Naj bo podana funkcija dveh sprememb. Argumentu dajemo povečanje, vendar je argument preveč nespremenljiv. Ista funkcija odstrani povečanje, saj se imenuje zasebno povečanje za spremembo in je dodeljena:

Podobno, če popravimo argument in damo prirast argumentu, odvzamemo zasebno povečanje funkcije za spremembo:

Vrednost se imenuje največje povečanje funkcije v točkah.

Imenovanje 4. Zasebna funkcija obeh spremenljivih se kliče med spremembo zasebnega povečanja funkcije do spremembe dane spremembe, če ostane preostanek ničle (tj. meja). Zasebno se označuje takole: ali, ali.

V tem rangu za imenovanega župana:

Zasebne funkcije se izračunajo po samih pravilih in formulah, kot da je funkcija enaka sprememba, zaščitena je pred lastnimi, ki se razlikujejo s spremembo, pomembno je, da so konstantne, in ko se razlikujejo po spremembi, je je pomembno popraviti.

Primer 3. Poznajte zasebne zabavne funkcije:

Rešitev. a) Da bi spoznali pomembno konstantno vrednost tega diferenciala kot funkcijo ene spremenljivke:

Podobno glede konstantne vrednosti vemo:

Imenovanje 5. Celotni diferencial funkcije je vsota ustvarjanja zasebnih podobnih funkcij ob povečanju neodvisnih neodvisnih, tobto.

Če pogledamo nazaj na dejstvo, da diferenciali neodvisnih sprememb rastejo s svojimi prirastki, tj. , formulo za skupni diferencial lahko zapišemo v obliki

Primer 4. Izračunajte končni diferencial funkcije.

Rešitev. Oskіlki za formulo skupnega diferenciala je znana

Zasebne počitnice najvišjega razreda

Zasebni prazniki se imenujejo zasebni prazniki prvega reda ali prvi zasebni prazniki.

Imenovanje 6. Zasebne funkcije drugega reda se imenujejo zasebne funkcije prvega reda.

Zasebni čotiri drugega reda. Vons so označeni na naslednji način:

Podobno so dodeljene zasebne izgube 3., 4. in višjega reda. Za funkcijo lahko na primer:

Zasebni prazniki drugačnega reda, vzeti iz različnih sprememb, se imenujejo spremenjeni zasebni prazniki. Za funkcijo є pokhіdnі. Spoštljivo je, da ste razpoloženi, če ste tekoči brez prekinitev, je prostor za ljubosumje.

Primer 5. Spremenite zasebne funkcije v drugem vrstnem redu

Rešitev. Zasebne funkcije prvega reda, najdene v aplikaciji 3:

Diferenciacija in sprememba x in y, otrimaemo

Virishuvati fizične probleme ali uporabiti matematiko je popolnoma nemogoče brez poznavanja te metode izračuna. Pokhіdna je ena najpomembnejših za razumevanje matematične analize. Odločili smo se, da to temeljno temo posvetimo današnjemu članku. Kaj je tako slabega, kakšne fizične in geometrijske spremembe, kako pokvariti dobro funkcijo? Vse obroke je mogoče vzeti v enem: kako naj razumem, kako iti?

Geometrijsko in fizično občutje podobno

Daj no, funkcija f(x) , je podan v intervalu petja (a,b) . Točki x in x0 ležita do th intervala. Pri spreminjanju x se spremeni sama funkcija. Sprememba argumenta - razlika v vrednosti joge x-x0 . Kakšna razlika je zabeležena kot delta x in se imenuje večji argument. Sprememba ali povečanje funkcije se imenuje razlika v vrednosti funkcije na dveh točkah. Dogovor za potovanje:

Pokhіdna funktsії y točka - med povečanjem funkcije na točki tsіy do argumenta zbіlshennya, če je preostanek nič.

Sicer pa lahko napišeš takole:

Kakšen je smisel takšne meje? In os je yaki:

podobno kot funkcija v točki je tangenta kuta med točkama OX podoben grafu funkcije v točki tsij.

Fizični občutek dneva: pokhіdna poti za uro dorovnyuє shvidkostі pravokotno ruhu.

