Визначення середньої помилки вибірки. Розрахунок середніх та граничних помилок вибірки за різних видів відбору. Види помилок вибірки
Помилка вибірки- це об'єктивно виникає розбіжність між характеристиками вибірки та генеральної сукупності. Вона залежить від низки чинників: ступеня варіації досліджуваного ознаки, чисельності вибірки, шляхом відбору одиниць у вибіркову сукупність, прийнятого рівня достовірності результату дослідження.
Для репрезентативності вибірки важливо забезпечити випадковість відбору, щоб всі об'єкти генеральної сукупності мали рівні ймовірності потрапити у вибірку. Для забезпечення репрезентативності вибірки застосовують такі способи відбору:
· власне-випадкова(проста випадкова) вибірка (послідовно відбирається перший об'єкт, що випадково попався);
· механічна(Систематична) вибірка;
· типова(стратифікована, розшарована) вибірка (об'єкти відбираються пропорційно до представництва різних типів об'єктів у генеральній сукупності);
· серійна(Гніздова) вибірка.
Відбір одиниць у вибіркову сукупність може бути повторним чи безповторним. При повторному відборіщо у вибірку одиниця піддається обстеженню, тобто. реєстрації значень її ознак, що повертається в генеральну сукупність і нарівні з іншими одиницями бере участь у подальшій процедурі відбору. При безповторному відборіодиниця, що потрапила у вибірку, піддається обстеженню і в подальшій процедурі відбору не бере участі
Вибіркове спостереження завжди пов'язане з помилкою, оскільки кількість відібраних одиниць не дорівнює вихідній (генеральній) сукупності. Випадкові помилки вибірки обумовлені дією випадкових факторів, що не містять будь-яких елементів системності в напрямку впливу на вибіркові характеристики. Навіть за суворого дотримання всіх принципів формування вибіркової сукупності вибіркові і генеральні характеристики дещо відрізнятимуться. Тому випадкові помилки, що отримуються, повинні бути статистично оцінені і враховані при поширенні результатів вибіркового спостереження на всю генеральну сукупність. Оцінка таких помилок і є основним завданням, яке вирішується в теорії вибіркового спостереження. Зворотним завданням є визначення такої мінімально необхідної чисельності вибіркової сукупності, коли помилка не перевищить заданої величини. На вироблення навичок у вирішенні цих завдань і спрямований матеріал цього розділу.
Власно-випадкова вибірка. Її суть полягає у відборі одиниць із генеральної сукупності загалом, без поділу її на групи, підгрупи чи серії окремих одиниць. При цьому одиниці відбираються у випадковому порядку, що не залежить ні від послідовності розташування одиниць у сукупності, ні від значень їх ознак.
Після проведення відбору з використанням одного з алгоритмів, що реалізують принцип випадковості або на основі таблиці випадкових чисел, визначаються межі генеральних характеристик. Для цього розраховуються середня та гранична помилки вибірки.
Середня помилка повторної власно-випадкової вибіркивизначається за формулою
де σ - середнє квадратичне відхилення ознаки, що вивчається;
n – обсяг (число одиниць) вибіркової сукупності.
Гранична помилка вибіркипов'язана із заданим рівнем ймовірності. При вирішенні поданих нижче завдань ймовірність становить 0,954 (t = 2) або 0,997 (t = 3). З урахуванням обраного рівня ймовірності та відповідного йому значення t гранична помилка вибірки становитиме:
Тоді можна стверджувати, що за заданої ймовірності генеральна середня перебуватиме в наступних межах:
При визначенні кордонів генеральної часткипри розрахунку середньої помилки вибірки використовується дисперсія альтернативної ознаки, яка обчислюється за такою формулою:
де w - вибіркова частка, т. е. частка одиниць, які мають певним варіантом або варіантами ознаки, що вивчається.
При вирішенні окремих завдань необхідно враховувати, що за невідомої дисперсії альтернативної ознаки можна використовувати її максимально можливу величину, що дорівнює 0,25.
Приклад. В результаті вибіркового обстеження незайнятого населення, яке шукає роботу, проведеного на основі власне-випадкової повторної вибіркибули отримані дані, наведені у табл. 1.14.
Таблиця 1.14
Результати вибіркового обстеження незайнятого населення
Із ймовірністю 0,954 визначте межі:
а) середнього віку незайнятого населення;
б) частки (питомої ваги) осіб, молодших 25 років, у загальній чисельності незайнятого населення.
Рішення.Для визначення середньої помилки вибірки необхідно, перш за все, визначити вибіркову середню величину та дисперсію ознаки, що вивчається. Для цього при ручному способі розрахунку доцільно побудувати таблицю 1.15.
Таблиця 1.15
Розрахунок середнього віку незайнятого населення та дисперсії
На підставі даних таблиці розраховуються необхідні показники:
· Вибіркова середня величина:
;
· Дисперсія:
· середньоквадратичне відхилення:
.
Середня помилка вибірки складе:
року.
Визначимо з ймовірністю 0,954 ( t= 2) граничну помилку вибірки:
року.
Встановимо межі генеральної середньої: (41,2 - 1,6) (41,2+1,6) або:
Таким чином, на підставі проведеного вибіркового обстеження з ймовірністю 0,954 можна зробити висновок, що середній вікнезайнятого населення, що шукає роботу, лежить у межах від 40 до 43 років.
Для відповіді на питання, поставлене в пункті «б» даного прикладу, за вибірковими даними визначимо частку осіб віком до 25 років та розрахуємо дисперсію частки:
Розрахуємо середню помилку вибірки:
Гранична помилка вибірки із заданою ймовірністю складе:
Визначимо межі генеральної частки:
Отже, з ймовірністю 0,954 можна стверджувати, частка осіб віком до 25 років у кількості незайнятого населення перебуває у межах від 3,9 до 1 1,9%.
При розрахунку середньої помилки власне-випадковою безповторноювибірки необхідно враховувати виправлення на безповторність відбору:
де N - обсяг (число одиниць) генеральної сукупності/
Необхідний обсяг власно-випадкової повторної вибіркивизначається за формулою:
Якщо відбір безповторний, то формула набуває наступного вигляду:
Отриманий на основі використання цих формул результат завжди округляється у велику сторону до цілого значення.
приклад.Необхідно визначити, скільки учнів перших класів шкіл району необхідно відібрати в порядку власно-випадкової безповторної вибірки, щоб з ймовірністю 0,997 визначити межі середнього зростання першокласників з граничною помилкою 2 см. Відомо, що всього в перших класах шкіл району навчається 1100 учнів за результатами аналогічного обстеження в іншому районі становила 24.
