Нехай функція невід'ємна та безперервна на відрізку. Тоді, згідно з геометричним змістом певного інтеграла, площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком цієї функції, знизу – віссю, ліворуч та праворуч – прямими і (див. рис. 2) обчислюється за формулою

Приклад 9.Знайти площу фігури, обмеженою лінією і віссю.

Рішення. Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вниз. Збудуємо її (рис. 3). Щоб визначити межі інтегрування, знайдемо точки перетину лінії (параболи) з віссю (прямий). Для цього вирішуємо систему рівнянь

Отримуємо: , звідки ; отже, , .

Рис. 3

Площа фігури знаходимо за формулою (5):

Якщо функція непозитивна і безперервна на відрізку , то площа криволінійної трапеції, обмеженої знизу графіком даної функції, зверху - віссю , ліворуч і праворуч - прямими і обчислюється за формулою

. (6)

У випадку, якщо функція безперервна на відрізку і змінює знак у кінцевому числі точок, то площа заштрихованої фігури дорівнює алгебраїчній сумі відповідних певних інтегралів:

Рис. 4

Приклад 10Обчислити площу фігури, обмеженою віссю та графіком функції при .

Рис. 5

Рішення. Зробимо креслення (рис. 5). Шукана площа являє собою суму площ та . Знайдемо кожну з цих площ. Спочатку визначимо межі інтегрування, вирішивши систему Отримаємо, . Отже:

;

.

Таким чином, площа заштрихованої фігури дорівнює

(кв. од.).

Рис. 6

Нехай, нарешті, криволінійна трапеція обмежена зверху і знизу безперервними графіками на відрізку функцій і ,
а ліворуч і праворуч - прямими і (рис. 6). Тоді її площа обчислюється за формулою

. (8)

Приклад 11.Знайти площу фігури, обмеженою лініями та .

Рішення.Ця фігура зображена на рис. 7. Площу її обчислимо за формулою (8). Вирішуючи систему рівнянь знаходимо, ; отже, , . На відрізку маємо: . Отже, у формулі (8) як візьмемо x, а як – . Отримаємо:

(кв. од.).

Більш складні завдання на обчислення площ вирішують шляхом розбиття фігури на частини, що не перетинаються, і обчислення площі всієї фігури як суми площ цих частин.

Рис. 7

Приклад 12Знайти площу фігури, обмеженою лініями , , .

Рішення. Зробимо креслення (рис. 8). Дану фігуру можна розглядати як криволінійну трапецію, обмежену знизу віссю, ліворуч і праворуч – прямими та , зверху – графіками функцій та . Так як фігура обмежена зверху графіками двох функцій, то для обчислення її площі розіб'ємо цю фігуру прямою на дві частини (1 – це абсцис точки перетину ліній і ). Площа кожної з цих частин знаходимо за формулою (4):

(кв. од.); (кв. од.). Отже:

(кв. од.).

Рис. 8

х= j ( у)

Рис. 9

На закінчення відзначимо, що якщо криволінійна трапеція обмежена прямими та , віссю та безперервною на кривій (рис. 9), то її площа знаходиться за формулою

Об'єм тіла обертання

Нехай криволінійна трапеція, обмежена графіком безперервної на відрізку функції , віссю , прямими і обертається навколо осі (рис. 10). Тоді обсяг отриманого тіла обертання обчислюється за формулою

. (9)

Приклад 13Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням навколо осі криволінійної трапеції, обмеженою гіперболою, прямими і віссю.

Рішення. Зробимо креслення (рис. 11).

З умови завдання випливає, що , . За формулою (9) отримуємо

.

Рис. 10

Рис. 11

Об'єм тіла, отриманого обертанням навколо осі Оукриволінійної трапеції, обмеженої прямими у = сі у = d, віссю Оута графіком безперервної на відрізку функції (рис. 12), визначається за формулою

. (10)

х= j ( у)

Рис. 12

Приклад 14. Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням навколо осі Оукриволінійної трапеції, обмеженої лініями х 2 = 4у, у = 4, х = 0 (рис. 13).