Vsekakor lahko iz šolskih ur vidimo, da je švedščina zasebna cesta. x=f(t) tisto uro t . Povprečna hitrost za eno uro:

Schob, da prepozna varnost hitenja v trenutku ure t0 je treba izračunati med:

Prvo pravilo: krivite konstanto

Za slab znak je mogoče kriviti konstanto. Več kot to - zahteva delo. Ko vyrishenny uporabna matematika vzame pravilo - kako lahko vprašaš viraz, obov'azkovo vprašaj .

zadnjico. Izračunajmo stroške:

Pravilo prijatelju: Pokhіdna sumi funktsіy

Pokhіdna sumi dvoh funktsіy dorivnyuє sumі pokhіdnih tsikh funktsіy. Enako velja za podobne maloprodajne funkcije.

Ne nakazuje dokaza izreka, temveč praktičen primer.

Poznajte povezane funkcije:

Pravilo treh: slabo delo funkcij

Pokhіdna ustvari dve funkciji, ki se razlikujeta, izračunana po formuli:

Primer: poznati naslednje funkcije:

rešitev:

Tukaj je pomembno povedati o številu podobnih funkcij zlaganja. Pokhіdna zložljiva funkcija je dražja za dopolnitev pokhіdnoї tsієї funktsії za vmesnim argumentom na slabši vmesni argument za neodvisno spremembo.

Z vidika uporabe mi zustrіchaєmo viraz:

V tem primeru je vmesni argument 8x za peti korak. Za izračun stroškov takšne viraze je pomembno izračunati vrednost zunanje funkcije za vmesni argument in nato pomnožiti z vrednostjo nevmesnega argumenta za neodvisno spremembo.

Četrto pravilo: podobno kot zasebni dve funkciji

Formula za izbiro podobnega dela dveh funkcij:

Poskušali smo vam povedati o počitnicah za čajnike iz nič. Ta tema ni tako preprosta, kot se je izkazalo, je mogoče: zadnjici imajo pogosto testenine na zadnjici, zato bodite previdni pri štetju.

Iz nekega razloga se za druge teme lahko obrnete na študentski servis. Za kratek čas vam bomo pomagali sestaviti kontrolni seznam in razvrstiti naloge, zato se z izračunom zadnjih nismo ukvarjali prej.

Oglejmo si funkcijo na dva načina:

Delci sprememb $x$ in $y$ so neodvisni, za takšno funkcijo je mogoče zagotoviti razumevanje zasebnih informacij:

Zasebna funkcija $f$ na točki $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \desno)$ za spremembo $x$ -

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \desno))(\Delta x)\]

Na enak način lahko dodelite zasebno pristojbino za spremembo $y$:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \desno))(\Delta y)\]

Z drugimi besedami, da bi poznali zasebne funkcije nekaterih sprememb, je treba določiti odločitev o spremembi, krіm shukanoї, in takrat bomo poznali zvichaynu pokhіdna za ceno spremembe.

Sliši se kot glavni trik za štetje tako bednih: samo upoštevajte, da se vse spreminja, krym tsієї, є konstanta, po kateri ločite funkcijo tako, da boste razlikovali "ednino" - od ene zminnoy. Na primer:

$\begin(poravnaj)& ((\left(((x)^(2))+10xy \desno))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) ) )) \desno))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& ( ( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^( \ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$

Očitno je, da je normalno dati zasebne počitnice iz različnih sprememb. Zakaj je bolj pomembno razumeti, zakaj so nam recimo v prvem mirno zaračunali $10y$ s-pid slabega znaka, v drugem pa - prvega izničili. Vse je zasnovano skozi tiste, ki jih vse črke, krіm zminnoi, za nekakšno razlikovanje, spoštujejo konstante: lahko jih obtožimo, pljunemo itd.

Kaj je "zasebna zabava"?

Danes bomo govorili o funkcijah nekaj menjalnikov in o zasebnih počitnicah v njih. Najprej, kakšna je funkcija nekaj zamenjav? Dosi mi kliče, da spremeni funkcijo, kot je $y\left(x \right)$ ali $t\left(x \right)$, sicer spremeni to eno samo funkcijo v njej. Zdaj bo v nas samo ena funkcija, papalina bo zamenjana. Če spremenite $y$ in $x$, se bo vrednost funkcije spremenila. Na primer, če se $x$ dvakrat poveča, se vrednost funkcije spremeni, če se spremeni $x$, vendar se $y$ ne spremeni, se vrednost funkcije spremeni sama.