Рішення.Необхідний обсяг вибірки при рівні ймовірності 0,997 ( t= 3) складе:
Таким чином, для отримання даних про середнє зростання першокласників із заданою точністю необхідно обстежити 52 школярі.
Механічна вибірка. Ця вибірка полягає у відборі одиниць із загального списку одиниць генеральної сукупності через рівні інтервали відповідно до встановленого відсотка відбору. При вирішенні завдань визначення середньої помилки механічної вибірки, і навіть необхідної її чисельності, слід використовувати наведені вище формули, застосовувані при власне-випадковому безповторному відборі.
Так, при 2%-ній вибірці відбирається кожна 50-та одиниця (1:0,02), при 5%-ній вибірці - кожна 20-та одиниця (1:0,05) і т.д.
Таким чином, відповідно до прийнятої частки відбору, генеральна сукупність механічно розбивається на рівновеликі групи. З кожної групи вибірку відбирається лише одна одиниця.
Важливою особливістю механічної вибірки і те, що формування вибіркової сукупності можна здійснити, не вдаючись до складання списків. Насправді часто використовують той порядок, у якому фактично розміщуються одиниці генеральної сукупності. Наприклад, послідовність виходу готових виробів з конвеєра або потокової лінії, порядок розміщення одиниць партії товару під час зберігання, транспортування, реалізації тощо.
Типова вибірка.Ця вибірка застосовується у випадках, коли одиниці генеральної сукупності об'єднані у кілька великих типових груп. Відбір одиниць у вибірку проводиться усередині цих груп пропорційно їх обсягу на основі використання власне-випадкової або механічної вибірки (за наявності необхідної інформаціївідбір також може здійснюватися пропорційно варіації ознаки, що вивчається в групах).
Типова вибірка зазвичай застосовується щодо складних статистичних сукупностей. Наприклад, при вибірковому обстеженні продуктивність праці працівників торгівлі, які з окремих груп з кваліфікації.
Важливою особливістю типової вибірки є те, що вона дає точніші результати в порівнянні з іншими способами відбору одиниць у вибіркову сукупність.
Середня помилка типової вибірки визначається за формулами:
(Повторний відбір);
(Безповторний відбір),
де - середня з внутрішньогрупової дисперсії.
Приклад. З метою вивчення доходів населення за трьома районами області сформовано 2%-ву вибірку, пропорційну чисельності населення цих районів. Отримані результати представлені у табл. 16.
Таблиця 16
Результати вибіркового обстеження доходів населення
Необхідно визначити межі середньодушових доходів населення області загалом за рівня ймовірності 0,997.
Рішення.Розрахуємо середню із внутрішньогрупових дисперсій:
де N i- Об `єм i-і групи;
n, - обсяг вибірки з/- та групи.
Серійна вибірка. Ця вибірка використовується у випадках, коли одиниці досліджуваної сукупності об'єднані в невеликі рівновеликі групи чи серії. Одиницею відбору у разі є серія. Серії відбираються з допомогою власно-випадкової чи механічної вибірки, а всередині відібраних серій обстежуються все без винятку одиниці.
В основі розрахунку середньої помилки серійної вибірки лежить міжгрупова дисперсія:
(Повторний відбір);
(Безповторний відбір),
де x i- кількість відібраних i- серій;
R- загальна кількість серій.
Міжгрупову дисперсію при рівновеликих групах обчислюють так:
де х i- середня i-ісерії;
х- загальна середня по всій вибірковій сукупності.
Приклад. З метою контролю якості комплектуючих із партії виробів, упакованих у 50 ящиків по 20 виробів у кожному, було проведено 10%-на серійна вибірка. По ящикам, що потрапили у вибірку, середнє відхилення параметрів виробу від норми відповідно склало 9 мм, 11, 12, 8 і 14 мм. З ймовірністю 0,954 визначте середнє відхилення параметрів у всій партії загалом.
Рішення.Вибіркова середня:
мм.
Величина міжгрупової дисперсії:
З урахуванням встановленої ймовірності Р = 0,954 (t= 2) гранична помилка вибірки складе:
мм.
Зроблені розрахунки дозволяють зробити висновок, що середнє відхилення параметрів всіх виробів від норми знаходиться в наступних межах:
Для визначення необхідного обсягу серійної вибірки при заданій граничній помилці використовуються такі формули:
(Повторний відбір);
(Безповторний відбір).
Гранична помилка вибіркидорівнює t-кратному числу середніх помилок вибірки:
μ - середня помилка вибірки, розрахована з урахуванням поправки, на яку проводиться коригування у разі безповторного відбору;
t - коефіцієнт довіри, який знаходять при заданому рівні ймовірності. Так для Р = 0,997 за таблицею значень інтегральної функції Лапласа t = 3
Величина граничної помилки вибіркиможе бути встановлена з певною ймовірністю. Імовірність появи такої помилки, що дорівнює або більше потрійної середньої помилки вибірки, вкрай мала і дорівнює 0,003 (1-0,997). Такі малоймовірні події вважаються практично неможливими, а томуймовірність того, що ця різниця перевищить триразову величину середньої помилки, визначає рівень помилкиі становить не більше 0,3% .
Визначення граничної помилки вибірки длячастки
Умова:
З готової продукції, у порядку власне-випадкового безповторного відбору, було відібрано 200 ц, у тому числі 8 ц виявилося зіпсовано. Чи можна вважати ймовірністю 0,954, що втрати продукції не перевищать 5%, якщо вибірка становить 1:20 частину її розміру?
Дано:
- n =200ц - обсяг вибірки (вибіркова сукупність)
- m =8ц - у зіпсованої продукції
- n:N = 1:20 - пропорція відбору, де N-об'єм сукупності (генеральна сукупність)
- Р = 0,954 - ймовірність
Визначити: ∆ ω < 5% (согласуется ли то, что потери продукции не превысят 5%)
Рішення:
1. Визначимо вибіркову частку-таку частку складає зіпсована продукція у вибірковій сукупності:
2. Визначимо обсяг генеральної сукупності:
N=n*20=200*20=4000(ц)– кількість усієї продукції.
