ტერმინი (მოდული) ლათინურიდან პირდაპირი თარგმანით ნიშნავს "zahіd". კონცეფცია მათემატიკაში ინგლისელმა მეცნიერმა რ.კოტესმა შემოიტანა. ხოლო გერმანელმა მათემატიკოსმა კ.ვეიერშტრასმა, რომელმაც დაამატა მოდულის ნიშანი, არის სიმბოლო, რომელიც გასაგებია, როგორც წერის საათს.

კონტაქტში

უპირველეს ყოვლისა, მათემატიკაში გესმით საშუალო სკოლის მე-6 კლასის პროგრამა. Zgіdno ერთი іz vyznachen, modulo - tse რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ათობითი რიცხვის მოდულის ამოცნობისთვის აუცილებელია მისი ნიშნის შერჩევა.

გრაფიკულად აბსოლუტური მნიშვნელობა მაგრამიაკ |ა|.

ბრინჯის მთავარი იდეა იმით არის გაგებული, რომ ღვინო არაუარყოფითი ღირებულებაა.

რიცხვებს, რომლებიც, როგორც ჩანს, ერთი და იგივეა, როგორც ნიშანი, ეწინააღმდეგება. თუ მნიშვნელობა დადებითია, მისი საპირისპირო იქნება უარყოფითი, ხოლო ნული იქნება თავის საპირისპირო.

გეომეტრიული ღირებულება

მოდულის კონცეფციის გეომეტრიის პოზიციიდან გასაგებად, აზრიანია მისი დანახვა, შესაძლებელია მისი დახატვა ერთ რიგად კოორდინატების კობიდან მოცემულ წერტილამდე. აღნიშვნის მიზანია ბოლო ტერმინის გეომეტრიული გაგების გაფართოება.

გრაფიკულად შეგიძლიათ ასე თქვათ: |a| = ო.ა.

აბსოლუტური მნიშვნელობის ძალა

ქვემოთ განხილული იქნება ამ გაგების ყველა მათემატიკური ძალა და სიტყვების ასოების ჩაწერის გზა:

მახასიათებლები

როდესაც ვსაუბრობთ მათემატიკური თანასწორობებისა და შეუსაბამობების განვითარებაზე, რომლებსაც აქვთ მოდული, უნდა გვახსოვდეს, რომ მათი გამოხატვა აუცილებელია ნიშნის ამოსაცნობად.

მაგალითად, აბსოლუტური მნიშვნელობის ნიშნად, გარკვეული მათემატიკური ვირუსის მოსაშორებლად, მანამდე, როგორც მოდული, აუცილებელია ფიქტიური მათემატიკური აღნიშვნის უზრუნველყოფა.

|A + 5| = A + 5, yakscho, A მეტი ან მეტი უდრის ნულს.

5-ათუ A არის ნულზე ნაკლები.

ზოგიერთ ვიპადკაში, ნიშანი შეიძლება ცალსახად განვითარდეს ცვლილების ნებისმიერი ნიშნისთვის.

მოდით შევხედოთ კიდევ ერთ მაგალითს. განვიხილოთ კოორდინატთა ხაზი, რომლის აბსოლუტური მნიშვნელობის ყველა რიცხვითი მნიშვნელობა იქნება 5.

კუბისთვის აუცილებელია კოორდინატთა ხაზის გადაკვეთა, მას კოორდინატების მინიჭება და ერთი სოლის ზომა. გარდა ამისა, უშუალოდ დედაა დამნაშავე. ახლა აუცილებელია ამ სწორ ხაზზე როზეტების წასმა, როგორც ერთი გრაგნილის ზომის მორგება.

ამ თანმიმდევრობით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ კოორდინატთა ხაზზე იქნება ორი წერტილი, რომელიც მოგვინიშნავს, მნიშვნელობებით 5 და -5.

მოსწავლეებისთვის ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო თემაა rozvyazannya rivnyan, რომელიც შურისძიებას იღებს მოდულის ნიშნის ქვეშ მომხდარ ცვლილებებზე. მოდი კუბოს მივხედოთ, რატომ არის შეკრული? რატომ, მაგალითად, კვადრატული ტოლი მეტი ბავშვი ბარდასავით ჭყიკუნებს და ასე შორს საუკეთესო გაგებით, მოდულის მსგავსად, შეიძლება მეტი პრობლემა იყოს?

ჩემი აზრით, ყველა ნაკეცი განპირობებულია მოდულის განხორციელების მკაფიოდ ჩამოყალიბებული წესების არსებობით. ასე რომ, ვირიშიიუჩის კვადრატი ტოლია, მოსწავლეებმა ზუსტად იციან, რა არის საჭირო, რომ ჩამოწეროთ დისკრიმინანტის ფორმულა, შემდეგ კი კვადრატის ფესვის ფორმულა. და რაც შეეხება რობიტს, რაც შეეხება მოდულის დამაგრებას თანაბარ ნიადაგზე? შევეცდებით მკაფიოდ აღვწეროთ დროისთვის საჭირო გეგმა, თუ ის უდრის მოდულის ნიშნით უცნობის შურისძიებას. ჩვენ მოვიტანთ აპლიკაციების ნაწილს კანის წვეთში.

