МБОУ ЗОШ №17 м. Іванова

« Рівняння з модулем»
Методична розробка

Складено

вчителем математики

Лебедєвої Н.В.

20010

Пояснювальна записка

Розділ 1. Вступ

Розділ 2. Основні властивості Розділ 3. Геометрична інтерпретація поняття модуля числа Розділ 4. Графік функції у = | Розділ 5. Умовні позначення

Розділ 2. Розв'язання рівнянь, що містять модуль

Розділ 1.Рівняння виду | F (х) | = m (найпростіші) Розділ 2. Рівняння виду F(|х|) = m Розділ 3. Рівняння виду | F (х) | = G(х) Розділ 4. Рівняння виду | F (х) | = ± F(х) (красиві) Розділ 5. Рівняння виду | F (х) | = | G (х) | Розділ 6. Приклади розв'язання нестандартних рівнянь Розділ 7. Рівняння виду | F (х) | + | G (х) | = 0 Розділ 8. Рівняння виду | а 1 х ± 1 | ± |а 2 х ± 2 | ± …|а n х ± у n | = m Розділ 9. Рівняння, що містять кілька модулів

Глава 3. Приклади розв'язання різних рівнянь із модулем.

Розділ 1. Тригонометричні рівняння Розділ 2. Показові рівняння Розділ 3. Логарифмічні рівняння Розділ 4. Ірраціональні рівняння Розділ 5. Завдання підвищеної складності Відповіді до вправ Список літератури

Пояснювальна записка.

Поняття абсолютної величини (модуля) дійсного числа є одним із суттєвих його характеристик. Це поняття має стала вельми поширеною у різних розділах фізико-математичних і технічних наук. У практиці викладання курсу математики в середній школі відповідно до Програми МО РФ поняття «абсолютна величина числа» зустрічається неодноразово: у 6-му класі вводитиметься визначення модуля, його геометричний зміст; у 8 – м класі формується поняття абсолютної похибки, розглядається вирішення найпростіших рівнянь та нерівностей, що містять модуль, вивчаються властивості арифметичного квадратного кореня; в 11-му класі поняття зустрічається в розділі «Корінь n-ой ступеня».Досвід викладання показує, що учні часто стикаються з труднощами під час вирішення завдань, що вимагають знання даного матеріалу, а нерідко пропускають, не приступаючи до виконання. У текстах екзаменаційних завдань за курс 9-ого та 11-ого класів також включені подібні завдання. Крім того, вимоги, які пред'являють до випускників шкіл ВНЗ, відрізняються, а саме, вищого рівня, ніж вимоги шкільної програми. Для життя в суспільстві дуже важливим є формування математичного стилю мислення, що проявляється в певних розумових навичках. У процесі вирішення завдань із модулями потрібно вміння застосовувати такі прийоми, як узагальнення та конкретизація, аналіз, класифікація та систематизація, аналогія. Вирішення подібних завдань дозволяє перевірити знання основних розділів шкільного курсу, рівень логічного мислення, початкові навички дослідницької діяльності. Ця робота присвячена одному з розділів - вирішення рівнянь, що містять модуль. Вона складається з трьох розділів. У першому розділі вводяться основні поняття та найважливіші теоретичні викладки. У другому розділі пропонуються дев'ять основних типів рівнянь, що містять модуль, розглядаються методи їх вирішення, розбираються приклади різного рівня складності. У третьому розділі пропонуються складніші і нестандартні рівняння (тригонометричні, показові, логарифмічні та ірраціональні). До кожного типу рівнянь є вправи для самостійного вирішення (відповіді та вказівки додаються). Основне призначення даної роботи - це надання методичної допомоги викладачам при підготовці до уроків та при організації факультативних курсів. Матеріал також може бути використаний як навчальний посібник для старшокласників. Завдання, запропоновані в роботі, цікаві і не завжди прості у вирішенні, що дозволяє зробити навчальну мотивацію учнів більш усвідомленою, перевірити свої здібності, підвищити рівень підготовки випускників шкіл до вступу до ВНЗ. Диференційований підбір запропонованих вправ передбачає перехід від репродуктивного рівня засвоєння матеріалу до творчого, і навіть можливість навчити застосовувати свої знання під час вирішення нестандартних завдань.

Розділ 1. Вступ.

Розділ 1. Визначення абсолютної величини .