3. Визначимо граничну помилку вибірки частки продукції, що має відповідним ознакою, тобто. для частки зіпсованої продукції: Δ = t*μ, де µ — середня помилка частки, що має альтернативну ознаку, з урахуванням поправки, на яку проводиться коригування у разі безповторного відбору; t - коефіцієнт довіри, який знаходять при заданому рівні ймовірності Р = 0,954 за таблицею значень інтегральної функції Лапласа: t = 2
4. Визначимо г ранки довірчого інтервалудля частки альтернативної ознакиу генеральній сукупності, тобто. яку частку зіпсована продукція становитиме у загальному обсязі: оскільки частка зіпсованої продукції у вибірковому обсязі становить ω = 0,04, то з урахуванням граничної помилки ∆ω = 0,027 генеральна частка альтернативної ознаки(p) прийме значення:
ω-∆ ω < p < ω+∆ ω
0.04-0.027< p < 0.04+0.027
0.013 < p < 0.067
Висновок:з ймовірністю Р=0,954 можна стверджувати , що частка зіпсованої продукціїпри вибірці більшого обсягу не вийде межі знайденого інтервалу (щонайменше 1,3% і трохи більше 6,7%). Але залишається ймовірність того, що частка зіпсованої продукції може перевищити 5% у межах до 6,7%, що, у свою чергу, не узгоджується із затвердженням ∆ω< 5%.
*******
Умова:
Менеджер магазину з досвіду знає, що 25% покупців, що входять до магазину, здійснюють покупки. Припустимо, що у магазин увійшло 200 покупців.
Визначити:
- частку покупців, які здійснили покупки
- дисперсію вибіркової частки
- середнє квадратичне відхилення вибіркової частки
- ймовірність того, що вибіркова частка буде в межах між 0,25 та 0,30
Рішення:
В якості генеральної частки (p) приймаємо вибіркову частку (ω
) та визначаємо верхню межу довірчого інтервалу.
Знаючи критичну точку (за умовою: вибіркова частка буде в межах 0,25-0,30), будуємо односторонню критичну область (правосторонню).
За таблицею значень інтегральної функції Лапласа знаходимо Z
Цей варіант можна розглядати і як повторний відбірза умови, якщо той самий покупець, не купивши в перший раз, повертається і робить покупку.
У випадку, якщо вибірку розглядати як безповторну, необхідно середню помилку скоригувати на коефіцієнт поправки. Тоді, підставивши скориговані значення граничної помилки для вибіркової частки при визначенні критичної області, зміняться Z і P
Визначення граничної помилки вибірки для середньої
За даними 17 співробітників фірми, де працює 260 осіб, середньомісячна заробітна плата склала 360 у.о., при s=76 у.о. Яка мінімальна сума має бути покладена на рахунок фірми, щоб із ймовірністю 0,98 гарантувати видачу заробітної платиусім співробітникам?
Дано:
- n=17 - обсяг вибірки (вибіркова сукупність)
- N=260 - обсяг сукупності (генеральна сукупність)
- Х пор. =360 - вибіркова середня
- S=76 - вибіркове середньоквадратичне відхилення
- Р = 0,98 - довірча ймовірність
Визначити:мінімально допустиме значення генеральної середньої (нижню межу довірчого інтервалу).
Зіставлення формул повторного та безповторного відбору свідчить про те, що застосування останнього призводить до зменшення помилки вибірки. У тих випадках, коли чисельність генеральної сукупності (N) дуже велика в порівнянні з числом відібраних одиниць (n), помилку безповторного відбору можна визначити за формулою для повторного відбору (lim(1-n)/N → 1).
Виходячи з наведених вище формул можна стверджувати, що середня величина випадкової помилки репрезентативності залежить від прийнятого способу формування вибіркової сукупності, обсягу вибірки, ступеня коливання ознаки, що вивчається в генеральній сукупності.
Для вирішення практичних завдань вибіркового обстеження розрахунку середньої помилки вибірки недостатньо. Так, із генеральної сукупності може бути отримано кілька вибірок. При цьому фактична помилка кожної конкретної вибірки може бути більшою або меншою за середню помилку. Тому крім середньої, розраховується гранична помилка вибірки. Її величина залежить від того, з якою ймовірністю має гарантуватися помилка вибірки. Уровень довірчої ймовірності визначається за допомогою спеціального коефіцієнта t, званого коефіцієнтом довіри Найбільш часто використовуються такі рівні довірчої ймовірності та значень t:
t=1P = 0,683; t=2P=0,954; t=3P=0,997
Розрахунок граничної помилки проводиться за формулами (6,1) та (6,2):
Величина генеральної середньої або частки представляється у вигляді меж наступним чином (6,3) та (6,4):
Таким чином, за результатами вибіркового спостереження з певним ступенем достовірності можна стверджувати, що генеральна середня або частка не вийде за встановлені межі.
приклад. З партії лампочок 1000 шт. відібрано способом випадкової безповторної вибірки 100 прим. Середня тривалість горіння по відібраній частині становить 1200 год, а середнє квадратичне відхилення 200 год. З відібраних лампочок 90 шт. задовольняли стандарту. Потрібно визначити межі середнього значення тривалості горіння (з ймовірністю 0,997), а також межі частки лампочок, що задовольняють стандарту (з імовірністю 0,954), у всій партії.
Середня помилка середньої тривалості горіння лампочок визначається за формулою власне-випадкового безповторного відбору:
Гранична помилка середньої тривалості горіння лампочок визначається з урахуванням коефіцієнта довіри, що відповідає необхідному рівню довірчої ймовірності (t = 3 за P = 0,997):
Межі середньої тривалості горіння лампочок у партії:
Таким чином, з ймовірністю Р = 0.997 можна стверджувати, що середня продовжувачність горіння лампочок у всій партії буде укладено в межах від 1143 до 125Т год.
Частка лампочок у вибірці, які відповідають стандарту (вибіркова частка), становить
Середня помилка частки стандартних лампочок визначається за такою формулою для власне-випадкового безповторного відбору:
Гранична помилка частки стандартних лампочок визначається з урахуванням коефіцієнта довіри, що відповідає необхідному рівню довірчої ймовірності (t = 2 за P = 0,954):
Межі частки лампочок, що задовольняють стандарту, у всій партії
З ймовірністю Р-0,954 можна стверджувати, що частка лампочок, які відповідають стандарту, у всій партії буде укладеноу межах від 84,4 до 95,6%.
