando gli occhi, semplicemente $y$, siamo importanti per essere una costante e per essere trattati da soli come una costante. Zokrema, quando contiamo le cose cattive, possiamo incolpare $y$ per il ceppo (abbiamo una costante), ma quando contiamo i soldi cattivi, come abbiamo fatto qui, è come un virus per vendicare $y$ e non $x$, allora è buono virazu dorivnyuvatime "zero" come una buona costante.

A prima vista, puoi evitare che te ne parli in modo ripiegato e molti studenti si allontanano sulla pannocchia. Non c'è nulla di soprannaturale tra quelli privati, e stiamo cambiando dal bersaglio di compiti specifici.

Responsabile dei radicali e dei membri ricchi

Gestore n. 1

Singhiozzo per non perdere un'ora, dalla pannocchia inizieremo con i mozziconi seri.

Per cominciare, immagino la seguente formula:

Questo è il valore della tabella standard, come sappiamo dal corso standard.

È bene che qualcuno usi $z$ in questo modo:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Ancora una volta, i frammenti sotto le radici non costano $x$, ma qualche altro viraz, in questo caso $\frac(y)(x)$, quindi acceleriamo i valori tabulari standard e quindi i frammenti sotto il le radici non costano $ x $ e un altro viraz, è necessario moltiplicare le nostre spese per un altro viraz per l'altro viraz. Iniziamo a calpestare la pannocchia:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac((((((y)"))_(x))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot xy\cdot 1)(((x)^(2) ) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Passiamo al nostro virazu e scriviamo:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

Tutto è in linea di principio. Tuttavia, è sbagliato lasciare її in un aspetto del genere: non è comodo battere una costruzione del genere per quelli lontani, quindi facciamolo in un attimo:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Vidpovid trovato. Ora affrontiamo $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Vipishemo okremo:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac((((((y)"))_(y))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot xy\cdot 0)(((x)^(2) ) )=\frac(1)(x)\]

Adesso scriviamo:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Tutto è in frantumi.

Gestore n. 2

Questo calcio è allo stesso tempo più semplice e pieghevole, più in basso in avanti. Più piegato, per il fatto che c'è più azione qui, ma più semplice, per il fatto che non c'è radice qui, inoltre, la funzione è simmetrica rispetto a $x$ e $y$, tobto. Poiché ricordiamo $x$ e $y$ come missioni, la formula non sembra cambiare. Questo rispetto doveva essere perdonato per il pagamento delle spese private, tobto. Basta danneggiarne uno, e nell'altro basta ricordare $x$ e $y$ con i pennelli.

Andiamo al dunque:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy))(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \ destra ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\sinistra(xy \destra))^(\prime ))_(x)\sinistra(((x)^(2))+ ( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Eccitiamoci:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Prote impara riccamente un tale record di ignoranza, annoteremo l'asse in questo modo:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

In questo rango, passiamo ancora una volta all'universalità dell'algoritmo dei parenti privati: a loro non importava, se tutte le regole sono impostate correttamente, sarai tu stesso.

Ora diamo un'occhiata a un altro trucco privato della nostra fantastica formula:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Supponiamo di togliere la dipendenza dalla nostra formula e di portarla via:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ destra)-xy((\sinistra(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \destra))^(\prime ))_(x))(((\sinistra (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \destra))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( ( x)^(2))+((y)^(2))+1 \destra))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ sinistra(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \destra))(((\sinistra(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \destra))^(2 )))\]

$x$ viene ripristinato. E per correggere $y$ nello stesso viraz, non vikonuvat tutta la stessa sequenza di diy, ma piuttosto con la simmetria del nostro vivid viraz - sostituiamo semplicemente nel nostro vivid viraz tutti $y$ con $x$ e navpak :

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( ( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Per il rahunok della simmetria, hanno elogiato l'intero viraz riccamente shvidshe.

sfumatura ciliegia

Per i privati ​​si usano tutte le formule standard, che è la migliore per i privati, ma lo stesso vale per quelli privati. Con questo, tuttavia, incolpano le loro caratteristiche specifiche: se rispettiamo $x$ in privato, allora se prendiamo її per $x$, allora lo consideriamo come una costante, e per questo її è simile al più costoso "zero" .

Come e allo stesso tempo con il pokhіdnymi più significativo, privato (uno e lo stesso) puoi rovinare un kіlkom in diversi modi. Ad esempio, la stessa costruzione, che è stata così ben applaudita, può essere riscritta così:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Immediatamente su quelli, dall'altra parte, puoi battere la formula sotto forma di somma casuale. Come sappiamo, ci sono somme più costose dei morti. Ad esempio, scriviamo questo:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Ora, sapendo tutto, proviamo a migliorare con usi più seri, i frammenti dei giusti trucchi privati ​​non sono circondati solo da termini e radici ricchi: lì si usano trigonometria, logaritmi e funzioni di visualizzazione. Ora diamoci da fare.