Razumelo se je, da je funkcijo v obliki številnih spremenljivk, tako kot v eni od spremenljivk, mogoče diferencirati. Vendar pa je oskіlki zmіnnykh kіlka, potem je mogoče razlikovati od različnih zmіnnyh. Za koga so kriva specifična pravila, ki so enaka pri razlikovanju ene spremembe.

Najprej za vse, če želimo izgubiti funkcije, če smo nekako spremenljivi, potem smo sami krivi, za kakšno spremembo naj bi zapustili - zato se temu reče zasebna zmešnjava. Na primer, imamo funkcijo v obliki dveh substitucij in jo lahko prestrašimo kot $x$, torej $y$ — dve zasebni, podobni koži zamenljivih.

Na drugačen način, če smo eno od sprememb popravili in po njej začnemo zasebno spoštovati, potem vse ostalo, kar vstopi v funkcijo, spoštujejo konstante. Na primer, $z\left(xy \right)$, saj je pomembno, da se zasebno sprehajamo okoli $x$, potem smo, mežikajoči, demi-preprosto $y$, pomembni, da smo konstanta in da se zdravimo sami kot konstanta. Zokrema, pri štetju slabih stvari lahko za okov krivimo $y$ (imamo konstanto), pri štetju slabega denarja, kot ga imamo tukaj, je kot virus, da se maščuje $y$ in ne maščuje $x$, potem je dobro virazu dorivnyuvatime "ničlo" kot dobra konstanta.

Na prvi pogled se vam lahko izogne, da vam o tem pripovedujem zloženo, in veliko učencev zaide na storž. Med zasebnimi ni nič nadnaravnega in se spreminjamo iz rit konkretnih nalog.

Odgovoren za radikale in bogate člane

Upravitelj št. 1

Vpijemo, da ne izgubimo ene ure, od samega storža bomo začeli z resnimi zadnjicami.

Za začetek predvidevam naslednjo formulo:

To je standardna vrednost tabele, kot vemo iz standardnega tečaja.

Dobro je, če nekdo uporabi $z$ takole:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Pa še enkrat, drobci pod koreninami ne stanejo $x$, ampak kak drug vir, v tem primeru $\frac(y)(x)$, potem pohitimo standardne tabelarne vrednosti, nato pa drobce pod korenine ne stanejo $x $, in še en viraz, moramo pomnožiti svoje stroške za en viraz več za drugi viraz. Začnimo stopiti na storž:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot xy\cdot 1)(((x)^(2) ) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Obrnimo se k našemu virazu in zapišimo:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \desno)\]

Vse je načeloma. Vendar je narobe, če jo pustimo v takem videzu: ni priročno premagati tako konstrukcijo za oddaljene, zato naredimo malenkost:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Vidpovid je našel. Zdaj pa se ukvarjajmo z $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Vipishemo okremo:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot xy\cdot 0)(((x)^(2) ) )=\frac(1)(x)\]

Zdaj pišemo:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Vse je razbito.

Upravitelj št. 2

Ta zadnjica je hkrati enostavnejša in bolj zložljiva, nižje naprej. Bolj zloženo, da je tukaj več akcije, a enostavnejše, da tukaj ni korena, poleg tega je funkcija simetrična na $x$ in $y$, tobto. Kot se spominjamo $x$ in $y$ kot misij, se zdi, da se formula ne spremeni. Tse spoštovanje je bilo treba odpustiti za plačilo zasebnih stroškov, tobto. Dovolj je, da enega od njih poškodujete, v drugem pa se samo s čopiči spomnite $x$ in $y$.

Preidimo k bistvu:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy))(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \ desno ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+ ( (y)^(2))+1 \desno)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ) )_(x))(((\levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))\]

Navdušimo se:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Prote se bogato naučite takšnega zapisa nevednosti, os bomo zapisali takole:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\levo(y \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

V tem rangu ponovno preidemo na univerzalnost algoritma zasebnih sorodnikov: zanje jim ni bilo mar, če so vsa pravila pravilno postavljena, boste sami.