Визначення : Абсолютною величиною (модулем) дійсного числа аназивається невід'ємне число: аабо -А. Позначення: │ а │ Запис читається так: «модуль числа а» або «абсолютна величина числа а»

│ а якщо а > 0

│а│ = │ 0, якщо а = 0 (1)

│ - а, якщо а
Приклади: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

Розкрити модуль виразу:

а) │х - 8│, якщо х > 12 б) │2х + 3│, якщо х ≤ -2 │х – 8│= х – 8 │ 2х + 3│= - 2х – 3

Розділ 2. Основні характеристики.

Розглянемо основні властивості абсолютної величини. Властивість №1: Протилежні числа мають рівні модулі, тобто. │а│=│- а│Покажемо вірність рівності. Запишемо визначення числа – а : │- а│= (2) Порівняємо сукупності (1) та (2). Очевидно, що визначення абсолютних величин чисел аі – азбігаються. Отже, │а│=│- а│
При розгляді наступних властивостей обмежимося їх формулюванням, тому що їх доказ наводиться в Властивість №2: Абсолютна величина суми кінцевого числа дійсних чисел не перевищує суми абсолютних величин доданків: │а 1 + а 2 +…+ а n │ ≤│а 1 │+│а 2 │+ … + │а n │ Властивість №3: Абсолютна величина різниці двох дійсних чисел не перевищує суми їх абсолютних величин: │а - в│ ≤│а│+│в│ Властивість №4: Абсолютна величина твору кінцевого числа дійсних чисел дорівнює добутку абсолютних величин множників: │а · в│=│а│·│в│ Властивість №5: Абсолютна величина частки дійсних чисел дорівнює приватному їх абсолютних величин:

Розділ 3. Геометрична інтерпретація поняття модуля числа.

Кожному дійсному числу можна поставити у відповідність точку на числовій прямій, яка буде геометричним зображенням цього дійсного числа. Кожній точці на числовій прямий відповідає відстань від початку відліку, тобто. довжина відрізка від початку відліку до цієї точки. Ця відстань сприймається завжди як величина неотрицательная. Тому довжина відповідного відрізка і буде геометричною інтерпретацією абсолютної величини цього дійсного числа.

Подана геометрична ілюстрація наочно підтверджує якість №1, тобто. модулі протилежних чисел рівні. Звідси легко розуміється справедливість рівності: │х – а│= │а – х│. Також більш очевидним стає рішення рівняння │х│= m, де m ≥ 0, а саме х 1,2 = ± m. Приклади: 1) │х│= 4 х 1,2 = ± 4 2) │х - 3│= 1
х 1,2 = 2; 4

Розділ 4. Графік функції у = │х│

Область визначення цієї функції все дійсні числа.

Розділ 5. Умовні позначення.

Надалі при розгляді прикладів розв'язання рівнянь будуть використані такі умовні позначення: ( - знак системи [ - знак сукупності При розв'язанні системи рівнянь (нерівностей) знаходиться перетин рішень входять до системи рівнянь (нерівностей). При розв'язанні сукупності рівнянь (нерівностей) знаходиться об'єднання рішень, що входять до сукупності рівнянь (нерівностей).

Глава 2. Розв'язання рівнянь, що містять модуль.

У цьому розділі ми розглянемо способи розв'язання алгебри рівнянь, що містять один або більше модуль.

Розділ 1. Рівняння виду │F(х)│= m

Рівняння цього виду називається найпростішим. Воно має рішення тоді і тільки тоді, коли m ≥ 0. За визначенням модуля, вихідне рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: │ F(х)│=m
Приклади:
№1. Розв'яжіть рівняння: │7х - 2│= 9


Відповідь: х 1 = - 1; х 2 = 1 4 / 7 №2
│х 2 + 3х + 1│= 1

х 2 + 3х + 2 = 0 х 2 +3х = 0 х 1 = -1; х 2 = -2 х · (х + 3) = 0 х 1 = 0; х 2 = -3 Відповідь: сума коренів дорівнює - 2.№3
│х 4 -5х 2 + 2│= 2 х 4 – 5х 2 = 0 х 4 – 5х 2 + 4 = 0 х 2 · (х 2 – 5) = 0 позначимо х 2 = m, m ≥ 0 х = 0 ; ±√5 m 2 – 5m + 4 = 0 m = 1; 4 – обидва значення задовольняють умові m ≥ 0 х 2 = 1 х 2 = 4 х = ± 1 х = ± 2 Відповідь: кількість коренів рівняння 7. Вправи:
№1. Розв'яжіть рівняння та вкажіть суму коренів: │х - 5│= 3 №2 . Розв'яжіть рівняння та вкажіть менший корінь: │х 2 + х│= 0 №3 . Розв'яжіть рівняння та вкажіть більший корінь: │х 2 – 5х + 4│= 4 №4 .Рішіть рівняння та вкажіть цілий корінь: │2х 2 – 7х + 6│= 1 №5 .Рішіть рівняння та вкажіть кількість коренів: │х 4 – 13х 2 + 50│= 14