Рішення. Відповідно до умови завдання знаходимо межі інтегрування: , . За формулою (10) отримуємо:

Рис. 13

Довжина дуги плоскої кривої.

Нехай крива , задана рівнянням , де лежить у площині (рис. 14).

Рис. 14

Визначення. Під довжиною дуги розуміється межа, якого прагне довжина ламаною лінії, вписаної у цю дугу, коли кількість ланок ламаної прагне нескінченності, а довжина найбільшої ланки прагне нулю.

Якщо функція та її похідна безперервні на відрізку, то довжина дуги кривої обчислюється за формулою

. (11)

Приклад 15. Обчислити довжину дуги кривої , укладеної між точками, для яких .

Рішення. З умови завдання маємо . За формулою (11) отримуємо:

.

4. Невласні інтеграли
з нескінченними межами інтегрування

При введенні поняття певного інтеграла передбачалося, що виконуються такі дві умови:

а) межі інтегрування аі є кінцевими;

б) підінтегральна функція обмежена на відрізку.

Якщо хоча б одна з цих умов не виконується, то інтеграл називається невласним.

Розглянемо спочатку невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування.

Визначення. Нехай функція визначена і безперервна на проміжкута необмеженою праворуч (рис. 15).

Якщо невласний інтеграл сходиться, ця площа є кінцевою; якщо невласний інтеграл розходиться, то ця площа є нескінченною.

Рис. 15

Аналогічно визначається невласний інтеграл з нескінченною нижньою межею інтегрування:

. (13)

Цей інтеграл сходиться, якщо межа правої частини рівності (13) існує і кінцевий; інакше інтеграл називається розбіжним.

Невласний інтеграл із двома нескінченними межами інтегрування визначається наступним чином:

, (14)

де с – будь-яка точка інтервалу. Інтеграл сходиться лише у тому випадку, коли сходяться обидва інтеграли у правій частині рівності (14).

;

г) = [Виділимо в знаменнику повний квадрат: ] = [заміна:

] =

Отже, невласний інтеграл сходиться та її значення одно .

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Ключові слова:інтеграл, криволінійна трапеція, площа фігур, обмежених ліліями

Обладнання: маркерна дошка, комп'ютер, мультимедіа-проектор.

Тип уроку: урок-лекція

Цілі уроку:

• виховні:формувати культуру розумової праці, створювати кожному за учня ситуацію успіху, формувати позитивну мотивацію до навчання; розвивати вміння говорити та слухати інших.
• розвиваючі:формування самостійності мислення учня щодо застосування знань у різних ситуаціях, вміння аналізувати та робити висновки, розвиток логіки, розвиток вміння правильно ставити питання та знаходити на них відповіді. Удосконалення формування обчислювальних, розрахункових навичок, розвиток мислення учнів під час виконання запропонованих завдань, розвиток алгоритмічної культури.
• освітні: сформувати поняття про криволінійну трапецію, про інтеграл, опанувати навички обчислення площ плоских фігур

Метод навчання:пояснювально-ілюстративний.

Хід уроку

У попередніх класах ми навчилися вираховувати площі фігур, межами яких є ламані. У математиці існують методи, що дозволяють обчислювати площі фігур, що обмежені кривими. Такі фігури називаються криволінійними трапеціями, і обчислюють їх площу за допомогою первісних.