Compito con funzioni trigonometriche e logaritmi

Gestore n. 1

Scriviamo le seguenti formule standard:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Dopo aver padroneggiato questa conoscenza, proviamo a versi:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Okremo scrivi una modifica:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Passa al nostro design:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Sappiamo tutti di $x$, ora passiamo al calcolo di $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Bene, lo so, temo un viraz:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \destra)\]

Torniamo alla fine della giornata e continuiamo a vedere:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Tutto è in frantumi.

Gestore n. 2

Scriviamo la formula di cui abbiamo bisogno:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Ora mi dispiace per $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Trovato per $ x $. Importante per $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Il compito è finito.

sfumatura ciliegia

Successivamente, in considerazione del fatto che le funzioni non sono state prese privatamente, le regole vengono sovrascritte dalle stesse, indipendentemente dal fatto che funzionino con la trigonometria, con le radici o con i logaritmi.

Le regole classiche del lavoro sono sempre sostituite da quelle standard e, allo stesso tempo, la somma delle funzioni di vendita al dettaglio, privata e pieghevole.

Il resto della formula viene spesso spiegato alla fine della giornata, quando la giornata è finita con le vacanze private. Mi zustrіchaєmosya con loro praticamente skrіz. Non c'è ancora stato un city manager, quindi non usciamo. Ma se non ci dimeniamo con la formula, otteniamo comunque un beneficio in più, e per noi stessi, la particolarità del lavoro con le passeggiate private. Quindi fissiamo una modifica, le linee sono costanti. Zocrema, poiché rispettiamo la virasi perduta privatamente $\cos \frac(x)(y)$ $y$, quindi $y$ stesso viene modificato e $x$ viene sovrascritto con una costante. La stessa pratica e navpaki. Її può essere accusato del cattivo segno, ma è negativo poiché la costante stessa è più simile a "zero".

Tutto dovrebbe essere portato al punto che sguardi privati ​​dello stesso viraz, ma da modifiche diverse possono apparire in modo diverso. Ad esempio, meravigliarsi di un tale virazi:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Compito con funzioni dimostrative e logaritmi

Gestore n. 1

Scriviamo la seguente formula:

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Sapendo questo fatto, oltre alle funzioni pieghevoli, possiamo provare a spaventare. Credo in due modi diversi contemporaneamente. Il primo e più ovvio è il costo del lavoro:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Vediamo questo viraz:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot yx .(((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cpunto yx\cpunto 0)((((y)^(2) )) =\frac(y)((((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Passiamo al nostro design e continuiamo a vederlo:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left( 1 +\frac(1)(y)\destra)\]

Tutto, $x$ è coperto.

Tuttavia, come dicevo, allo stesso tempo cercheremo di proteggere la mia privacy in modo diverso. Per chi così rispettosamente:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Lo scriviamo così:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y ) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) ) )\cdot \sinistra(1+\frac(1)(y) \destra)\]

Di conseguenza, abbiamo portato via la stessa somma di denaro e il prote è stato addebitato come quello più piccolo. Per chi finisce il grosso ricorda che quando finisci lo spettacolo, puoi sommare.

Ora mi dispiace per $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Cantiamo un viraz okremo:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot yx \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)((((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Vendiamo la versione del nostro design esterno:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Mi sono reso conto che avrei potuto perdermi la strada in un altro modo, sarei stato anch'io così.

Gestore n. 2

Fanculo per $ x $:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Fermiamo un viraz okremo:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)(( ((x)^(2))+y)\]

Venduto soluzione di design esterno: $$

L'asse è così chiaro.

Perso per analogia da sapere per $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Un viraz, va bene, come uno zavzhdi okremo:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Prodovzhuєmo virіshennya main designії:

Tutto è coperto. Come una bachite, a maggese, a seconda di come viene preso il cambiamento per differenziazione, appaiono assolutamente diversi.

sfumatura ciliegia

L'asse è un ottimo esempio di come una stessa funzione può essere utilizzata in due modi diversi. Asse da meravigliarsi:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y)))) )\ sinistra(1+\frac(1)(y) \destra)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

Quando si scelgono percorsi diversi, il calcolo potrebbe essere diverso, ma se è vero, tutto è stato fatto correttamente, lo vedremo allo stesso modo. I prezzi sono degni di quelli classici e privati ​​di quelli successivi. Immagino ancora da chi: è incolto, è tipo, che cambiamento, ne prenderò uno buono, ecco. differenziazione, vіdpovіd può vyyti zovsіm raznoyu. Meraviglia:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(( (( x)^(2))+y)\cpunto 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(( ((x)^(2))+y)\cpunto 1\]

Nasamkinet per riparare tutto il materiale, proviamo a riparare due mozziconi.