ალი კობისთვის მოდულის აღნიშვნა. მამა, რიცხვის მოდული ადარეკა იმავე ნომერზე, მოსწონს ავერ ვხედავ -ა, რომელიც არის ნომერი ანულზე ნაკლები. შეგიძლიათ დაწეროთ ასე:

|ა| = a თუ a ≥ 0 და |a| = -a, იგივეა, რაც a< 0

მოდულის გეომეტრიულ გაგებაზე საუბრისას, შემდეგი რაც უნდა გვახსოვდეს არის ის, რომ კანის ათობითი რიცხვს აქვს ერთი წერტილი ციფრულ ღერძზე - її to კოორდინაცია. ასე რომ, ღერძს, მოდულს ან რიცხვის აბსოლუტურ მნიშვნელობას, ეწოდება მანძილი წერტილის ცენტრიდან ციფრულ ღერძამდე. ყოველთვის მიეცით დადებითი რიცხვი. ამ თანმიმდევრობით, ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვის მოდული დადებითია. საუბრის დაწყებამდე გაიგე, რომელ ეტაპზე იწყებს ბევრი მოსწავლე ცდუნებას. მოდულს შეიძლება ჰქონდეს ნომერი და მოდულის შეყვანის შედეგი ყოველთვის დადებითი რიცხვია.

ახლა კი შეუფერხებლად გადავიდეთ მდინარის გახსნაზე.

1. გონების ტოლი პერსპექტივა | \u003d s, de s - deisne ნომერი. ფასის შემოწმება შესაძლებელია მოდულის დახმარებით.

ყველა მიმდინარე რიცხვი იყოფა სამ ჯგუფად: tі, რომელიც არის ნულზე მეტი, tі, რომელიც არის ნულზე ნაკლები და მესამე ჯგუფი არის მთელი რიცხვი 0. ჩამოვწეროთ გამოსავალი ვიზუალური სქემისთვის:

(±c, თუ s > 0

Yakscho | x | = c, შემდეგ x = (0, ასე რომ c = 0

(ძირის გარეშე, yakscho z< 0

1) | = 5, რადგან 5> 0, შემდეგ x = ±5;

2) | = -5 იმიტომ -ხუთი< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | = 0 შემდეგ x = 0.

2. გონების ტოლი | f(x) | = b de b > 0. ამ გასწორების დასასრულებლად, თქვენ უნდა მიიღოთ მოდული. Robimo tse: f(x) = b chi f(x) = -b. ახლა აუცილებელია კანის აღდგენა ოტრიმანიის ტოლებიდან. იაკშჩო შაბათ-კვირას რივნიან ბ< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | = 4, რადგან 4 > 0, მაშინ

x + 2 = 4 ან x + 2 = -4

2) | x 2 - 5 | = 11, რადგან 11 > 0, მაშინ

x 2 - 5 = 11 ან x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 ფესვის გარეშე

3) | x 2 - 5x | = -8, რადგან -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Rivnyannya გონება | f(x) | = g(x). მოდულის ჩანაცვლებისთვის, იგივე უდრის გადაწყვეტილების დედას, თითქოს მარჯვენა ნაწილი მეტია ნულის მნიშვნელობაზე, ანუ. g(x) ≥ 0. მაშინ შეგვიძლია გამოვთვალოთ:

f(x) = g(x)ან f(x) = -g(x).

1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. მატიმას ღირებულება არის ფესვი, yakscho 5x - 10 ≥ 0. ასეთი რივნების როზვიაზანნიას დასაწყისი.

1. ო.დ.ზ. 5x – 10 ≥ 0

2. გადაწყვეტილებები:

2x - 1 = 5x - 10 ან 2x - 1 = - (5x - 10)

3. კომბინირებული ო.დ.ზ. ამ გადაწყვეტილებას, ჩვენ ვიღებთ:

ფესვი x = 11/7 არ არის შესაფერისი O.D.Z.-სთვის, vin არის 2-ზე ნაკლები და x = 3 არის თქვენი გონების კმაყოფილება.

შემოთავაზება: x = 3

2) | x - 1 | = 1 - x 2.

1. ო.დ.ზ. 1 – x 2 ≥ 0

(1 – x) (1 + x) ≥ 0

2. გადაწყვეტილებები:

x - 1 = 1 - x 2 ან x - 1 = - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 ან x = 1 x = 0 ან x = 1

3. ერთობლივი გადაწყვეტილება და ო.დ.ზ.

ფესვზე მეტი შესაფერისია x = 1 და x = 0.

შემოთავაზება: x=0, x=1.

4. ტოლი გონება | f(x) | = | g(x)|. ეს უდრის ორ მომავალ ტოლს f(x) = g(x) ან f(x) = -g(x).

1) | x 2 - 5x + 7 | = | 2x - 5 |. Tse ტოლი ორი იქნება:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 ან x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 ან x = 4 x = 2 ან x = 1

შემოთავაზება: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Rivnyannya, yakі vyrіshuyusya გზა ჩანაცვლება (ჩანაცვლება ცვლილება). დანიური გადაწყვეტის მეთოდი ყველაზე მარტივი ასახსნელია კონკრეტულ აპლიკაციაში. მოდით მივცეთ მოდულის ტოლი კვადრატი:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. მოდულის ხარისხისთვის x 2 = |x| 2, რომელიც შეიძლება გადაიწეროს ასე:

|x| 2 - 6 | x | + 5 = 0. შევცვალოთ | = t ≥ 0, შემდეგ მათემატიკა:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. მოცემული ტოლის გათვალისწინებით, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ t \u003d 1 ან t \u003d 5. მოდით მივმართოთ ჩანაცვლებას:

|x| = 1 ჩი |x| = 5

x = ±1 x = ±5

წინადადება: x=-5, x=-1, x=1, x=5.

მოდით შევხედოთ სხვა მაგალითს:

x 2 + | – 2 = 0. მოდულის ხარისხისთვის x 2 = |x| 2, მდე

|x| 2+ |x| - 2 = 0. შევცვალოთ | x | = t ≥ 0 შემდეგ i:

t 2 + t - 2 \u003d 0. საოცრად მოცემული თანაბარი, მისაღებია, t \u003d -2 ან t \u003d 1. მოდით მივმართოთ ჩანაცვლებას:

|x| = -2 ჩი |x| = 1

არ არის ფესვი x = ± 1

წინადადება: x=-1, x=1.