Розділ 2. Рівняння виду F(│х│) = m

Аргумент функції у лівій частині перебуває під знаком модуля, а права частина залежить від змінної. Розглянемо два способи розв'язання рівнянь даного виду. 1 спосіб:За визначенням абсолютної величини вихідне рівняння рівносильне сукупності двох систем. У кожній з яких накладається умова підмодульне вираз. F(│х│) =m
Оскільки функція F(│х│) – парна по всій області визначення, то коріння рівнянь F(х) = m і F(-х) = m – це пари протилежних чисел. Тому досить вирішити одну із систем (при розгляді прикладів вказаним способом буде наводитися рішення однієї системи). 2 спосіб:Застосування методу запровадження нової змінної. При цьому вводиться позначення │х│= а де а ≥ 0. Даний спосіб менш об'ємний по оформленню.
Приклади: №1 . Розв'яжіть рівняння: 3х 2 – 4│х│= - 1 Скористаємося введенням нової змінної. Позначимо │х│= а, де а ≥ 0. Отримаємо рівняння 3а 2 - 4а + 1 = 0 Д = 16 – 12 = 4 а 1 = 1 а 2 = 1/3 Повертаємось до вихідної змінної: │х│=1 та │х│= 1/3 . Кожне рівняння має два корені. Відповідь: х 1 = 1; х 2 = - 1; х 3 = 1 / 3 ; х 4 = - 1 / 3 . №2. Розв'яжіть рівняння: 5х 2 + 3│х│- 1 = 1 / 2 │х│ + 3х 2
Знайдемо рішення першої системи сукупності: 4х 2 + 5х – 2 =0 Д = 57 х 1 = -5+√57 / 8 х 2 = -5-√57 / 8 Зауважимо, що х 2 не задовольняє умову х ≥ 0. Рішенням другий системи буде число, протилежне до значення х 1 . Відповідь: х 1 = -5+√57 / 8 ; х 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Розв'яжіть рівняння: х 4 – │х│= 0 Позначимо │х│= а, де а ≥ 0. Отримаємо рівняння а 4 – а = 0 а · (а 3 – 1) = 0 а 1 = 0 а 2 = 1 Повертаємось до вихідної змінної: │х│=0 та │х│= 1 х = 0; ± 1 Відповідь: х 1 = 0; х 2 = 1; х 3 = - 1.
Вправи: №6. Розв'яжіть рівняння: 2│х│ - 4,5 = 5 – 3 / 8 │х│ №7 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть кількість коренів: 3х 2 - 7│х│ + 2 = 0 №8 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть цілі рішення: х 4 + │х│ - 2 = 0

Розділ 3. Рівняння виду │F(х)│ = G(х)

Права частина рівняння даного виду залежить від змінної і, отже, має рішення тоді і лише тоді, коли права частина функція G(х) ≥ 0. Вихідне рівняння можна вирішити двома способами: 1 спосіб:Стандартний, заснований на розкритті модуля, виходячи з його визначення і полягає в рівносильному переході до сукупності двох систем. │ F(х)│ =G(х)

Даний спосіб раціонально використовувати у разі складного виразу для функції G(x) і менш складного – для функції F(х), тому що передбачається вирішення нерівностей з функцією F(х). 2 спосіб:Перебуває у переході до рівносильної системі, у якій накладається умова праву частина. │ F(x)│= G(x)

Даний спосіб зручніше застосовувати, якщо вираз для функції G(х) менш складний, ніж для функції F(х), тому що передбачається розв'язання нерівності G(х) ≥ 0. Крім того, у випадку кількох модулів цей спосіб рекомендується застосовувати другий варіант. Приклади: №1. Розв'яжіть рівняння: │х + 2│= 6 -2х
(1 спосіб) Відповідь: х = 1 1 / 3 №2.
│х 2 – 2х - 1│= 2·(х + 1)
(2 спосіб) Відповідь: Твір коріння – 3.
№3. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів:
│х - 6│= х 2 - 5х + 9

Відповідь: сума коренів дорівнює 4.
Вправи: №9. │х + 4│= - 3х №10. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть число розв'язків: │х 2 + х - 1│= 2х – 1 №11 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть добуток коріння: │х + 3│= х 2 + х – 6