Криволінійна трапеція ( слайд 1)

Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком функції ( щ.м.), прямими x = aі x = bі віссю абсцис

Різні види криволінійних трапецій ( слайд 2)

Розглядаємо різні видикриволінійних трапецій і помічаємо: одна з прямих вироджена в точку, роль функції, що обмежує, грає пряма

Площа криволінійної трапеції (слайд 3)

Зафіксуємо лівий кінець проміжку а,а правий хбудемо міняти, тобто ми рухаємо праву стінку криволінійної трапеції і отримуємо мінливу фігуру. Площа змінної криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції, є первісною Fдля функції f

І на відрізку [ a; b] площа криволінійної трапеції, утвореної функцією f,дорівнює прирощенню первісної цієї функції:

Завдання 1:

Знайти площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції: f(x) = х 2та прямими у = 0, х = 1, х = 2.

Рішення: ( за алгоритмом слайд 3)

Накреслимо графік функції та прямі

Знайдемо одну з першорядних функцій f(x) = х 2 :

Самоперевірка по слайду

Інтеграл

Розглянемо криволінійну трапецію, задану функцією fна відрізку [ a; b]. Розіб'ємо цей відрізок на кілька частин. Площа всієї трапеції розіб'ється на суму площ дрібніших криволінійних трапецій. ( слайд 5). Кожну таку трапецію можна вважати прямокутником. Сума площ цих прямокутників дає наближене уявлення про всю площу криволінійної трапеції. Чим дрібніше ми розіб'ємо відрізок [ a; b], тим точніше обчислимо площу.

Запишемо ці міркування як формул.

Розділимо відрізок [ a; b] на n частин крапками х 0 = а, х1, ..., хn = b.Довжину k-го позначимо через хk = xk - xk-1. Складемо суму

Геометрично ця сума є площа фігури, заштрихованої на малюнку ( щ.м.)

Суми виду називаються інтегральними сумами для функції f. (Щ.М.)

Інтегральні суми дають наближене значення площі. Точне значення утворюється за допомогою граничного переходу. Уявімо, що ми подрібнюємо розбиття відрізка [ a; b] отже довжини всіх маленьких відрізків прагнуть нулю. Тоді площа складеної фігури наближатиметься до площі криволінійної трапеції. Можна сказати, що площа криволінійної трапеції дорівнює межі інтегральних сум, Sк.т. (Щ.М.)або інтегралу, тобто,

Визначення:

Інтегралом функції f(х)від aдо bназивається межа інтегральних сум

= (Щ.М.)

Формула Ньютона-Лейбніца.

Пам'ятаємо, що межа інтегральних сум дорівнює площі криволінійної трапеції, отже, можна записати:

Sк.т. = (Щ.М.)

З іншого боку, площа криволінійної трапеції обчислюється за формулою

S к. т. (Щ.М.)

Порівнюючи ці формули, отримаємо:

= (Щ.М.)

Ця рівність називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Для зручності обчислень формулу записують у вигляді:

= = (Щ.М.)

Завдання: (щ.м.)

1. Обчислити інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца: ( перевіряємо за слайдом 5)

2. Скласти інтеграли за кресленням ( перевіряємо за слайдом 6)

3. Знайти площу фігури, обмеженої лініями: у = х 3, у = 0, х = 1, х = 2. Слайд 7)

Знаходження площ плоских фігур ( слайд 8)

Як знайти площу фігур, які не є криволінійними трапеціями?

Нехай дані дві функції, графіки яких ви бачите на слайді . (Щ.М.)Необхідно знайти площу зафарбованої фігури . (Щ.М.). Фігура, про яку йдеться, є криволінійною трапецією? А як можна знайти її площу, користуючись властивістю адитивності площі? Розглянути дві криволінійні трапеції та з площі однієї з них відняти площу іншої ( щ.м.)

Складемо алгоритм знаходження площі з анімації на слайді:

1. Побудувати графіки функцій
2. Спроектувати точки перетину графіків на вісь абсцис
3. Заштрихувати фігуру, отриману під час перетину графіків
4. Знайти криволінійні трапеції, перетин або об'єднання яких є ця фігура.
5. Обчислити площу кожної з них
6. Знайти різницю або суму площ

Як отримати площу заштрихованої фігури (розповісти за допомогою анімації, слайд 8 та 9)

Домашнє завдання:Опрацювати конспект, №353(а), №364(а).