Zdaj pa si poglejmo še en zasebni trik naše odlične formule:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \desno))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Predpostavimo, da odvzamemo odvisnost od naše formule in jo odvzamemo:

\[\ frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ desno)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno)-xy\cdot 2x)(((\left((( ( x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \desno))((\ levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \desno))(((\levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2 )))\]

$x$ je obnovljen. In da popravimo $y$ v istem virazu, ne smemo vikonuvati vsega istega zaporedja diy-jev, ampak raje s simetrijo našega živega viraza - v našem živem virazu samo zamenjamo vse $y$ z $x$ in navpakom :

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \desno))((( ( \levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))\]

Za rahunok simetrije so hvalili ves viraz bogato shvidshe.

niansa češnja

Za zasebne se uporabljajo vse standardne formule, kar je najboljše za zasebne, enako velja tudi za zasebne. S tem pa krivijo svoje posebnosti: če zasebno spoštujemo $x$, potem če jo vzamemo za $x$, potem jo smatramo za konstanto in temu je njena podobna dražji "ničli". .

Tako kot in hkrati z najpomembnejšimi pokhіdnymi, zasebnimi (eno in isto) lahko pokvarite kіlkom na različne načine. Na primer, isto konstrukcijo, ki je bila tako dobro ploskana, je mogoče prepisati takole:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Naenkrat o tistih, z druge strani, lahko premagate formulo v obliki priložnostne vsote. Kot vemo, obstajajo dražje vsote mrtvih. Na primer, napišimo to:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Zdaj, ko poznamo vse, poskusimo izboljšati z resnejšimi uporabami, drobci pravih zasebnih trikov niso obkroženi le z bogatimi izrazi in koreninami: tam se uporabljajo trigonometrija, logaritmi in funkcije prikaza. Zdaj pa se zaposlimo.

Naloga s trigonometričnimi funkcijami in logaritmi

Upravitelj št. 1

Napišemo naslednje standardne formule:

\[((\left(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Ko obvladamo to znanje, poskusimo verz:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Okremo napiši eno spremembo:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Obrnite se na naš dizajn:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Vsi vemo za $x$, zdaj pa preidimo na izračun $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

No, vem, bojim se enega viraza:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \desno)\]

Obrnimo se na konec dneva in še naprej vidimo:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Vse je razbito.

Upravitelj št. 2

Zapišemo formulo, ki jo potrebujemo:

\[((\levo(\ln x \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Zdaj mi je žal za $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\levo(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Najdeno za $x$. Pomembno za $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\levo(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Naloga je končana.

niansa češnja

Kasneje, glede na to, da funkcije niso bile prevzete zasebno, se pravila prepišejo z istimi, ne glede na to, ali delujejo s trigonometrijo, s koreninami ali z logaritmi.

Klasična pravila dela vedno nadomeščajo standardna, hkrati pa seštevek maloprodajnih, zasebnih in zložljivih funkcij.

Preostanek formule je najpogosteje razložen na koncu dneva, ko se srečanje zaključi z zasebnimi počitnicami. Mi zustrіchaєmosya z njimi praktično skrіz. Mestnega upravitelja še ni bilo, da ne pridemo ven. A če se s formulo ne bi izmuznili, imamo še eno korist več, zase pa posebnost dela z zasebnimi sprehodi. Torej popravimo eno spremembo, vrstice so konstante. Zocrema, saj spoštujemo zasebno izgubljeno virazo $\cos \frac(x)(y)$ $y$, potem se sam $y$ spremeni in $x$ se prepiše s konstanto. Enaka praksa in navpaki. Lahko jo krivimo za slab znak, a slabo, saj je sama konstanta bolj podobna »nič«.

Vse bi bilo treba pripeljati do te mere, da je zasebni videz enega in istega viraza, vendar iz različnih sprememb lahko izgleda drugače. Na primer, čuditi se takšnemu viraziju:

\[((\levo(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Naloga z demonstracijskimi funkcijami in logaritmi

Upravitelj št. 1

Zapišimo naslednjo formulo:

\[((\left(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Če poznamo to dejstvo, pa tudi zložljive funkcije, se lahko poskušamo prestrašiti. Verjamem v dva različna načina hkrati. Prvi in ​​najbolj očitni so stroški dela:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno) )^(\prime ))_(x)=((\left((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Poglejmo ta viraz:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot yx .(((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot yx\cdot 0)((((y)^(2) )) =\frac(y)((((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Obrnimo se na naš dizajn in si ga še naprej ogledujmo:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left( 1 +\frac(1)(y)\desno)\]

Vse, $x$ je pokrito.