6. გასწორების კიდევ ერთი ტიპია გასწორება "დასაკეცი" მოდულით. ასეთ თანასწორობებამდე ჩანს გათანაბრება, რომელშიც მოდულებია მოდულებში. Rivnyannya tsgogo გონება შეიძლება დაირღვეს, დაბლოკოს ძალა მოდულის.

1) |3 – |x|| \u003d 4. D_yatimemo იგივეა, როგორც სხვა ტიპის ტოლებში. იმიტომ რომ 4 > 0, მაშინ ვიღებთ ორ ტოლობას:

3 - | x | = 4 chi 3 – |x| = -4.

ახლა virazimo კანის დონეზე მოდული x, todi | = -1 ჩი |x| = 7.

Virishuemo კანის ეხლა otrimanih თანაბარი. პირველ ტოლს არ აქვს ფესვი, რადგან -ერთი< 0, а во втором x = ±7.

გადაამოწმეთ x=-7, x=7.

2) | 3 + | x + 1 | | = 5

3 + | x + 1 | = 5 chi 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 | x + 1 | = -8

x + 1 = 2 ან x + 1 = -2. ფესვი არ არის.

წინადადება: x=-3, x=1.

Іsnuє shchey და rozv'yazannya іvnyan іz მოდულის უნივერსალური მეთოდი. Tse მეთოდი ინტერვალებით. ალე მი იოგომ შეხედა.

blog.website, მასალის ახალი ან პირადი ასლის ორიგინალში გაგზავნით.

MBOU ZOSh No 17 მ ივანოვა

« Rivnyannya მოდულით "
მეთოდური განვითარება

მარაგები

მათემატიკის მასწავლებელი

ლებედევა ნ.ვ.

20010

განმარტებითი შენიშვნა

ნაწილი 1. შესავალი

ნაწილი 2. ძირითადი უფლებამოსილებები ნაწილი 3. რიცხვის მოდულის ცნების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია განყოფილება 4. y = | ფუნქციის გრაფიკი ნაწილი 5. გონებრივი შემეცნება

Მე -2 ნაწილი

Razdіl 1.Rivnyannya გონება | F(x) | = m (უმარტივესი) განყოფილება 2. ტოლია ფორმა F(|х|) = m ნაწილი 3. გონების ტოლი | F(x) | = G(x) ნაწილი 4. ტოლი გონების | F(x) | = ± F(x) (ლამაზი) ნაწილი 5. გონების ტოლი | F(x) | = | G(x) | Rozdіl 6. გამოიყენეთ არასტანდარტული რივენის ჰალსტუხი ნაწილი 7. გონების ტოლი | F(x) | + | G(x) | = 0 ნაწილი 8. გონების ტოლი | a 1 x ± 1 | ± |a 2 x ± 2 | ± …|a n x ± y n | = მ ნაწილი 9

თავი 3

ნაწილი 1. ტრიგონომეტრიული გასწორება დანაყოფი 2. გასწორების ჩვენება ნაწილი 3. ლოგარითმული განტოლება ნაწილი 4. ირაციონალური გასწორება ნაწილი 5. ბრძანება დასაკეცი ხელშეწყობის შესახებ Vidpovidі მარჯვნივ მითითებების სია

განმარტებითი შენიშვნა.

ათობითი რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობის (მოდულის) კონცეფცია მისი მახასიათებლების ერთ-ერთი არსია. ამის გაგება შეიძლება ძალიან ფართო გახდა ფიზიკური, მათემატიკური და ტექნიკური მეცნიერებების სხვადასხვა დარგებში. პრაქტიკაში, საშუალო სკოლაში მათემატიკის კურსისთვის, რუსეთის ფედერაციის თავდაცვის სამინისტროს პროგრამამდე, არაერთხელ აღინიშნება „რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობის“ გაგება: მე-6 კლასში, აღნიშვნა დანერგილია მოდული, მისი გეომეტრიული ზმისტი; მე-8 კლასში ყალიბდება აბსოლუტური შეცდომის გაგება; მე-11 კლასში გაგება ისმის განყოფილებაში „კორინ ნნაბიჯი." Dosvіd vykladannya pokaєє, shcho uchnі ხშირად stikâyutsya z სიძნელეები pіd hіvіshennya zavdan, scho vmagayut ცოდნა მოცემული მასალის შესახებ და ხშირად აცდენენ, vikonannya-ს გაგრძელების გარეშე. მე-9 და მე-11 კლასების კურსის საგამოცდო დავალებების ტექსტებშიც შედის მსგავსი ამოცანები. გარდა ამისა, უფრო მეტიც, თუ თქვენ წარუდგენთ VNZ სკოლების კურსდამთავრებულებს, ისინი რეაბილიტირებულნი არიან და, უმეტესწილად, სასკოლო პროგრამაზე ნაკლებიც კი. სამომავლო ცხოვრებისათვის კიდევ უფრო მნიშვნელოვანია აზროვნების მათემატიკური სტილის ჩამოყალიბება, რაც როზუმის ახალმოსახლეების სიმღერაში გამოიხატება. მოდულების ამოცანის შესრულების პროცესში აუცილებელია ისეთი გადაწყვეტილების მიღება, როგორიცაა შემდგომი დაზუსტება, ანალიზი, კლასიფიკაცია და სისტემატიზაცია, ანალოგია. მსგავსი ამოცანების მრავალფეროვნება საშუალებას გაძლევთ გადახედოთ სასკოლო კურსის ძირითადი განყოფილებების ცოდნას, ლოგიკური აზროვნების დაშლას და ძირითადი საქმიანობის საწყისებს. ცია რობოტი ენიჭება ერთ-ერთ განყოფილებას - virishennya rivnyan, scho მოდულის შურისძიება. მოგება შედგება სამი დივიზიისგან. პირველ განყოფილებაში მოცემულია ძირითადი ცნებები და ყველაზე მნიშვნელოვანი თეორიული ცნებები. მეორეზე ნაჩვენებია გათანაბრების ცხრა ძირითადი ტიპი, მოდულის შურისძიების მიზნით, განიხილება მათი სრულყოფის მეთოდები, აკრეფილია დასაკეცი სხვადასხვა თანასწორობის კონდახები. მესამეს აქვს დასაკეცი და არასტანდარტული განლაგება (ტრიგონომეტრიული, დისპლეი, ლოგარითმული და ირაციონალური). კანის ტიპამდე, ის შესაფერისია დამოუკიდებელი ვარიაციისთვის (მოყვანილია სხვადასხვა მითითებები და ინსტრუქციები). ამ სამუშაოს მთავარი მიზანია გაუწიოს სტუდენტებს მეთოდური დახმარება გაკვეთილებისთვის მომზადებაში და არჩევითი კურსების ორგანიზებაში. მასალა ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც სახელმძღვანელო საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის. მენეჯერი, სამსახურში წახალისებული, სიკა და არ დაიწყო მარტივი ზევით, რაც საშუალებას გაძლევთ გაზარდოთ სტუდენტების საწყისი მოტივაცია უფრო გაცნობიერებული, შეცვალოთ თქვენი ჯანმრთელობა, გააუმჯობესოთ კურსდამთავრებულთა ტრენინგი VNZ-ის შესასვლელამდე. რეპროდუქციული დონიდან მატერიალურზე გადასვლის უფლების დიფერენცირება და არასტანდარტული ამოცანების შესრულების საათის შესახებ ცოდნის განვითარების სწავლის უნარის შთაგონება.