приклад. 10%-ний безповторний типовий відбір робітників підприємства, пропорційний розмірам цехів, що проводиться з метою оцінки втрат робочого часу через тимчасову непрацездатність, привів до результатів, представлених у таблиці. З числа обстежених 90 робітників першого цеху, 120 робітників другого цеху та 70 робітників третього не мали випадків непрацездатності. З ймовірністю 0,954 потрібно визначити межі середньої кількості днів непрацездатності, і навіть межі частки робітників, які мали випадків непрацездатності, на підприємстві загалом.
Середня кількість днів тимчасової непрацездатності у вибірковій сукупності визначається за формулою середньої арифметичної зваженої:
Середня із внутрішньогрупових дисперсій числа днів тимчасової непрацездатності за трьома цехами заводу
Середня помилка середньої кількості днів непрацездатності розраховується за формулою для типового безповторного відбору:
Гранична помилка вибірки визначається з урахуванням довірчої ймовірності 0,954:
Межі середньої кількості днів непрацездатності по підприємству загалом
Частка робочих, які мали випадків непрацездатності, по цехам підприємства становить:
Частка робітників, які мали випадків непрацездатності, за вибіркою в цілому визначається за формулою середньої арифметичної зваженої:
Для визначення середньої помилки частки розрахуємо середню із внутрішньогрупових дисперсій:
Середня помилка частки робітників, які не мали випадків непрацездатності:
Гранична помилка частки робітників, які мали непрацездатності:
Межі частки робітників, які мали випадків непрацездатності, по підприємству в цілому
приклад. На склад заводу надійшло 100 ящиків готових виробів на 80 шт. у кожному. Для встановлення середньої ваги деталей проведено серійну вибірку. Вибіркові середніпо серіях склали 16; 15,5; 15 та 15,9 р. Частка бракованих деталейпо серіях склав а 5; б; 4іЗ% відповідно. Із ймовірністю 0,954 визначте середню вагу деталей та частку бракованих деталей у партії.
Середня вага деталей у вибірці визначається за формулою середньої арифметичної простої:
Міжгрупова (міжсерійна) дисперсія ваги деталей у вибірці
Середня помилка середньої ваги деталей визначаєтьсяза формулою для серійного безповторного відбору:
На стадії організації вибіркового спостереження вирішується питання, яким має бути обсяг вибіркової сукупності, щоб була забезпечена необхідна точність результатів спостережень. Зменшення помилки вибірки, отже, збільшення точності визначення параметрів генеральної сукупності завжди пов'язані з збільшенням обсягу вибірки. Збільшуючи чисельність вибірки, можна довести її помилку до скільки завгодно малих розмірів.
Проте з формул середньої помилки вибірки слід, що зменшення помилки в раз вимагає збільшення обсягу вибірки в 2 разів. Збільшення обсягу досліджень, у свою чергу, викликає додаткові витрати праці та засобів, знижує оперативність інформації. Тому питання про оптимальну чисельність вибірки має важливе практичне значення.
Визначення необхідної чисельності вибірки ґрунтується на формулі її граничної помилки. Так, при випадковому повторному відборі обсягу необхідної чисельності вибірки отримуємо в результаті перетворення відповідної формули:
Так само виводяться формули для розрахунку чисельності вибірки при інших способах відбору (табл. 6.2). Розрахункову величину обсягу вибірки з метою отримання запасу точності більшу сторону. Для спрощення розрахунків щодо обсягу безповторної вибірки може використовуватися формула для повторної вибірки, що також дає запас точності.
Іноді практично задається не величина абсолютної граничної помилки , величина відносної, виражена у відсотках середньої, . У цьому випадку формули для розрахунку необхідного обсягу вибірки також виходять в результаті перетворення відповідних формул помилки вибірки.
Середня помилка вибірки
Вибіркову сукупність можна сформувати за кількісною ознакою статистичних величин, а також альтернативною або атрибутивною. У першому випадку узагальнюючою характеристикою вибірки є вибіркова середнявеличина, що позначається , а в другому - вибіркова часткавеличин, що позначається w.У генеральній сукупності відповідно: генеральна середняі генеральна частка нар.
Різниці -- і W - рназиваються помилкою вибірки,яка поділяється на помилку реєстрації та помилку репрезентативності. Перша частина помилки вибірки виникає через неправильні або неточні відомості з причин нерозуміння суті питання, неуважності реєстратора при заповненні анкет, формулярів і т.п. Вона досить легко виявляється та усувається. Друга частина помилки виникає через постійне або спонтанне недотримання принципу випадковості відбору. Її важко виявити і усунути, вона набагато більша за першу і тому їй приділяється основна увага.
Розмір помилки вибірки залежить від структури останньої. Наприклад, якщо при визначенні середнього балу успішності студентів факультету в одну вибірку включити більше відмінників, а в іншу – більше невдах, то середні бали вибірки та помилки вибірки будуть різними.
Тому у статистиці визначається середня помилка повторної та безповторної вибірки у вигляді її питомого середнього квадратичного відхилення за формулами
= - повторна; (1.35)
= - безповторна; (1.36)
де Дв - вибіркова дисперсія, яка визначається при кількісній ознакі статистичних величин за звичайними формулами з гл.2.
При альтернативній або атрибутивній ознакі вибіркова дисперсія визначається за формулою
Дв = w(1-w). (1.37)
З формул (1.35) і (1.36) видно, що середня помилка менша у безповторної вибірки, що і зумовлює її ширше застосування.
Гранична помилка вибірки
Враховуючи, що на основі вибіркового обстеження не можна точно оцінити параметр, що вивчається (наприклад, середнє значення) генеральної сукупності, необхідно знайти межі, в яких він знаходиться. У конкретній вибірці різниця може бути більшою, меншою або дорівнює. Кожне з відхилень має певну ймовірність. При вибірковому обстеженні реальне значення у генеральній сукупності невідомо. Знаючи середню помилку вибірки, з певною ймовірністю можна оцінити відхилення вибіркової середньої від генеральної і встановити межі, в яких знаходиться параметр (в даному випадку середнє значення) в генеральній сукупності. Відхилення вибіркової характеристики від генеральної називається граничною помилкою вибірки.Вона визначається частках середньої помилки із заданою ймовірністю, тобто.
= t, (1.38)
де t - коефіцієнт довіри, який залежить від ймовірності, з якої визначається гранична помилка вибірки.