Vendar, kot sem rekel, bomo hkrati poskušali zaščititi mojo zasebnost na drugačen način. Za koga s spoštovanjem:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Zapišemo ga takole:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\levo(((e)^(x+\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y ) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) ) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \desno)\]

Posledično smo odnesli enako količino denarja, prote pa zaračunali kot manjšega. Za koga dokončati množico ne pozabite, da lahko seštejete, ko končate predstavo.

Zdaj mi je žal za $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno) )^(\prime ))_(y)=((\left((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\levo(\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(y)=\]

Zapojmo en viraz okremo:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot yx \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)((((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Prodamo različico našega zunanjega dizajna:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \desno)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Zdelo se mi je, da bi se lahko drugače izgubila, sama bi bila videti tako.

Upravitelj št. 2

Jebi se za $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

Ustavimo en viraz okremo:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)(( ((x)^(2))+y)\]

Prodana rešitev zunanjega oblikovanja: $$

Os je tako jasna.

Izgubljeno za analogijo, ki jo lahko poznamo z $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \desno)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(y)=\]

En viraz, v redu je, kot zavzhdi okremo:

\[((\left(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Prodovzhuєmo virіshennya glavne zasnove:

Vse je pokrito. Kot bachit, leha, odvisno od tega, kako se sprememba vzame za razlikovanje, izidejo popolnoma drugačne.

niansa češnja

Os je odličen primer, kako je mogoče eno in isto funkcijo uporabiti na dva različna načina. Os za spraševanje:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\levo(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y)))) )\ levo(1+\frac(1)(y) \desno)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \desno)) ^(\prime ))_(x)=((\left((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \desno)\ ]

Pri izbiri različnih poti bi lahko bil izračun drugačen, a če je res, je bilo vse narejeno pravilno, bomo videli enako. Cene so vredne klasičnih, zasebnih pa kasnejših. Spet bom ugibal od koga: to je leha, je tako, kakšna menjava, vzamem dobrega, to je to. diferenciacijo, vіdpovіd lahko vyyti zovsіm raznoyu. Marvel:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(( (( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(( ((x)^(2))+y)\cdot 1\]

Nasamkineti za pritrditev celotnega materiala, poskusimo popraviti dve zadnjici.

Naloga s trigonometrično funkcijo in funkcijo s tremi spremembami

Upravitelj št. 1

Napišimo te formule:

\[((\left(((a)^(x)) \desno))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Zdaj pa virišujte naš viraz:

\[(((z)")_(x))=((\left((3)^(x\sin y)) \desno))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Okremo porahuemo takšno zasnovo:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ levo(\sin y \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Prodovzhuєmo virishuvati vihіdny viraz:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

To je preostali znesek zasebne spremembe $x$. Zdaj mi je žal za $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left((3)^(x\sin y)) \desno))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Virishimo one viraz okremo:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ levo(\sin y \desno))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Virishuemo do konca našega dizajna:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Upravitelj št. 2

Na prvi pogled se ta zadnjica da zložiti, saj so tri spremembe. Dejansko je to ena najpreprostejših nalog za današnjo video turnejo.

Poznan po $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \desno))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ) ^(z)) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) ) )) \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Zdaj pa poglejmo $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \desno))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ) ((e)^(z)) \desno))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \desno))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Vedeli smo resnico.

Zdaj je preveč vedeti $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \desno))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \desno))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Pohvalili smo tretjo pohidno, na kateri je spet zaključena vizija druge naloge.

niansa češnja

Kot bachit se v teh dveh zadnjicah nič ne zloži. Edina stvar, zakaj smo zamočili, ker so zložljive funkcije pogosto stagnirajoče in zastarele, ker smo zasebno sramežljivi, se bomo morali spremeniti glede na situacijo.