ნაწილი 1. შესავალი.

ნაწილი 1. აბსოლუტური მნიშვნელობის დანიშვნა .

დანიშვნა : ათობითი რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა (მოდული). მაგრამდაურეკა უცნობ ნომერს: მაგრამან -მაგრამ. Დანიშნულება: │ მაგრამ │ ჩანაწერი ასე იკითხება: „ა რიცხვის მოდული“ ან „ა რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობა“

│ და თუ a > 0

│a│ = │ 0, ასე რომ a = 0 (1)

│ - ა, ისევე როგორც ა
მიმართვა: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

გააფართოვეთ Virazu მოდული:

ა) │x - 8│, თუ x > 12 ბ) │2x + 3│, თუ x ≤ -2 │x - 8│= x - 8 │ 2x + 3│= - 2x - 3

ნაწილი 2. ძირითადი მახასიათებლები.

მოდით შევხედოთ აბსოლუტური სიდიდის მთავარ ძალას. სიმძლავრე #1: Protilezhnі ნომერი mayut ტოლია მოდულები, tobto. │а│=│-а│გამოვავლინოთ ეჭვიანობის ერთგულება. ჩავწეროთ ნომერი -მაგრამ : │- ა│= (2) თანაბარი ქორწინება (1) და (2). აშკარაა, რომ რიცხვების აბსოლუტური მნიშვნელობების აღნიშვნა მაგრამі -მაგრამგაიქეცი. ოტჟე, │а│=│-а│
მოწინავე ხელისუფლებას ვუყურებთ, ჩვენ ვურევთ მათ ფორმულებს, რათა მათი მტკიცებულება მოიძებნოს სიმძლავრე #2: ფაქტობრივი რიცხვების საბოლოო რაოდენობის ჯამის აბსოლუტური მნიშვნელობა არ აღემატება დამატებითი რიცხვების აბსოლუტური მნიშვნელობების ჯამს: სიმძლავრე #3: ორ რეალურ რიცხვს შორის სხვაობის აბსოლუტური მნიშვნელობა არ აღემატება მათი აბსოლუტური სიდიდეების ჯამს: │а - в│ ≤│а│+│в│ სიმძლავრე #4: რეალური რიცხვების ბოლო რიცხვის შექმნის აბსოლუტური მნიშვნელობა უფრო მნიშვნელოვანია მულტიპლიკატორების აბსოლუტური მნიშვნელობების შევსებისთვის: სიმძლავრე #5: რეალური რიცხვების ნაწილის აბსოლუტური მნიშვნელობა უდრის მათი აბსოლუტური სიდიდეების კერძოს:

ნაწილი 3. რიცხვის მოდულის ცნების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია.

თქვენ შეგიძლიათ დააყენოთ წერტილი ციფრულ სწორ ხაზზე კანის ნომრისთვის, თითქოს ეს იყოს რიცხვის გეომეტრიული გამოსახულება. ციფრულ სწორ ხაზზე კანის წერტილი გიჩვენებთ კობს ამის გულისთვის. dozhina vіdіzka vіd vіdlіku vіdlіku to tsієї წერტილი. Tsya vіdstan priymaєtsya zavzhd როგორც არაუარყოფითი მნიშვნელობა. ამ მიზნით, ორმაგი სოლის დოჟინა იქნება მიმდინარე რიცხვის აბსოლუტური მნიშვნელობის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია.