Імовірність появи певної помилки вибірки знаходять за допомогою теорії теорії ймовірностей. Відповідно до теореми П. Л. Чебишева, при досить великому обсязі вибірки та обмеженої дисперсії генеральної сукупності ймовірність того, що різниця між вибірковою середньою та генеральною середньою буде як завгодно мала, близька до одиниці:
А. М. Ляпунов довів, що незалежно від характеру розподілу генеральної сукупності зі збільшенням обсягу вибірки розподіл ймовірностей появи того чи іншого значення вибіркової середньої наближається до нормального розподілу. Це так звана центральна гранична теорема. Отже, можливість відхилення вибіркової середньої від генеральної середньої, тобто. ймовірність появи заданої граничної помилки також підпорядковується зазначеному закону і може бути знайдена як функція від tза допомогою інтеграла ймовірностей Лапласа:
де - нормоване відхилення вибіркової середньої від генеральної середньої.
Значення інтеграла Лапласа для різних tрозраховані та є у спеціальних таблицях, з яких у статистиці широко застосовується поєднання:
|
Ймовірність |
||||||||
Задавшись конкретним рівнем ймовірності, вибирають величину нормованого відхилення tта визначають граничну помилку вибірки за формулою (1.38)
При цьому найчастіше застосовують = 0,95 та t= 1,96, тобто. вважають, що з ймовірністю 95% гранична помилка вибірки вдвічі більша за середню. Тому у статистиці величина tіноді називається коефіцієнтом кратності граничної помилки щодо середньої.
Після обчислення граничної помилки знаходять довірчий інтервал узагальнюючої характеристики генеральної сукупності. Такий інтервал для генеральної середньої величини має вигляд
(-) (+), (1.39)
а для генеральної частки аналогічно
(w-) p (w+). (1.40)
Отже, при вибірковому спостереженні визначається не одне, точне значення узагальнюючої характеристики генеральної сукупності, лише її довірчий інтервал із заданим рівнем ймовірності. І це серйозна вада вибіркового методу статистики.
Визначення чисельності вибірки
Розробляючи програму вибіркового спостереження, іноді ставляться конкретним значенням граничної помилки з рівнем ймовірності. Невідомою залишається мінімальна чисельність вибірки, що забезпечує задану точність. Її можна отримати з формул середньої та граничної помилок залежно від типу вибірки. Так, підставляючи формули спочатку (1.35) і потім (1.36) у формулу (1.38) і вирішуючи її щодо чисельності вибірки, отримаємо такі формули
для повторної вибірки
для безповторної вибірки
Крім того, при статистичних величинах з кількісними ознаками треба знати і вибіркову дисперсію, але до початку розрахунків вона не відома. Тому вона приймається приблизно одним із наступних способів:
береться із попередніх вибіркових спостережень;
за правилом, згідно з яким у розмаху варіації укладається приблизно шість стандартних відхилень (R/ = 6 або R/ = 6; звідси Д = R 2 /36);
За правилом «трьох сигм», згідно з яким у середній величині укладається приблизно три стандартні відхилення (/ =3; звідси = /3 або Д = 2 /9).
При вивченні не чисельних ознак, якщо навіть немає приблизних відомостей про вибіркову частку, приймається w= 0,5, що за формулою (1.37) відповідає вибірковій дисперсії у розмірі Дв = 0,5(1-0,5) = 0,25.
Статистична сукупність- безліч одиниць, що володіють масовістю, типовістю, якісною однорідністю та наявністю варіації.
Статистична сукупність складається з матеріально існуючих об'єктів (працівники, підприємства, країни, регіони), є об'єктом .
Одиниця сукупності- Кожна конкретна одиниця статистичної сукупності.
Одна і та сама статистична сукупність може бути однорідна за однією ознакою і неоднорідна за іншою.
Якісна однорідність- подібність всіх одиниць сукупності за якоюсь ознакою і відмінність за всіма іншими.
У статистичній сукупності відмінності однієї одиниці сукупності з іншого частіше мають кількісну природу. Кількісні зміни значень ознаки різних одиниць сукупності називаються варіацією.
Варіація ознаки- кількісна зміна ознаки (для кількісної ознаки) під час переходу від однієї одиниці сукупності до іншої.
Ознака- це властивість, характерна рисаабо інша особливість одиниць, об'єктів та явищ, яка може бути спостерігається або виміряна. Ознаки поділяються на кількісні та якісні. Розмаїття та мінливість величини ознаки в окремих одиниць сукупності називається варіацією.
Атрибутивні (якісні) ознаки не піддаються числовому вираженню (склад населення за статтю). Кількісні ознаки мають числове вираження (склад населення віком).
Показник- це узагальнююча кількісно якісна характеристика будь-якої властивості одиниць або сукупності загалом у конкретних умовах часу та місця.
Система показників- це сукупність показників всебічно відображають явище, що вивчається.
Наприклад, вивчається зарплата:- Ознака - оплата праці
- Статистична сукупність – усі працівники
- Одиниця сукупності – кожен працівник
- Якісна однорідність - нарахована зарплата
- Варіація ознаки - ряд цифр
Генеральна сукупність та вибірка з неї
Основу становить безліч даних, отриманих у результаті виміру однієї чи кількох ознак. Реально спостерігається сукупність об'єктів, статистично представлена рядом спостережень випадкової величини вибіркою, А гіпотетично існуюча (домислюється) генеральною сукупністю. Генеральна сукупність може бути кінцевою (число спостережень N = const) або нескінченною ( N = ∞), а вибірка з генеральної сукупності — це результат обмеженого низки спостережень. Число спостережень, що утворюють вибірку, називається обсягом вибірки. Якщо обсяг вибірки досить великий ( n → ∞) вибірка вважається великий, інакше вона називається вибіркою обмеженого обсягу. Вибірка вважається малоїякщо при вимірюванні одновимірної випадкової величини обсяг вибірки не перевищує 30 ( n<= 30 ), а при вимірі одночасно декількох ( k) ознак у багатовимірному просторі відношення nдо kне перевищує 10 (n/k< 10) . Вибірка утворює варіаційний ряд, якщо її члени є порядковими статистиками, тобто вибіркові значення випадкової величини Хупорядковані за зростанням (ранжовані), значення ж ознаки називаються варіантами.
Приклад. Практично одна й та сама випадково відібрана сукупність об'єктів - комерційних банків одного адміністративного округу Москви, може розглядатися як вибірка з генеральної сукупності всіх комерційних банків цього округу, і як вибірка з генеральної сукупності всіх комерційних банків Москви, а також як вибірка з комерційних банків країни та і т.д.