Список літератури

1. Алгебра та початку аналізу: підручник для 9-11 класів вечірньої (змінної) школи / за ред. Г.Д. Глейзер. - М: Просвітництво, 1983.
2. Башмаков М.І. Алгебра та початку аналізу: навчальний посібник для 10-11 кл.сред.шк./ Башмаков М.І. - М: Просвітництво, 1991.
3. Башмаков М.І. Математика: підручник для установ на поч. та серед. проф. освіти/М.І. Башмаків. – М: Академія, 2010.
4. Колмогоров А.М. Алгебра та початку аналізу: підручник для 10-11 кл. загальноосвітніх установ/А.Н.Колмогоров. - М: Просвітництво, 2010.
5. Островський С.Л. Як зробити презентацію до уроку? / C.Л. Островський. - М.: Перше вересня, 2010.

Завдання 1(Про обчислення площі криволінійної трапеції).

У декартовій прямокутній системі координат xOy дана фігура (див. малюнок), обмежена віссю х, прямими х = a, х = b (a криволінійною трапецією. Потрібно обчислити площу криволінійної трапеції.
Рішення.Геометрія дає нам рецепти для обчислення площ багатокутників та деяких частин кола (сектора, сегмента). Використовуючи геометричні міркування, ми зможемо визначити лише наближене значення шуканої площі, розмірковуючи так.

Розіб'ємо відрізок [а; b] (підстава криволінійної трапеції) на n рівних частин; це розбиття здійснимо за допомогою точок x 1 x 2 ... x k ... x n-1 . Проведемо через ці точки прямі, паралельні осі у. Тоді задана криволінійна трапеція розіб'ється на n елементів, на n вузьких стовпчиків. Площа всієї трапеції дорівнює сумі площ стовпчиків.

Розглянемо окремо k-ий стовпчик, тобто. криволінійну трапецію, основою якої є відрізок . Замінимо його прямокутником з тією самою основою і висотою, що дорівнює f(x k) (див. рисунок). Площа прямокутника дорівнює \(f(x_k) \cdot \Delta x_k\), де \(\Delta x_k\) - Довжина відрізка; Звичайно вважати складене твір наближеним значенням площі k-го стовпчика.

Якщо тепер зробити те саме з усіма іншими стовпчиками, то прийдемо до наступного результату: площа S заданої криволінійної трапеції приблизно дорівнює площі S n ступінчастої фігури, складеної з n прямокутників (див. малюнок):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Тут заради одноманітності позначень ми вважаємо, що a = х 0 b = x n ; \(\Delta x_0 \) - Довжина відрізка , \(\Delta x_1 \) - Довжина відрізка, і т.д; при цьому, як ми домовилися вище, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Отже, \(S \approx S_n \), причому ця наближена рівність тим точніша, чим більше n.
За визначенням вважають, що шукана площа криволінійної трапеції дорівнює межі послідовності (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Завдання 2(Про переміщення точки)
По прямій рухається матеріальна точка. Залежність швидкості від часу виражається формулою v = v(t). Знайти переміщення крапки за проміжок часу [а; b].
Рішення.Якби рух був рівномірним, то завдання вирішувалося дуже просто: s = vt, тобто. s = v(b-а). Для нерівномірного руху доводиться використовувати самі ідеї, у яких було засновано рішення попередньої задачи.
1) Розділимо проміжок часу [а; b] на n рівних частин.
2) Розглянемо проміжок часу і вважатимемо, що у цей проміжок часу швидкість була постійною, такою, як у момент часу t k . Отже, ми вважаємо, що v = v (t k).
3) Знайдемо наближене значення переміщення точки за проміжок часу, це наближене значення позначимо s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Знайдемо наближене значення переміщення s:
\(s \approx S_n\) де
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Переміщення, що шукається, дорівнює межі послідовності (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Підведемо підсумки. Вирішення різних завдань звелися до однієї і тієї ж математичної моделі. Багато завдань з різних галузей науки і техніки приводять у процесі вирішення такої ж моделі. Отже, цю математичну модель треба спеціально вивчити.