მოცემულია გეომეტრიული ილუსტრაცია, რომელიც ადასტურებს No1-ის სიზუსტეს, ტობტო. საპირისპირო რიცხვების მოდულები ტოლია. თანასწორობის სამართლიანობის გაგება ადვილია: │x - a│= │a - x│. ასევე უფრო აშკარაა, რომ ამონახსნი უდრის │х│= m, de m ≥ 0 და x 1.2 თავად = ± m. მიმართვა: 1) │х│= 4 x 1.2 = ± 4 2) │х - 3│= 1
x 1.2 = 2; 4

განყოფილება 4. y = │х│ ფუნქციის გრაფიკი

ფუნქციის ფარგლები არის ყველა რეალური რიცხვი.

Rozdіl 5. ჭკვიანი შემეცნება.

ნადალ, ვარდის კონდახებს რომ უყურებს, რივნიანი იქნება ვიკორისტანი ასეთი ჭკვიანური აღნიშვნა: ( - სისტემის ნიშანი [ - ქორწინების ნიშანი როდესაც თანასწორობათა სისტემა ირღვევა, ამონახსნებს შორის ჩნდება უფსკრული თანასწორობის (უწესიერებების) სისტემაში შესასვლელად. როდესაც რივენიანის ქორწინება (უწესრიგობა) ირღვევა, არსებობს საერთო გადაწყვეტილება, რომელიც შედის რივნიანის ქორწინებაში (უწესიერებებზე).

თავი 2

ვისთვისაც ჩვენ დავყავით, შეგვიძლია შევხედოთ ალგებრის თანაბარი განვითარების გზებს, რომ ერთი ან მეტი მოდულის შურისძიება შეიძლება.

ნაწილი 1. გონების ტოლი │F(х)│= m

Rivnyanna tsgogo გონება ჰქვია უმარტივესს. გამოსავალი შეიძლება იყოს ლუწი და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ m ≥ 0. მოდულის მიზნებისთვის განსხვავება უდრის ორი ტოლის კომბინაციას: │ ფ(x)│=მ
მიმართვა:
№1. ამოხსნის გათანაბრება: │7х - 2│= 9


წინადადება: x 1 = - 1; X 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│= 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 + 3x = 0 x 1 = -1; x 2 \u003d -2 x (x + 3) \u003d 0 x 1 \u003d 0; x 2 = -3 Vidpovid: ფესვების ჯამი არის dorіvnyu - 2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│= 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 მნიშვნელოვანი x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ±√5 მ 2 – 5მ + 4 = 0 მ = 1; 4 - შეურაცხმყოფელი მნიშვნელობები აკმაყოფილებს გონებას m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 ვერდიქტი: მდინარეების ფესვების რაოდენობა 7. მარჯვენა:
№1. Razv'yazhit rivnyannya და აჩვენე ფესვების ჯამი: │х - 5 │ = 3 №2 . გააფართოვეთ განტოლება და აჩვენეთ უფრო პატარა ფესვი: │х 2 + х│ = 0 №3 . Razv'yazhit rivnyannya და აჩვენე უფრო დიდი ფესვი: │x 2 - 5x + 4 │ \u003d 4 №4 .Rіshіt rіvnyannya i vkazhіt qіliy korіn: │2х 2 – 7х + 6│= 1 №5 .Rіshіt rіvnyannya i vkazhіt kіlkіst korіnіv: │х 4 – 13х 2 + 50│= 14

ნაწილი 2. უდრის გონებას F(│х│) = m

მარცხენა ნაწილში ფუნქციის არგუმენტი იცვლება მოდულის ნიშნით, ხოლო ნაწილის უფლებები ცვლილებაში. მოდით შევხედოთ ამ სახის rozv'yazannya rіvnyan-ის ორ გზას. 1 გზა:აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით განსხვავება უდრის ორი სისტემის ერთობლიობას. ამათ კანში გონების სუბმოდულური ვირაზის ზედმეტადაა გადაფარებული. ფ(│х│) =მ
სკალირების ფუნქცია F(│х│) არის წყვილი მინიჭების მთელი დიაპაზონისთვის, მაშინ ფესვი უდრის F(х) = m і F(-х) = m – საპირისპირო რიცხვების ჯაჭვები. მაშასადამე, ერთ-ერთი სისტემის დასასრულებლად (განაცხადების მითითებით ნახვისას გადაიჭრება ერთი სისტემა). 2 გზა: Zastosuvannya მეთოდი zaprovadzhennya ახალი zminnoy. ამასთან, შემოტანილია მნიშვნელობა │х│= a de a ≥ 0.
მიმართვა: №1 . Razv'yazhit rivnyannya: 3x 2 - 4│х│= - 1 ჩვენ დავაჩქარებთ ახალი ცვლილების დანერგვას. მნიშვნელოვნად │x│= a, de a ≥ 0. გასწორების მოხსნა 3a 2 - 4a + 1 \u003d 0 D \u003d 16 - 12 \u003d 4 a 1 \u003d 1 a 2 \u003d 1 a 2 \u003d 1 a 2 \u003d 1/ /3. კანს ორი ფესვი აქვს. წინადადება: x 1 = 1; X 2 = - 1; X 3 = 1 / 3 ; X 4 = - 1 / 3 . №2. ტოლობის გაწყვეტა: 5x 2 + 3│x│- 1 \u003d 1/2 │x│ + 3x 2
ჩვენ ვიცით პირველი ქორწინების სისტემის გამოსავალი: 4x 2 + 5x - 2 \u003d 0 D \u003d 57 x 1 \u003d -5 + √57 / 8 x 2 \u003d -5-√57 / 8 ძვირფასო, რომ x 2 არ აკმაყოფილებს გონებას x ≥ 0. ამონახსნები სხვა სისტემა იქნება რიცხვი, რომელიც პროპორციულია x 1-ის. წინადადება: x 1 = -5+√57 / 8 ; X 2 = 5-√57 / 8 .№3 . აწევა ტოლია: х 4 – │х│= 0 მნიშვნელოვნად │х│= a, de a ≥ 0. აიღეთ ტოლი a 4 – a = 0 a (a 3 – 1) = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 გადაუხვიეთ საპირისპირო ცვლილება: │х│=0 და │х│= 1 x = 0; ± 1 წინადადება: x 1 = 0; X 2 = 1; X 3 = - 1.
მარჯვენა: №6. Razv'yazhit rivnyannya: 2│х│ - 4.5 = 5 - 3/8 │х│ №7 . Razv'yazhіt rivnyannya, at vіdpovіdі მიუთითეთ ფესვების რაოდენობა: 3х 2 - 7│х│ + 2 = 0 №8 . Razvyazіt rivnyannya, vіdpovіdі vіdpovіdі vkazhіt qіlі გამოსავალი: х 4 + │х│ - 2 = 0