Основні способи організації вибірки
Достовірність статистичних висновків та змістовна інтерпретація результатів залежить від репрезентативностівибірки, тобто. повноти і адекватності уявлення властивостей генеральної сукупності, стосовно якої цю вибірку вважатимуться представницької. Вивчення статистичних властивостей сукупності можна організувати двома способами: за допомогою суцільногоі несплошного. Суцільне спостереженняпередбачає обстеження всіх одиницьвивчається сукупності, а несуцільне (вибіркове) спостереження- Тільки його частини.
Існують п'ять основних способів організації вибіркового спостереження:
1. простий випадковий відбір, при якому об'єкти випадково вилучаються з генеральної сукупності об'єктів (наприклад, за допомогою таблиці або датчика випадкових чисел), причому кожна з можливих вибірок мають рівну ймовірність. Такі вибірки називаються власне-випадковими;
2. простий відбір за допомогою регулярної процедуриздійснюється за допомогою механічної складової (наприклад, дати, дня тижня, номера квартири, літери алфавіту та ін.) та отримані таким способом вибірки називаються механічними;
3. стратифікованийВідбір полягає в тому, що генеральна сукупність обсягу поділяється на підсукупності або шари (страти) обсягу так що . Страти є однорідні об'єкти з погляду статистичних характеристик (наприклад, населення ділиться на страти по віковим групам чи соціальної власності; підприємства — по галузях). У цьому випадку вибірки називаються стратифікованим(інакше, розшарованими, типовими, районованими);
4. методи серійноговідбору використовуються для формування серійнихабо гніздових вибірок. Вони зручні у разі, якщо необхідно обстежити відразу " блок " чи серію об'єктів (наприклад, партію товару, продукцію певної серії чи населення при територіально-адміністративному розподілі країни). Відбір серій можна здійснити власне-випадковим чи механічним способом. При цьому проводиться суцільне обстеження певної партії товару або цілої територіальної одиниці (житлового будинку або кварталу);
5. комбінований(ступінчастий) відбір може поєднувати в собі відразу кілька способів відбору (наприклад, стратифікований та випадковий або випадковий та механічний); така вибірка називається комбінованої.
Види відбору
за видурозрізняються індивідуальний, груповий та комбінований відбір. При індивідуальному відборіу вибіркову сукупність відбираються окремі одиниці генеральної сукупності, груповий відбір- якісно однорідні групи (серії) одиниць, а комбінований відбірпередбачає поєднання першого та другого видів.
за методомвідбору розрізняють повторну та безповторнувибірку.
Безповторнимназивається відбір, у якому що потрапила вибірку одиниця не повертається у вихідну сукупність й у подальшому виборі бере участь; при цьому чисельність одиниць генеральної сукупності Nскорочується у процесі відбору. При повторномувідборі потрапилау вибірку одиниця після реєстрації повертається в генеральну сукупність і таким чином зберігає рівну можливість поряд з іншими одиницями бути використаною у подальшій процедурі відбору; при цьому чисельність одиниць генеральної сукупності Nзалишається незмінною (метод у соціально-економічних дослідженнях застосовується рідко). Проте, за великого N (N → ∞)формули для безповторноговідбору наближаються до аналогічних для повторноговідбору та практично частіше використовуються останні ( N = const).
Основні характеристики параметрів генеральної та вибіркової сукупності
В основі статистичних висновків проведеного дослідження лежить розподіл випадкової величини (х 1, х 2, …, х n)називаються реалізаціями випадкової величини Х(n – обсяг вибірки). Розподіл випадкової величини в генеральній сукупності має теоретичний, ідеальний характер, а її вибірковий аналог є емпіричнимрозподілом. Деякі теоретичні розподіли задані аналітично, тобто. їх параметривизначають значення функції розподілу у кожній точці простору можливих значень випадкової величини. Для вибірки функцію розподілу визначити важко, а іноді неможливо, тому параметриоцінюють за емпіричними даними, а потім їх підставляють у аналітичний вираз, що описує теоретичний розподіл. При цьому припущення (або гіпотеза) про вид розподілу може бути як статистично вірним, і помилковим. Але в будь-якому випадку відновлений за вибіркою емпіричний розподіл лише грубо характеризує справжнє. Найважливішими параметрами розподілу є математичне очікуваннята дисперсія.
За своєю природою розподілу бувають безперервнимиі дискретними. Найбільш відомим безперервним розподілом є нормальне. Вибірковими аналогами параметрів і для нього є: середнє значення та емпірична дисперсія. Серед дискретних у соціально-економічних дослідженнях найчастіше застосовується альтернативне (дихотомічне)розподіл. Параметр математичного очікування цього розподілу виражає відносну величину (або частку) одиниць сукупності, які мають досліджувану ознаку (вона позначена буквою ); частка сукупності, що не має цієї ознаки, позначається буквою q (q = 1 - p). Дисперсія альтернативного розподілу також має емпіричний аналог .
Залежно від виду розподілу та способу відбору одиниць сукупності по-різному обчислюються характеристики параметрів розподілу. Основні з них для теоретичного та емпіричного розподілів наведені у табл. 1.
Часткою вибірки k nназивається відношення числа одиниць вибіркової сукупності до одиниць генеральної сукупності:
k n = n/N.
Вибіркова частка w- Це відношення одиниць, що володіють ознакою, що вивчається xдо обсягу вибірки n:
w = n n /n.
приклад.У партії товару, що містить 1000 од., при 5% вибірці частка вибірки k nв абсолютній величині становить 50 од. (n = N * 0,05); якщо ж у цій вибірці виявлено 2 браковані вироби, то вибіркова частка шлюбу wстановитиме 0,04 (w = 2/50 = 0,04 або 4%).
Оскільки вибіркова сукупність відрізняється від генеральної, то виникають помилки вибірки.
Таблиця 1. Основні параметри генеральної та вибіркової сукупностей
Помилки вибірки
При будь-якому (суцільному та вибірковому) можуть зустрітися помилки двох видів: реєстрації та репрезентативності. Помилки реєстраціїможуть мати випадковийі систематичнийхарактер. Випадковіпомилки складаються з безлічі різних неконтрольованих причин, носять ненавмисний характер і зазвичай за сукупністю врівноважують один одного (наприклад, зміни показників приладу при температурних коливаннях у приміщенні).
Систематичніпомилки тенденційні, тому що порушують правила відбору об'єктів у вибірку (наприклад, відхилення у вимірах при зміні налаштування вимірювального приладу).