Розділ 4. Рівняння виду │F(x)│= F(x) та │F(x)│= - F(x)

Рівняння цього виду іноді називають «красивими». Оскільки права частина рівнянь залежить від змінної, рішення існують і тоді, коли права частина неотрицательна. Тому вихідні рівняння рівносильні нерівностям:
│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 та │F(x)│= - F(x) F(x) Приклади: №1 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть менший цілий корінь: │5х - 3│= 5х – 3 5х – 3 ≥ 0 5х ≥ 3 х ≥ 0,6 Відповідь: х = 1№2. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть довжину проміжку: │х 2 - 9│= 9 – х 2 х 2 – 9 ≤ 0 (х – 3) (х + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Відповідь: довжина проміжку дорівнює 6.№3 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть число цілих розв'язків: │2 + х – х 2 │= 2 + х – х 2 2 + х – х 2 ≥ 0 х 2 – х – 2 ≤ 0 [- 1; 2] Відповідь: 4 цілих рішення.№4 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть найбільший корінь:
│4 – х -
│= 4 – х –
х 2 – 5х + 5 = 0 Д = 5 х 1,2 =
≈ 1,4

Відповідь: х = 3.

Вправи: №12. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть цілий корінь: │х 2 + 6х + 8│= х 2 + 6х + 8 №13. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть число цілих рішень: │13х – х 2 - 36│+ х 2 – 13х + 36 = 0 №14. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть ціле число, що не є коренем рівняння:

Розділ 5. Рівняння виду │F(x)│= │G(x)│

Оскільки обидві частини рівняння неотрицательны, то рішення передбачає розгляд двох випадків: підмодульні вирази рівні чи протилежні за знаком. Отже, вихідне рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: │ F(x)│= │ G(x)│
Приклади: №1. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть цілий корінь: │х + 3│=│2х - 1│
Відповідь: ціле коріння х = 4.№2. Розв'яжіть рівняння: │ х – х 2 - 1│=│2х – 3 – х 2 │
Відповідь: х = 2.№3 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть добуток коріння:




Корні рівняння 4х2 + 2х - 1 = 0х1,2 = - 1±√5 / 4 Відповідь: добуток коріння дорівнює – 0,25. Вправи: №15 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть ціле рішення: │х 2 – 3х + 2│= │х 2 + 6х - 1│ №16. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть менший корінь:│5х - 3│=│7 - х│ №17 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів:

Розділ 6. Приклади розв'язання нестандартних рівнянь

У розділі ми розглянемо приклади нестандартних рівнянь, під час вирішення яких абсолютна величина висловлювання розкривається за визначенням. Приклади:

№1. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: х · │х│- 5х – 6 = 0
Відповідь: сума коренів дорівнює 1 №2. . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть менший корінь: х 2 - 4х ·
- 5 = 0
Відповідь: менший корінь х = – 5. №3. Розв'яжіть рівняння:

Відповідь: х = -1. Вправи: №18. Розв'яжіть рівняння та вкажіть суму коренів: х · │3х + 5│= 3х 2 + 4х + 3
№19. Розв'яжіть рівняння: х 2 – 3х =

№20. Розв'яжіть рівняння:

Розділ 7. Рівняння виду │F(x)│+│G(x)│=0

Неважко помітити, що у лівій частині рівняння цього виду сума неотрицательных величин. Отже, вихідне рівняння має рішення тоді і лише тоді, коли обидва доданки одночасно дорівнюють нулю. Рівняння рівносильне системі рівнянь: │ F(x)│+│ G(x)│=0
Приклади: №1 . Розв'яжіть рівняння:
Відповідь: х = 2. №2. Розв'яжіть рівняння: Відповідь: х = 1. Вправи: №21. Розв'яжіть рівняння: №22 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: №23 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть кількість рішень:

Розділ 8. Рівняння виду │а 1 х + у 1 │±│а 2 х + у 2 │± … │а n х +в n │= m

Для вирішення рівнянь цього виду застосовується метод інтервалів. Якщо його вирішувати послідовним розкриттям модулів, то отримаємо nсукупностей систем, що дуже громіздко та незручно. Розглянемо метод алгоритму інтервалів: 1). Знайти значення змінної х, При яких кожен модуль дорівнює нулю (нулі підмодульних виразів):
2). Знайдені значення відзначити на числовій прямій, яка розбивається на інтервали (кількість інтервалів відповідно дорівнює n+1 ) 3). Визначити, з яким знаком розкривається кожен модуль кожному з отриманих інтервалів (при оформленні рішення можна використовувати числову пряму, відзначивши у ньому знаки) 4). Вихідне рівняння рівносильне сукупності n+1 систем, у кожному у тому числі вказується приналежність змінної ходному з інтервалів. Приклади: №1 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть найбільший корінь:
1). Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 2; х = -3 2). Зазначимо знайдені значення на числовій прямій та визначимо, з яким знаком розкривається кожен модуль на отриманих інтервалах:
х – 2 х – 2 х – 2 - - + - 3 2 х 2х + 6 2х + 6 2х + 6 - + + 3)
- немає рішень Рівняння має два корені. Відповідь: максимальний корінь х = 2. №2. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть цілий корінь:
1). Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 1,5; х = - 1 2). Зазначимо знайдені значення на числовій прямій і визначимо, з яким знаком розкривається кожен модуль на отриманих інтервалах: х + 1 х + 1 х + 1 - + +
-1 1,5 х 2х - 3 2х - 3 2х - 3 - - +
3).
Остання система не має рішень, отже, рівняння має два корені. Під час розв'язання рівняння слід звернути увагу на знак «-» перед другим модулем. Відповідь: ціле коріння х = 7. №3. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: 1). Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 5; х = 1; х = - 2 2). Зазначимо знайдені значення на числовій прямій і визначимо, з яким знаком розкривається кожен модуль на отриманих інтервалах: х – 5 х – 5 х – 5 х – 5 - - - +
-2 1 5 х х – 1 х – 1 х – 1 х – 1 - - + + х + 2 х + 2 х + 2 х + 2 - + + +
3).
Рівняння має два корені х = 0 та 2. Відповідь: сума коренів дорівнює 2. №4 . Розв'яжіть рівняння: 1). Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 1; х = 2; х = 3. 2). Визначимо, з яким знаком відкривається кожен модуль отриманих інтервалах. 3).
Об'єднаємо рішення перших трьох систем. Відповідь: ; х = 5.
Вправи: №24. Розв'яжіть рівняння:
№25. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: №26. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть менший корінь: №27. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть більший корінь:

Розділ 9. Рівняння, що містять кілька модулів

Рівняння, що містять кілька модулів, передбачають наявність абсолютних величин у підмодульних виразах. Основний принцип розв'язання рівнянь даного виду – це послідовне розкриття модулів, починаючи із зовнішнього. У результаті рішення застосовуються прийоми, розглянуті розділах №1, №3.

Приклади: №1. Розв'яжіть рівняння:
Відповідь: х = 1; – 11. №2. Розв'яжіть рівняння:
Відповідь: х = 0; 4; - 4. №3. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть добуток коріння:
Відповідь: добуток коріння дорівнює - 8. №4. Розв'яжіть рівняння:
Позначимо рівняння сукупності (1) і (2) та розглянемо рішення кожного з них окремо для зручності оформлення. Так як обидва рівняння містять більше одного модуля, зручніше здійснити рівносильний перехід до сукупностей систем. (1)

(2)


Відповідь:
Вправи: №36. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: 5 │3х-5│ = 25 х №37. Розв'яжіть рівняння, якщо коріння більше одного, у відповіді вкажіть суму коріння: │х + 2│ х – 3х – 10 = 1 №38. Розв'яжіть рівняння: 3 │2х -4│ = 9 │х│ №39. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть кількість коренів на : 2 │ sin х│ = √2 №40 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть кількість коренів:

Розділ 3. Логарифмічні рівняння.

Перед розв'язанням наступних рівнянь необхідно повторити властивості логарифмів та логарифмічної функції. Приклади: №1. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть добуток коріння: log 2 (х+1) 2 + log 2 │x+1│ = 6 О.Д.З. х+1≠0 х≠ - 1

1 випадок: якщо х ≥ - 1, то log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – задовольняє умові х ≥ - 1 2 випадок: якщо х log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – задовольняє умовою х - 1
Відповідь: добуток коріння дорівнює - 15.
№2. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: lg
О.Д.З.

Відповідь: сума коренів дорівнює 0,5.
№3. Розв'яжіть рівняння: log 5
О.Д.З.

Відповідь: х = 9. №4. Розв'яжіть рівняння: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ О.Д.З. х > 0 Скористаємося формулою переходу до іншої основи. │2 - log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 25; х = Ці числа ділять область допустимих значень на три інтервали, тому рівняння рівносильне сукупності трьох систем.
Відповідь: )