Поняття певного інтегралу

Дамо математичний опис тієї моделі, яка була побудована у трьох розглянутих задачах для функції y = f(x), безперервної (але необов'язково невід'ємної, як це передбачалося у розглянутих задачах) на відрізку [а; b]:
1) розбиваємо відрізок [а; b] на n рівних частин;
2) складаємо суму $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) обчислюємо $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

В курсі математичного аналізудоведено, що ця межа у разі безперервної (або шматково-безперервної) функції існує. Його називають певним інтегралом від функції y = f(x) за відрізком [а; b]і позначають так:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Числа a та b називають межами інтегрування (відповідно нижнім та верхнім).

Повернемося до розглянутих вище завдань. Визначення площі, дане в задачі 1, тепер можна переписати так:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
тут S - площа криволінійної трапеції, зображеної на малюнку вище. У цьому полягає геометричний сенс певного інтегралу.

Визначення переміщення точки, що рухається по прямій зі швидкістю v = v(t), за проміжок часу від t = a до t = b, дане в задачі 2, можна переписати так:

Формула Ньютона - Лейбніца

Спочатку відповімо питанням: який зв'язок між певним інтегралом і первообразной?

Відповідь можна знайти в задачі 2. З одного боку, переміщення точки s, що рухається по прямій зі швидкістю v = v(t), за проміжок часу від t = а до t = b і обчислюється за формулою
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

З іншого боку, координата точки, що рухається, є первісна для швидкості - позначимо її s(t); отже, переміщення s виражається формулою s = s(b) - s(a). У результаті отримуємо:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
де s(t) - первісна для v(t).

У курсі математичного аналізу підтверджено наступну теорему.
Теорема. Якщо функція y = f(x) безперервна на відрізку [а; b], то справедлива формула
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
де F(x) - первісна для f(x).

Наведену формулу зазвичай називають формулою Ньютона - Лейбніцана честь англійського фізика Ісаака Ньютона (1643-1727) та німецького філософаГотфріда Лейбніца (1646- 1716), отримали її незалежно друг від друга і майже одночасно.

Насправді замість запису F(b) - F(a) використовують запис \(\left. F(x)\right|_a^b \) (її називають іноді подвійною підстановкою) і, відповідно, переписують формулу Ньютона - Лейбніца у такому вигляді:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Обчислюючи певний інтеграл, спочатку знаходять первісну, а потім здійснюють подвійну підстановку.

Спираючись на формулу Ньютона – Лейбніца, можна отримати дві властивості певного інтегралу.

Властивість 1.Інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Властивість 2.Постійний множник можна винести за знак інтеграла:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Обчислення площ плоских фігур за допомогою певного інтегралу

За допомогою інтеграла можна обчислювати площі не тільки криволінійних трапецій, а й плоских фігур. складного виглядунаприклад такого, який представлений на малюнку. Фігура Р обмежена прямими х = а, х = b та графіками безперервних функцій y = f(x), y = g(x), причому на відрізку [а; b] виконується нерівність \(g(x) \leq f(x) \). Щоб обчислити площу S такої фігури, будемо діяти так:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Отже, площа фігури S, обмеженої прямими х = а, х = b і графіками функцій y = f(x), y = g(x), безперервних на відрізку і таких, що для будь-якого x з відрізка [а; b] виконується нерівність \(g(x) \leq f(x) \), обчислюється за формулою
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Таблиця невизначених інтегралів (первоподібних) деяких функцій

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) + C \; \; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x + C $$

Вступ

Знаходження похідної f"(x) або диференціала df=f"(x) dx функції f(x) є основним завданням диференціального обчислення. В інтегральному обчисленні вирішується обернена задача: за заданою функцією f(x) потрібно знайти таку функцію F(x), що F" (х)=f(x) або F(x)=F" (x) dx=f(x ) dx. Таким чином, основним завданням інтегрального обчислення є відновлення функції F(x) за відомою похідною (диференціал) цієї функції. Інтегральне обчислення має численні програми у геометрії, механіці, фізиці та техніці. Воно дає загальний спосіб знаходження площ, обсягів, центрів тяжкості тощо.