приклад.Для оцінки соціального становища населення місті передбачено обстежити 25% сімей. Якщо при цьому вибір кожної четвертої квартири заснований на її номері, існує небезпека відібрати всі квартири тільки одного типу (наприклад, однокімнатні), що забезпечить систематичну помилку і спотворить результати; вибір номера квартири по жеребу більш кращий, так як помилка буде випадковою.
Помилки репрезентативностіпритаманні лише вибірковому спостереженню, їх неможливо уникнути і вони виникають у результаті те, що вибіркова сукупність в повному обсязі відтворює генеральну. Значення показників, одержуваних за вибіркою, відрізняються від показників цих самих величин у генеральній сукупності (або одержуваних при суцільному спостереженні).
Помилка вибіркового спостереженняє різниця між значенням параметра в генеральній сукупності та її вибірковим значенням. Для середнього значення кількісної ознаки вона дорівнює: , а частки (альтернативного ознаки) — .
Помилки вибірки властиві лише вибірковим спостереженням. Чим більші ці помилки, тим більший емпіричний розподіл відрізняється від теоретичного. Параметри емпіричного розподілу є випадковими величинами, отже, помилки вибірки також є випадковими величинами, можуть приймати для різних вибірок різні значення і тому прийнято обчислювати середню помилку.
Середня помилка вибіркиє величина, що виражає середнє квадратичне відхилення вибіркової середньої від математичного очікування. Ця величина за дотримання принципу випадкового відбору залежить передусім від обсягу вибірки і зажадав від ступеня варіювання ознаки: що більше і менше варіація ознаки (отже, і значення ), тим менше величина середньої помилки вибірки . Співвідношення між дисперсіями генеральної та вибіркової сукупностей виражається формулою:
тобто. при досить великих вважатимуться, що . Середня помилка вибірки показує можливі відхилення параметра вибіркової сукупності від генерального параметра. У табл. 2 наведено вирази для обчислення середньої помилки вибірки за різних методів організації спостереження.
Таблиця 2. Середня помилка (m) вибіркових середньої та частки для різних видів вибірки
Де - середня із внутрішньогрупових вибіркових дисперсій для безперервної ознаки;
Середня із внутрішньогрупових дисперсій частки;
- Кількість відібраних серій, - Загальна кількість серій;
,
де - середня серії;
- загальна середня по всій вибірковій сукупності для безперервної ознаки;
,
де - частка ознаки в серії;
- Загальна частка ознаки по всій вибірковій сукупності.
Однак про величину середньої помилки можна судити лише з певною ймовірністю Р (Р ≤ 1). Ляпунов О.М. довів, що розподіл вибіркових середніх , а отже, та його відхилень від генеральної середньої, за досить великому числі приблизно підпорядковується нормальному закону розподілу за умови, що генеральна сукупність має кінцевої середньої та обмеженої дисперсією.
Математично це твердження для середньої виражається у вигляді:
а для частки вираз (1) набуде вигляду:
де 
-
є гранична помилка вибірки, яка кратна величині середньої помилки вибірки ,
а коефіцієнт кратності - є критерій Стьюдента ("коефіцієнт довіри"), запропонований У.С. Держсетом (псевдонім "Student"); значення для різного обсягу вибірки зберігаються у спеціальній таблиці.
Отже, вираз (3) може бути прочитаний так: з ймовірністю Р = 0,683 (68,3%)можна стверджувати, що різниця між вибірковою та генеральною середньою не перевищить однієї величини середньої помилки m (t = 1), з ймовірністю Р = 0,954 (95,4%)що вона не перевищить величини двох середніх помилок m (t = 2),з ймовірністю Р = 0,997 (99,7%)- не перевищить трьох значень m (t = 3).Таким чином, ймовірність того, що ця різниця перевищить триразову величину середньої помилки, визначає рівень помилкиі становить не більше 0,3% .
У табл. 3 наведено формули для обчислення граничної помилки вибірки.
Таблиця 3. Гранична помилка (D) вибірки для середньої та частки (р) для різних видів вибіркового спостереження
Поширення вибіркових результатів на генеральну сукупність
Кінцевою метою вибіркового спостереження є характеристика генеральної сукупності. При малих обсягах вибірки емпіричні оцінки параметрів (і) можуть суттєво відхилятися від їх справжніх значень (і). Тому виникає потреба встановити межі, у яких для вибіркових значень параметрів ( і ) лежать справжні значення ( і ).
Довірчим інтерваломбудь-якого параметра θгенеральної сукупності називається випадкова область значень цього параметра, яка з ймовірністю близькою до 1 ( надійністю) містить дійсне значення цього параметра.
Гранична помилкавибірки Δ дозволяє визначити граничні значення характеристик генеральної сукупності та їх довірчі інтервали, які рівні:
Нижня межа довірчого інтервалуотримана шляхом віднімання граничної помилкиз вибіркового середнього (частки), а верхня – шляхом її додавання.
Довірчий інтервалдля середньої використовує граничну помилку вибірки та для заданого рівня достовірності визначається за формулою:
Це означає, що із заданою ймовірністю Ряка називається довірчим рівнем і однозначно визначається значенням t, можна стверджувати, що справжнє значення середньої лежить у межах від 
а справжнє значення частки - в межах від
Під час розрахунку довірчого інтервалу для трьох стандартних довірчих рівнів Р = 95%, Р = 99% та Р = 99,9%значення вибирається за . Програми в залежності від кількості ступенів свободи. Якщо обсяг вибірки досить великий, то відповідні цим можливостям значення tрівні: 1,96, 2,58 і 3,29 . Таким чином, гранична помилка вибірки дозволяє визначити граничні значення характеристик генеральної сукупності та їх довірчі інтервали:
Поширення результатів вибіркового спостереження на генеральну сукупність у соціально-економічних дослідженнях має свої особливості, оскільки потребує повноти представництва всіх її типів та груп. Основою для можливості такого розповсюдження є розрахунок відносної помилки:
де Δ % - відносна гранична помилка вибірки; , .
Існують два основних методи поширення вибіркового спостереження на генеральну сукупність: прямий перерахунок та спосіб коефіцієнтів.
Сутність прямого перерахункуполягає в множенні вибіркового середнього значення!! \ overline (x) на обсяг генеральної сукупності .
Приклад. Нехай середня кількість дітей ясельного віку в місті оцінена вибірковим методом і склала людину. Якщо місті 1000 молодих сімей, то кількість необхідних місць у муніципальних дитячих яслах отримують множенням цієї середньої чисельність генеральної сукупності N = 1000, тобто. становитиме 1200 місць.