ნაწილი 3. უდრის გონებას │F(х)│ = G(х)

მოცემული სახეობის ნაწილის უფლებები ცვალებადია და, შესაბამისად, მისი ამოხსნა შესაძლებელია კიდევ და ნაკლებად, თუ G (x) ფუნქციის ნაწილის უფლებები ≥ 0. ტოლის ნაწილი შეიძლება მოიძებნოს. ორი გზით: 1 გზა:სტანდარტული, ეფუძნება განვითარების მოდულის, vykhodyachi z yogo დანიშვნის და polagaє თანაბარი გადასვლას კომბინაცია ორი სისტემა. │ ფ(x)│ =გ(X)

დანიას შეუძლია რაციონალურად გადაუგრიხეს ჯერ დასაკეცი ფუნქციისთვის G (x) და ნაკლებად დასაკეცი - F (x) ფუნქციისთვის, ასე რომ, დარღვევების ვარიაცია გადადის F (x) ფუნქციაზე. 2 გზა: Perebuvaetsya rіvnosilnoї sistemі გადასვლისას, at yakіy ზედმეტად გონების მარჯვენა ნაწილზე. │ ფ(x)│= გ(x)

დანიური გზა zastosovuvaty, მაგალითად, ფუნქციისთვის G(x) არის ნაკლებად დასაკეცი, უფრო დაბალია ფუნქციისთვის F(x), ასე რომ სხვაობა G(x) ≥ 0 შორის უთანასწორობას შორის გადადის. მიმართვა: №1. ამოხსნის გათანაბრება: │x + 2│= 6 -2x
(1 გზა) შეამოწმეთ: x = 1 1 / 3 №2.
│x 2 - 2x - 1 │ \u003d 2 (x + 1)
(2 გზა) ვერდიქტი: ტვერის ფესვი - 3.
№3. Razv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі აჩვენებს ფესვების ჯამს:
│x - 6 │ \u003d x 2 - 5x + 9

ვერდიქტი: ფესვების ჯამი კარგია 4.
მარჯვენა: №9. │x + 4│= - 3x №10. Razv'yazhit rivnyannya, vіdpovіdі-ზე მიუთითეთ rozv'yazkіv-ის რაოდენობა: │х 2 + х - 1│= 2х - 1 №11 . Razv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі vkazhіt dobutok root: │x + 3│= x 2 + x - 6

ნაწილი 4. უდრის გონებას │F(x)│= F(x) და │F(x)│= - F(x)

Rivnyannya tsgogo გონება ზოგჯერ უწოდებენ "ლამაზი". ტოლობის ნაწილის უფლების ნატეხები დევს ცვლილების სახით, გადაწყვეტილება მიიღება და იგივე, თუ ნაწილის უფლება არაუარყოფითია. ამიტომ, vihіdnі іvnіnіnі іvnіnіnі іvnosіlnі nerіvnosti:
│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 და │F(x)│= - F(x) F(x) მიმართვა: №1 . Razvyazіt rivnyannya, vіdpovіdі vіdpovіdі vіdіnіt vіdpoіdі vіdzhіt kіlіy korіnі: │5х - 3│= 5х - 3 5х - 3 ≥ 0 5х ≥ 0 5х ≥ შეამოწმეთ: x = 1№2. Razvyazіt rivnyannya, vіdpovіdі vіdvіdі vаzhіt vіdzhіnі promіzhі: │х 2 - 9 │= 9 - х 2 х 2 - 9 ≤ 0 (х - 3) (х + 3) ≤ 0 [-3; 3] Vidpovid: dozhina promizhku dorіvnyuє 6.№3 . Razv'yazhit ryvnyannya, vіdpovіdі-ში შეიყვანეთ tsilih razv'azkіv რიცხვი: │2 + х – х 2 │= 2 + х – х 2 2 + х – х 2 ≥ 0 х 2 – х – 2 ≤ 0 [- 1 ; 2] შემოთავაზება: 4 მთლიანი ხსნარი.№4 . Razv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі vkazhіt უდიდესი ფესვი:
│4 - x -
│= 4 – x –
x 2 - 5x + 5 \u003d 0 D \u003d 5 x 1.2 \u003d
≈ 1,4

ვერდიქტი: x = 3.