Compito con una funzione trigonometrica e una funzione con tre modifiche

Gestore n. 1

Scriviamo queste formule:

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Ora virishuvate il nostro viraz:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Okremo porahuemo un tale disegno:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Prodovzhuєmo virishuvati vihіdny viraz:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Questo è l'importo residuo della modifica privata $x$. Ora mi dispiace per $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Virishimo uno viraz okremo:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Virishuemo alla fine del nostro design:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Gestore n. 2

A prima vista, questo calcio può essere piegato, perché ci sono tre modifiche. In effetti, è uno dei compiti più semplici per il video tour di oggi.

Conosciuto da $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ) ^(z)) \destra))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) ) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Ora diamo un'occhiata a $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ) ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left) (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Sapevamo la verità.

Ora è troppo da sapere $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cpunto ((e)^(z))\]

Abbiamo elogiato il terzo pokhidna, sul quale la visione di un altro compito è stata completata di nuovo.

sfumatura ciliegia

Come una bachite, non c'è nulla di pieghevole in questi due mozziconi. L'unica cosa, perché abbiamo incasinato, è nel fatto che le funzioni di piegatura sono spesso stagnanti e inattive, inoltre è privatamente divertente, dovremo cambiare a seconda della situazione.

Nel resto del compito, ci è stato chiesto di elaborare le funzioni di tre diversi. Non c'è niente di terribile in tsomu, prote naprikintsі mi sono incrociato, quel fetore è un tipo di uno ed è completamente irritante.

Momenti chiave

Il resto del vysnovki della video lezione di oggi è il seguente:

1. Le spese private vengono prese in considerazione come tali, come se fossero importanti, per tener conto delle spese private di una modifica, decidendo tutte le modifiche che sono incluse in questa funzione, le prendiamo come costanti.
2. Pratsyyuyuchi s pokhіdnymi vikoristovuєmo tі їmі formule standard, come і z il pokhіdnymi più importante: sum, raznitsyu, pokhіdnu creano і private і, zrozumіlo, pokhіdnu funzioni pieghevoli.

Ovviamente, rivedere una lezione video non è sufficiente, così posso espandere di nuovo questo argomento, quindi subito sul mio sito, prima di questo video, c'è una serie di attività dedicate proprio a questo argomento del giorno - entra, zavantazhyte , vypishuyte tsі zavdannya in vіryapovytes. Dopotutto, non avrai problemi quotidiani da quelli privati ​​come dormire o lavorare in modo indipendente. Ovviamente, questa è tutt'altro che l'ultima lezione di matematica moderna, quindi vai sul nostro sito Web, aggiungi VKontakte, iscriviti a YouTube, metti Mi piace e seguici!

Le vacanze private restano a capo delle funzioni di un piccolo numero di persone. Le regole di significatività sono esattamente le stesse delle funzioni di una variabile, con l'unica differenza che una delle tracce della variabile viene presa in considerazione al momento della differenziazione per una costante (numero costante).

Formula

Le date private per la funzione di due variabili $ z (x, y) $ vengono scritte nel prossimo look $ z "_x, z"_ y $ e seguono le formule:

Vacanze private primo ordine

$$ z"_x = \frac(\z parziale)(\x parziale) $$

$$ z"_y = \frac(\z parziale)(\y parziale) $$

Viaggi privati ​​in un ordine diverso

$$ z""_(xx) = \frac(\parziale^2 z)(\parziale x \parziale x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\parziale^2 z)(\parziale y \parziale y) $$

Zmishana è buona

$$ z""_(xy) = \frac(\parziale^2 z)(\parziale x \parziale y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\parziale^2 z)(\parziale y \parziale x) $$

Funzione pieghevole di archiviazione privata

a) Sia $ z(t) = f(x(t), y(t)) $, quindi funzioni di piegatura simili seguiranno la formula:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\z parziale)(\x parziale) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\z parziale)(\y parziale) \cdot \frac (dy)(dt) $$

b) Sia $ z (u, v) = z(x(u, v), y(u, v)) $, quindi ripeti le seguenti funzioni private dopo la formula:

$$ \frac(\z parziale)(\u parziale) = \frac(\z parziale)(\x parziale) \cdot \frac(\x parziale)(\u parziale) + \frac(\z parziale)( \parziale y) \cdot \frac(\parziale y)(\parziale u) $$

$$ \frac(\z parziale)(\v parziale) = \frac(\z parziale)(\x parziale) \cdot \frac(\x parziale)(\v parziale) + \frac(\z parziale)( \parziale y) \cdot \frac(\parziale y)(\parziale v) $$

Vacanze private funzioni definite in modo implicito

a) Sia $ F(x,y(x)) = 0 $, quindi $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Sia $ F (x, y, z) = 0 $, quindi $ $ z "_x = - \frac (F"_x) (F"_z); z "_y = - \ frac (F"_y) ( F"_z) $$

Applicare la soluzione

culo 1

Trova i valori privati ​​del primo ordine $z(x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10$

Soluzione

Per il valore di una variabile privata in $ x $, useremo $ y $ come valore costante (numero): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Per il valore di una funzione privata relativa a $ y $, $ y $ è significativo per una costante: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Se non hai il coraggio di interrompere il tuo compito, allora forza lo yoga prima di noi. Abbiamo bisogno di una soluzione più dettagliata. Puoi conoscere lo stato di avanzamento del calcolo e rimuovere le informazioni. Tse dopomozhe ogni ora prendi la sala dal vikladach!