V preostalem delu naloge smo morali izdelati funkcije treh različnih. V tsomu ni nič strašnega, prote naprikintsі mi so se križale, ta smrad je ena vrsta in je popolnoma dražeč.

Ključni trenutki

Preostanek vysnovkov iz današnje video lekcije je naslednji:

1. Zasebni stroški se upoštevajo kot takšni, kot da bi bili pomembni, da bi upoštevali zasebne stroške z eno spremembo, pri čemer odločamo o vseh spremembah, ki so vključene v to funkcijo, jih vzamemo kot konstante.
2. Pratsyyuyuchi s zasebnimi pokhіdnymi vikoristovuєmo tі sami standardne formule, yak і z znichnym pokhіdnymi: suma, raznitsyu, pokhіdnu create і private і, zrozumіlo, pokhіdnu zložljive funkcije.

Očitno pregled ene video lekcije ni dovolj, da bi lahko ponovno razširil to temo, zato je na mojem spletnem mestu pred tem videoposnetkom naenkrat nabor nalog, posvečenih prav tej temi dneva - pridi, zavantazhyte , vypishuyte tsі zavdannya іz vіryapovytes. Navsezadnje ne boste imeli nobenih vsakodnevnih težav iz zasebnih, kot je spanje ali samostojno delo. Očitno je to daleč od zadnje lekcije sodobne matematike, zato pojdite na naše spletno mesto, dodajte VKontakte, se naročite na YouTube, postavite všečke in nam sledite!

Zasebne počitnice ostajajo na čelu funkcij majhnega števila ljudi. Pravila pomembnosti so popolnoma enaka kot za funkcije ene spremenljivke, le da je ena od sledi spremenljivke upoštevana v trenutku diferenciacije s konstanto (konstantno število).

Formula

Zasebni datumi za funkcijo dveh spremenljivk $ z (x, y) $ so zapisani v naslednjem videzu $ z "_x, z"_ y $ in sledite formulam:

Zasebne počitnice prvo naročilo

$$ z"_x = \frac(\delni z)(\delni x) $$

$$ z"_y = \frac(\delni z)(\delni y) $$

Zasebna potovanja v drugačnem vrstnem redu

$$ z""_(xx) = \frac(\delni^2 z)(\delni x \delni x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\delni^2 z)(\delni y \delni y) $$

Zmishana je dobra

$$ z""_(xy) = \frac(\delni^2 z)(\delni x \delni y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\delni^2 z)(\delni y \delni x) $$

Funkcija zlaganja za zasebno shranjevanje

a) Naj bo $ z(t) = f(x(t), y(t)) $, potem bodo podobne funkcije zlaganja sledile formuli:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\delni z)(\delni x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\delni z)(\delni y) \cdot \frac (dy)(dt) $$

b) Naj bo $ z (u, v) = z(x(u, v), y(u, v)) $, nato za formulo ponovite naslednje zasebne funkcije:

$$ \frac(\delni z)(\delni u) = \frac(\delni z)(\delni x) \cdot \frac(\delni x)(\delni u) + \frac(\delni z)( \delni y) \cdot \frac(\delni y)(\delni u) $$

$$ \frac(\delni z)(\delni v) = \frac(\delni z)(\delni x) \cdot \frac(\delni x)(\delni v) + \frac(\delni z)( \delni y) \cdot \frac(\delni y)(\delni v) $$

Zasebni prazniki implicitno opredeljene funkcije

a) Naj bo $ F(x,y(x)) = 0 $, potem je $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Naj bo $ F (x, y, z) = 0 $, nato pa $ $ z "_x = - \frac (F"_x) (F"_z); z "_y = - \ frac (F"_y) ( F"_z) $$

Nanesite raztopino

zadnjica 1

Poiščite zasebne vrednosti prvega reda $z(x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10$

Rešitev

Za vrednost zasebne spremenljivke v $ x $ bomo uporabili $ y $ kot konstantno vrednost (število): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Za vrednost zasebne funkcije glede na $ y $ je $ y $ pomembna s konstanto: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Če si ne upate prekiniti svoje naloge, potem pred nami forsirajte jogo. Potrebujemo podrobnejšo rešitev. Izvedete lahko o poteku izračuna in odvzamete podatke. Tse dopomozhe vsako uro vzemite dvorano iz vikladach!