მარჯვენა: №12. Razv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі vkazhіt qіliy korіn: │х 2 + 6х + 8 │ = х 2 + 6х + 8 №13. Razv'yazhіt rivnyannya, y vіdpovіdі მიუთითეთ tіlih გადაწყვეტილებების რაოდენობა: │13x – x 2 - 36│+ x 2 – 13x + 36 = 0 №14. Razv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі მიუთითეთ მთელი რიცხვი, რომელიც არ არის іvnyannia-ს ფესვი:

ნაწილი 5. უდრის გონებას │F(x)│= │G(x)│

ტოლობის შეურაცხმყოფელი ნაწილების ნატეხები არაუარყოფითია, მაშინ გადაწყვეტილება გადმოსცემს ორი ვიპადკივის ხედვას: pіdmodulnі virazi vіvnі chi protilezhnі ნიშნის უკან. Otzhe, vyhіdne rіvnyannja іvnostrіvnі sukupnі tvoh іvnyan: │ ფ(x)│= │ გ(x)│
მიმართვა: №1. Rozv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі vkazhіt qіliy korіn: │х + 3│=│2х - 1│
შემოთავაზება: მთელი ფესვი x = 4.№2. გახსენით მდინარე: │ x - x 2 - 1│ \u003d │2x - 3 - x 2 │
ვერდიქტი: x = 2.№3 . Rozv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі vkazhіt dobutok root-ში:




ფესვები ტოლია 4x2 + 2x - 1 = 0x1.2 = - 1±√5 / 4 Vidpovid: dobutok korіnnya dorіvnyuє - 0.25. მარჯვენა: №15 . Razv'yazhіt rivnyannya, at vіdpovіdі vkazhіt tsіle გადაწყვეტა: │х 2 – 3х + 2│= │х 2 + 6х - 1│ №16. Rozv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі vkazhіt ნაკლები root: │5x - 3│=│7 - x│ №17 . Rozv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі აჩვენებს ფესვების ჯამს:

Rozdіl 6. გამოიყენეთ არასტანდარტული რივენის ჰალსტუხი

ჩვენ შეგვიძლია შევხედოთ არასტანდარტული რივიანების მაგალითებს, მაგალითად, რომელთა აბსოლუტური მნიშვნელობა დამოკიდებულია დანიშვნაზე. მიმართვა:

№1. Razv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі vkazhіt ფესვების ჯამი: х │х│- 5х – 6 = 0
შემოთავაზება: ფესვების ჯამი არის 1 №2. . Razv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі vkazhіt მცირე ფესვი: х 2 - 4х ·
- 5 = 0
შემოთავაზება: უფრო პატარა ფესვი x = - 5. №3. გახსენით მდინარე:

შეამოწმეთ: x = -1. მარჯვენა: №18. Razv'yazhіt ტოლია და აჩვენე ფესვების ჯამი: x │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. გახსენით ტოლი: x 2 - 3x \u003d

№20. გახსენით მდინარე:

ნაწილი 7. უდრის გონებას │F(x)│+│G(x)│=0

არ არის მნიშვნელოვანი გახსოვდეთ, რომ მარცხენა ნაწილი უდრის არაუარყოფითი მნიშვნელობების ჯამს. ოტჟე, მომავალში შესაძლებელია გადაწყვეტილების მიღება და მით უმეტეს, თუ დოდანკას დანაშაული ერთბაშად ნულის ტოლია. Rivnyannya თანაბრად ძლიერი სისტემები ტოლია: │ ფ(x)│+│ გ(x)│=0
მიმართვა: №1 . გახსენით მდინარე:
ვერდიქტი: x = 2. №2. გახსენით მდინარე: შეამოწმეთ: x = 1. მარჯვენა: №21. გახსენით მდინარე: №22 . Rozv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі აჩვენებს ფესვების ჯამს: №23 . Razv'yazhit rіvnyannya, vіdpovіdі vkazhіt kіlkіst іdіnі:

ნაწილი 8. უდრის გონებას │а 1 x + y 1 │±│а 2 x + y 2 │± … │а n x + в n │= m

ამ გონების თანასწორობის გასაუმჯობესებლად გამოიყენება ინტერვალების მეთოდი. თუ გსურთ შეამოწმოთ ბოლო მოდული, მაშინ აიღეთ იგი ნსისტემების კოლექციები, რომლებიც ძალიან შრომატევადი და არახელსაყრელია. ვნახოთ ინტერვალის ალგორითმის მეთოდი: 1). იცოდე ცვლილების მნიშვნელობა X, ნებისმიერი სკინისთვის, მოდული უდრის ნულს (ნულოვანი pіdmodulnyh vrazіv):
2). ნაპოვნია მნიშვნელობები რიცხვთა ხაზში, როგორც დაყოფილია ინტერვალებად (ინტერვალების რაოდენობა ალბათ მეტია ნ+1 ) 3). მნიშვნელოვანია, რომ გარკვეული ნიშნით კანის მოდული იხსნება კანის მოდულზე მინიმალური ინტერვალებით (გადაწყვეტილების მიღებისას შეგიძლიათ აირჩიოთ რიცხვითი სწორი ხაზი, მას მიანიშნოთ ნიშნები) 4). Vihіdne rіvnyannya іvnostrіvno sukupnostі ნ+1 სისტემები, კანში, მათ შორის, ცვლილების კუთვნილება Xერთ-ერთი ინტერვალი. მიმართვა: №1 . Razv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі vkazhіt უდიდესი ფესვი:
ერთი). ჩვენ ვიცით ნულოვანი სუბმოდულური ვირუსები: x = 2; x = -3 2). მნიშვნელოვნად ცნობილია რიცხვითი მნიშვნელობები და მნიშვნელოვანი, გარკვეული ნიშნით, კანის მოდულის მრუდი ქვეინტერვალებზე:
x – 2 x – 2 x – 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- გამოსავალი არ არის, რივნიანიას შეიძლება ორი ფესვი ჰქონდეს. Vidpovid: მაქსიმალური ფესვი x = 2. №2. Razv'yazhіt rivnyannya, at vіdpovіdі vkazhіt qіliy korіn:
ერთი). ჩვენ ვიცით ნულოვანი სუბმოდულური ვირუსები: x = 1,5; x = - 1 2). მნიშვნელოვნად ცნობილი მნიშვნელობა i რიცხვით წრფეზე მნიშვნელოვანია, გარკვეული ნიშნით კანის მოდულის მრუდი ქვეინტერვალებზე: x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1.5 x 2x - 3 2x - 3 2x - 3 - - +
3).
დანარჩენ სისტემას არ აქვს გამოსავალი, ამიერიდან ტოლს შეიძლება ჰქონდეს ორი ფესვი. დასაწყისში rozv'yazannya ryvnyannya შემდეგი შემობრუნების პატივისცემა "-" ნიშანი სხვა მოდულის წინ. შემოთავაზება: მთელი ფესვი x = 7. №3. Razv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі vkazhіt ფესვების ჯამი: 1). ჩვენ ვიცით ნულოვანი სუბმოდულური ვირუსები: х = 5; x = 1; x = - 2 2). მნიშვნელოვნად ცნობილი მნიშვნელობები რიცხვთა ხაზზე და მნიშვნელოვანი, გარკვეული ნიშნით, კანის მოდულის მრუდი ქვეინტერვალებით: х – 5 х – 5 х – 5 х – 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
განტოლებას აქვს ორი ფესვი x = 0 და 2. ვერდიქტი: ფესვების ჯამი არის 2. №4 . Razv'yazhit rivnyannya: 1). ჩვენ ვიცით ნულოვანი სუბმოდულური ვირუსები: х = 1; x = 2; x = 3. 2). საგულისხმოა, რომ გარკვეული ნიშნით კანის მოდული ამოღებულია ინტერვალებიდან. 3).
კომბინირებული გადაწყვეტილებები პირველი სამი სისტემისთვის. წინადადება: ; x = 5.
მარჯვენა: №24. გახსენით მდინარე:
№25. Razv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі აჩვენებს ფესვების ჯამს: №26. Rozv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі vkazhіt მცირე ფესვი: №27. Rozv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі vkazhіt უფრო დიდი ფესვი:

ნაწილი 9

Rivnyannya, რომელიც შურისძიების საშუალებას იძლევა მოდულების დაღვრაზე, გადმოსცემს აბსოლუტური მნიშვნელობების არსებობას სუბმოდულურ ვირუსებში. ამ ტიპის გაფართოების მთავარი პრინციპია მოდულების შემდეგი გაფართოება, ძველიდან დაწყებული. შედეგად მიიღება გადაწყვეტილება და განიხილება No1, No3 განყოფილებები.

მიმართვა: №1. გახსენით მდინარე:
ვიდპოვიდი: х = 1; - თერთმეტი. №2. გახსენით მდინარე:
Vіdpodіd: х = 0; 4; - 4. №3. Rozv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі vkazhіt dobutok root-ში:
Vidpovid: dobutok root dorivnyu - 8. №4. გახსენით მდინარე:
საგრძნობლად თანაბარი ქორწინება (1) і (2) რომ მათი კანის აღქმადი ხსნარი არის ოკრემო დიზაინის სიცხადისთვის. ასე რომ, როგორც შეურაცხყოფა, რომელიც უდრის ერთზე მეტი მოდულის აღებას, უმჯობესია უფრო თანაბარი გადასვლა სისტემების მთლიანობაზე. (1)

(2)


წინადადება:
მარჯვენა: №36. Razv'yazhіt rivnyannya, at vіdpovіdі vkazhіt ფესვების ჯამი: 5 │3x-5│ = 25 x №37. Razv'yazhіt rivnyannya, რადგან ფესვი ერთზე მეტია, ამავე დროს, მიუთითეთ ფესვების ჯამი: │x + 2│ x - 3x - 10 \u003d 1 №38. Razv'yazhit rivnyannya: 3 │2х -4│ = 9 │х│ №39. Razv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі vkazhіt ფესვების რაოდენობა: 2 │ sin x │ = √2 №40 . Rozv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі მიუთითეთ ფესვების რაოდენობა:

ნაწილი 3. ლოგარითმული გათანაბრება.

შეტევითი ტოლების გაშვებამდე აუცილებელია ლოგარითმებისა და ლოგარითმული ფუნქციების სიძლიერის გამეორება. მიმართვა: №1. Razv'yazhit rivnyannya, in vіdpovіdі vkazhіt dobutok root: log 2 (х+1) 2 + log 2 │x+1│ = 6 О.Д.З. x+1≠0 x≠ - 1

1 fallow: თუ x ≥ - 1, მაშინ log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – ტვინის დამაკმაყოფილებელი x ≥ - 1 2 თავდაყირა: დიახ x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + ჟურნალი 2 (-(x+1)) = 6 ჟურნალი 2 (-(x+1) 3) = ჟურნალი 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – კმაყოფილი გონებრივი x - 1
Vidpovid: dobutok root dorivnyu - 15.
№2. Razv'yazhіt rivnyannya, vіdpovіdі აჩვენე ფესვების ჯამი: lg
ო.დ.ზ.

ვერდიქტი: ფესვების ჯამი არის 0,5.
№3. გახსენით ხაზი: ჟურნალი 5
ო.დ.ზ.

ვერდიქტი: x = 9. №4. ამოღების გათანაბრება: │2 + log 0.2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 უფრო სწრაფად ფორმულით სხვა საფუძველზე გადასვლამდე. │2 - ჟურნალი 5 x│+ 3 = │1 + ჟურნალი 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 ჩვენ ვიცით ნულოვანი სუბმოდულური ვირუსები: x = 25; x = qi რიცხვები ყოფს დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონს სამ ინტერვალზე, რაც უდრის სამი სისტემის ჯამს.
შემოთავაზება :)