Vidpovid

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

culo 2

Trova funzioni private simili in un ordine diverso $ z = e ^ (xy) $

Soluzione

Allo stesso tempo, è necessario conoscere i primi passaggi e poi conoscendoli, puoi conoscere i passaggi di un ordine diverso. Importante $ y $ costante: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Mettiamo ora $ x $ valore costante: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Conoscendo il primo pokhіdnі, allo stesso modo ne conosciamo altri. Installiamo $ y $ in modo permanente: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + y^(xy)\cdot(xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Imposta $ x $ costante: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Ora ho perso la conoscenza dello zmіshanu pokhіdnu. Puoi differenziare $ z"_x $ rispetto a $ y $, oppure puoi differenziare $ z"_y $ rispetto a $ x $, a causa del teorema $ z""_(xy) = z""_(yx ) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot(xy)"_y = yxe^(xy) $$

Vidpovid

$$ z"_x = si^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

culo 4

Sia $ 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 = 0 $ metti una funzione implicita $ F (x, y, z) = 0 $. Conoscere eventi privati ​​di prim'ordine.

Soluzione

Scriviamo la funzione nel formato: $F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0$ $$ z"_x (y,z - cost) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - cost) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Vidpovid

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Appuntamento 1.11 Si imposti la funzione di due variatori z=z(x,y), (x,y)D . Punto, screziato m 0 (X 0 ;y 0 ) - punto interno dell'area D .

Yakscho dentro D є un tale quartiere UM 0 punti m 0 , che per tutti i punti

quindi punta m 0 è detto punto di massimo locale. E il significato z(M 0 ) - massimo locale.

E come per tutti i punti

quindi punta m 0 è chiamato il punto del minimo locale della funzione z(x,y) . E il significato z(M 0 ) - Minimo locale.

Il massimo locale e il minimo locale sono detti estremi locali della funzione z(x,y) . Sulla fig. 1.4 spiega la variazione geometrica del massimo locale: m 0 - puntare al massimo, a ciò che c'è in superficie z = z(x, y) punto chiaro C 0 sapere più di ogni altro punto C (Che ha la località massima).

Rispettosamente, ci sono dei punti sulla superficie (ad esempio, A ), se ne sai di più C 0 , puntini ale qi (ad esempio, A ) non є "giudiziario" con un punto C 0 .

Zocrema, punto A conferma la comprensione del massimo globale:

Allo stesso modo, il minimo globale è determinato:

La conoscenza dei massimi e minimi globali sarà discussa nel paragrafo 1.10.

Teorema 1.3(Necessario mente l'estremo).

Lascia che la funzione sia impostata z = z (x, y), (x, y) D . Punto, screziato m 0 (X 0 ;y 0 D - punto dell'estremo locale.

Cosa hai z" X і z" y , poi

La conferma geometrica è "ovviamente". Qual è il prossimo C 0 su (Fig. 1.4) per disegnare un'area doticamente piatta, lì "naturalmente" passa orizzontalmente, cioè sotto il cofano 0° all'asse Oh io all'asse UO .

Lo stesso vale per un cambio geometrico dei parenti privati ​​(Fig. 1.3):

cosa era necessario portare.

Appuntamento 1.12.

Qual è il prossimo m 0 pensa (1.41), allora è chiamato il punto stazionario della funzione z (x, y) .

Teorema 1.4(mente sufficiente l'estremo).

Fammi chiedere z = z (x, y), (x, y) D , in quanto potrebbero verificarsi eventi privati ​​di ordine diverso nelle effettive vicinanze del punto m 0 (X 0 ,y 0 )D . E perché m 0 - Punto fermo Calcoliamo:

La dimostrazione del teorema vicorista da parte di quelli (formula di Taylor della funzione di un numero di variabili e teoria delle forme quadratiche), che non è considerata da nessun aiutante.

culo 1.13.

Vai all'estremo:

Soluzione

1. Conosciamo i punti stazionari che rompono il sistema (1.41):

quindi abbiamo trovato dei punti stazionari. 2.

dopo il Teorema 1.4, i punti hanno un minimo. E perché

secondo il Teorema 1.4 al punto

Massimo. E perché