Курс математичного аналізу містить різноманітний матеріал, однак, одним із його центральних розділів є певний інтеграл. Інтегрування багатьох видів функцій часом є однією з найважчих проблем математичного аналізу.

Обчислення певного інтеграла має як теоретичний інтерес. До його обчислення зводяться іноді завдання, пов'язані з практичною діяльністю людини.

Також поняття певного інтеграла широко використовується у фізиці.

Знаходження площі криволінійної трапеції

Криволінійною трапецією називається фігура, розташована в прямокутній системі координат та обмежена віссю абсцис, прямими х = аі х = bі кривою, причому негативна на відрізку. Приблизно площу криволінійної трапеції можна знайти так:

1. розділити відрізок осі абсцис на nрівних відрізків;

2. провести через точки поділу відрізки, перпендикулярні до осі абсцис, до перетину з кривою;

3. замінити стовпчики прямокутниками з основою і висотою, що дорівнює значенням функції fу лівому кінці кожного відрізка;

4. Визначити суму площ цих прямокутників.

Але можна знайти площу криволінійної інакше: за формулою Ньютона-Лейбніца. Для доказу формули, що носить їх імена, доведемо, що площа криволінійної трапеції дорівнює, де - кожна з первісних функцій, графік якої обмежує криволінійну трапецію.

Обчислення площі криволінійної трапеції записується так:

1. Виявляється кожна з первинних функцій.

2. записується. - Це формула Ньютона-Лейбніца.

Знаходження площі криволінійного сектора

Розглянемо криву? =? (?) у полярній системі координат, де? (?) - безперервна та невід'ємна на [?; ?] функція. Фігура обмежена кривою? (?) та променями? =?,? = ?, називається криволінійним сектором. Площа криволінійного сектора дорівнює

Знаходження довжини дуги кривої

Прямокутні координати

Нехай у прямокутних координатах дано плоску криву AB, рівняння якої y = f(x), де a ? x? b. (рис 2)

Під довжиною дуги AB розуміється межа, якого прагнути довжина ламаної лінії, вписаної у цю дугу, коли кількість ланок ламаної необмежено зростає, а довжина найбільшої ланки її прагнути нулю.

Застосуємо схему I (метод сум).

Точками X = a, X, …, X = b (X? X? …? X) розіб'ємо відрізок на n частин. Нехай цим точкам відповідають точки M = A, M, …, M = B на кривій AB. Проведемо хорди MM, MM, …, MM, довжини яких позначимо відповідно через? L,? L, …,? L.

Отримаємо ламану MMM … MM, довжина якої дорівнює L =? L +? L + … +? L =? L.

Довжину хорди (або ланки ламаної) ?L можна знайти за теоремою Піфагора з трикутника з катетами?X і ?Y:

L = , де X = X - X, Y = f (X) - f (X).

По теоремі Лагранжа про кінцеве збільшення функції

Y = (C)? X, де C (X, X).

а довжина всієї ламаної MMM … MM дорівнює

Довжина кривої AB, за визначенням, дорівнює

Зауважимо, що з? L 0 також и?X 0 (?L = і отже | ?X |< ?L). Функция непрерывна на отрезке , так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L=?L= , кода max ?X 0:

Отже, L = dx.

Приклад: Знайти довжину кола радіуса R. (рис 3)

Знайдемо? частина її довжини від точки (0; R) до точки (R; 0). Так як