Спосіб коефіцієнтівдоцільно використовувати у разі, коли вибіркове спостереження проводиться з метою уточнення даних суцільного спостереження.
При цьому використовують формулу:
де всі змінні - це чисельність сукупності:
Необхідний обсяг вибірки
Таблиця 4. Необхідний обсяг (n) вибірки для різних видів організації вибіркового спостереження
При плануванні вибіркового спостереження із заздалегідь заданим значенням припустимої помилки вибірки необхідно правильно оцінити необхідний обсяг вибірки. Цей обсяг може бути визначений на основі припустимої помилки при вибірковому спостереженні, виходячи із заданої ймовірності, що гарантує допустиму величину рівня помилки (з урахуванням способу організації спостереження). Формули визначення необхідної чисельності вибірки n легко отримати безпосередньо з формул граничної помилки вибірки. Так, з висловлювання для граничної помилки:
безпосередньо визначається обсяг вибірки n:
Ця формула показує, що зі зменшенням граничної помилки вибірки Δ істотно збільшується необхідний обсяг вибірки, який пропорційний дисперсії та квадрату критерію Стьюдента.
Для конкретного способу організації спостереження необхідний обсяг вибірки обчислюється згідно з формулами, наведеними в таблиці. 9.4.
Практичні приклади розрахунку
Приклад 1. Обчислення середнього значення та довірчого інтервалу для безперервної кількісної ознаки.
Для оцінки швидкості розрахунку з кредиторами у банку проведено випадкову вибірку 10 платіжних документів. Їх значення виявилися рівними (в днях): 10; 3; 15; 15; 22; 7; 8; 1; 19; 20.
Необхідно з ймовірністю Р = 0,954визначити граничну помилку Δ вибіркової середньої та довірчі межі середнього часу розрахунків.
Рішення.Середнє значення обчислюється за такою формулою з табл. 9.1 для вибіркової сукупності
Дисперсія обчислюється за такою формулою з табл. 9.1.
Середня квадратична похибка дня.
Помилка середньої обчислюється за такою формулою:
тобто. середнє значення дорівнює x ± m = 12,0 ± 2,3 дні.
Достовірність середнього склала
Граничну помилку обчислимо за такою формулою з табл. 9.3 для повторного відбору, оскільки чисельність генеральної сукупності невідома, та Р = 0,954рівня достовірності.
Таким чином, середнє значення дорівнює x±D = `x±2m = 12,0±4,6, тобто. його справжнє значення лежить у межах від 74 до 166 днів.
Використання таблиці Стьюдента. Додатки дозволяє зробити висновок, що з n = 10 — 1 = 9 ступенів свободи отримане значення достовірно з рівнем значимості a £ 0,001, тобто. набуте значення середнього достовірно відрізняється від 0.
Приклад 2. Оцінка ймовірності (генеральної частки) нар.
При механічному вибірковому способі обстеження соціального стану 1000 сімей виявлено, що частка малозабезпечених сімей становить w = 0,3 (30%)(вибірка була 2% , тобто. n/N = 0,02). Необхідно з рівнем достовірності р = 0,997визначити показник рмалозабезпечених сімей у всьому регіоні.
Рішення.За представленими значеннями функції Ф(t)знайдемо для заданого рівня достовірності Р = 0,997значення t = 3(Див. формулу 3). Граничну помилку частки wвизначимо за формулою із табл. 9.3 для безповторного відбору (механічна вибірка завжди є безповторною):
Гранична відносна помилка вибірки в % складе:
Імовірність (генеральна частка) малозабезпечених сімей у регіоні становитиме р=w±Δw, А довірчі межі р обчислюються виходячи з подвійної нерівності:
w - Δ w ≤ p ≤ w - Δ w, тобто. істинне значення р лежить у межах:
0,3 — 0,014 < p <0,3 + 0,014, а именно от 28,6% до 31,4%.
Таким чином, із ймовірністю 0,997 можна стверджувати, що частка малозабезпечених сімей серед усіх сімей регіону становить від 28,6% до 31,4%.
Приклад 3.Обчислення середнього значення та довірчого інтервалу для дискретної ознаки, заданої інтервальним рядом.
У табл. 5. задано розподіл заявок виготовлення замовлень за термінами їх виконання предприятием.
Таблиця 5. Розподіл спостережень за термінами появиРішення. Середній термін виконання заявок обчислюється за такою формулою:
Середній термін складе:
= (3 * 20 + 9 * 80 + 24 * 60 + 48 * 20 + 72 * 20) / 200 = 23,1 міс.
Ті ж відповіді отримаємо, якщо використовуємо дані про р i з передостанньої колонки табл. 9.5, використовуючи формулу:
Зауважимо, що середина інтервалу для останньої градації знаходиться шляхом штучного її доповнення шириною інтервалу попередньої градації, що дорівнює 60 - 36 = 24 міс.
Дисперсія обчислюється за формулою
де х i- Середина інтервального ряду.
Отже!!\sigma = \frac (20 ^ 2 + 14 ^ 2 + 1 + 25 ^ 2 + 49 ^ 2) (4), а середня квадратична похибка .
Помилка середньої обчислюється за такою формулою міс., тобто. середнє значення дорівнює!! \ overline (x) ± m = 23,1 ± 13,4.
Граничну помилку обчислимо за такою формулою з табл. 9.3 для повторного відбору, оскільки чисельність генеральної сукупності невідома, для 0,954 рівня достовірності:
Таким чином, середнє значення дорівнює:
тобто. його справжнє значення лежить у межах від 0 до 50 місяців.
Приклад 4.Для визначення швидкості розрахунків із кредиторами N = 500 підприємств корпорації у комерційному банку необхідно провести вибіркове дослідження методом випадкового безповторного відбору. Визначити необхідний обсяг вибірки n, щоб із ймовірністю Р = 0,954 помилка середнього значення вибірки не перевищувала 3-х днів, якщо пробні оцінки показали, що середнє відхилення квадратне s склало 10 днів.
Рішення. Для визначення кількості необхідних досліджень n скористаємося формулою для відбору безповторного з табл. 9.4:
У ній значення t визначається з рівня достовірності Р = 0,954. Воно дорівнює 2. Середнє квадратичне значення s = 10, обсяг генеральної сукупності N = 500, а гранична помилка середнього значення Δ x = 3. Підставляючи ці значення у формулу, отримаємо:
тобто. вибірку достатньо скласти з 41 підприємства, щоб оцінити потрібний параметр швидкість розрахунків з кредиторами.