Vidpovid

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

zadnjica 2

Poiščite zasebne podobne funkcije v drugem vrstnem redu $ z = e ^ (xy) $

Rešitev

Hkrati je treba poznati prvi korak in potem, ko jih poznaš, lahko poznaš korake drugačnega reda. Pomembna konstanta $ y $: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Postavimo zdaj konstantno vrednost $ x $: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Poznavanje prvega pokhіdnі, podobno poznamo druge. Trajno namestimo $ y $: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot(xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Nastavi konstanto $ x $: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Zdaj sem izgubil znanje o zmіshanu pokhіdnu. $ z"_x $ lahko razlikujete glede na $ y $ ali pa $ z"_y $ glede na $ x $, zaradi izreka $ z""_(xy) = z""_(yx ) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot(xy)"_y = yxe^(xy) $$

Vidpovid

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

zadnjica 4

Naj $ 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 = 0 $ postavi implicitno funkcijo $ F (x, y, z) = 0 $. Poznajte zasebne dogodke prvega reda.

Rešitev

Funkcijo zapišemo v obliki: $F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0$ $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Vidpovid

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Imenovanje 1.11 Naj bo nastavljena funkcija dveh menjalnikov z=z(x,y), (x,y)D . Pikasta, lisasta M 0 (x 0 ;y 0 ) - notranja točka območja D .

Yakscho v D je taka soseska UM 0 točke M 0 , kar za vse točke

nato pokažite M 0 se imenuje lokalna maksimalna točka. In pomen z(M 0 ) - lokalni maksimum.

In kar se tiče vseh točk

nato pokažite M 0 imenujemo točka lokalnega minimuma funkcije z(x,y) . In pomen z(M 0 ) - Lokalni minimum.

Lokalni maksimum in lokalni minimum se imenujeta lokalni ekstremi funkcije z(x,y) . Na sl. 1.4 pojasnjuje geometrijsko spremembo lokalnega maksimuma: M 0 - pokažite na maksimum, na tisto, kar je na površini z = z(x, y) jasna točka C 0 vedeti več kot katera koli druga točka C (ki ima največjo lokacijo).

S spoštovanjem, na površini so pike (npr. IN ), če veš več C 0 , pike ale qi (npr. IN ) ne є "sodni" s piko C 0 .

Zocrema, točka IN potrjuje razumevanje globalnega maksimuma:

Podobno se določi globalni minimum:

Poznavanje globalnih maksimumov in minimumov bo obravnavano v odstavku 1.10.

Izrek 1.3(Potreben um skrajno).

Naj bo funkcija nastavljena z = z (x, y), (x, y) D . Pikasta, lisasta M 0 (x 0 ;y 0 D - točka lokalnega ekstrema.

Kaj imaš z" x і z" y , potem

Geometrijska potrditev je "očitno". Kaj je naslednje C 0 na (slika 1.4), da narišete dotično ravno območje, tam "naravno" poteka vodoravno, tj. pod pokrovom 0° na os Oh i na os OU .

Enako velja za geometrijsko spremembo zasebnih sorodnikov (slika 1.3):

kaj je bilo treba prinesti.

Imenovanje 1.12.

Kaj je naslednje M 0 pomislimo (1.41), potem se imenuje stacionarna točka funkcije z (x, y) .

Izrek 1.4(Zadostuje skrajnost).

Naj vprašam z = z (x, y), (x, y) D , saj so lahko v dejanski bližini točke zasebni dogodki drugačnega reda M 0 (x 0 , y 0 )D . In zakaj M 0 - Stacionarna točka Izračunajmo:

Dokaz Vicorističnega izreka s tistimi (Taylorjeva formula funkcije številnih spremenljivk in teorija kvadratnih oblik), ki ga ne upošteva noben pomočnik.

zadnjica 1.13.

Pojdi do skrajnosti:

Rešitev

1. Poznamo stacionarne točke, ki prekinejo sistem (1.41):

tako smo našli nekaj stacionarnih točk. 2.

po izreku 1.4 imajo točke minimum. In zakaj

po izreku 1.4 v točki

največ. In zakaj