მიეცით ორი ცვლილების ფუნქცია. ჩვენ არგუმენტს ვამატებთ, მაგრამ არგუმენტი ძალიან უცვლელია. იგივე ფუნქცია შლის მოგებას, რადგან მას უწოდებენ კერძო მოგებას ცვლილებისთვის და ენიჭება:

ანალოგიურად, არგუმენტის დაფიქსირება და არგუმენტისთვის ნამატის მინიჭება, ჩვენ ვხსნით ცვლილების უკან ფუნქციის კერძო ზრდას:

მნიშვნელობა ეწოდება ფუნქციის უდიდეს ზრდას ქულებში.

დანიშვნა 4. ორი ცვალებადის კერძო ფუნქცია ეწოდება ფუნქციის კერძო გაზრდის ცვლილებას მოცემული ცვლილების ცვლილებამდე, თუ რჩება ნულის (ე.ი. საზღვარი) ნარჩენი. პირადად ასე იგულისხმება: ან, ან.

ამ რანგში დანიშნულ მერზე:

კერძო ფუნქციები გამოითვლება სწორედ წესებისა და ფორმულების მიხედვით, თითქოს ფუნქცია არის ცვლილება, ის დაცულია საკუთარისგან, რომ დიფერენცირდება ცვლილების მიხედვით, მნიშვნელოვანია იყოს მუდმივი და დიფერენცირებისას. შეიცვალოს, ეს უნდა იყოს

მაგალითი 3. იცოდე პირადი გართობის ფუნქციები:

გამოსავალი. ა) იმისათვის, რომ ვიცოდეთ ამ დიფერენციალის მნიშვნელოვანი მუდმივი მნიშვნელობა ერთი ცვლადის ფუნქციის სახით:

ანალოგიურად, მუდმივ მნიშვნელობასთან დაკავშირებით, ჩვენ ვიცით:

დანიშვნა 5. ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი არის კერძო მსგავსი ფუნქციების ქმნილებათა ჯამი დამოუკიდებელი დამოუკიდებელი, ტობტოს გაზრდისას.

თუ გადავხედავთ იმ ფაქტს, რომ დამოუკიდებელი ცვლილებების დიფერენციალი იზრდება მათი მატებით, ე.ი. , მთლიანი დიფერენციალური ფორმულა შეიძლება დაიწეროს ფორმით

მაგალითი 4. გამოთვალეთ ფუნქციის საბოლოო დიფერენციალი.

გამოსავალი. Oskіlki მიღმა ფორმულა სრული დიფერენციალური ცნობილია

უმაღლესი დონის პირადი არდადეგები

კერძო არდადეგებს უწოდებენ პირველი რიგის კერძო დღესასწაულებს ან პირველ კერძო არდადეგებს.

დანიშვნები 6. განსხვავებული რიგის კერძო ფუნქციებს პირველი რიგის კერძო ფუნქციებს უწოდებენ.

სხვა რიგის კერძო ჭოტირი. ფონები ინიშნება შემდეგნაირად:

ანალოგიურად, ენიჭება მე-3, მე-4 და უფრო მაღალი ორდერის კერძო დანაკარგები. მაგალითად, ფუნქციისთვის შეიძლება:

განსხვავებული რიგის პირად არდადეგებს, სხვადასხვა ცვლილებებიდან აღებულს, შეცვლილ კერძო არდადეგებს უწოდებენ. ფუნქციისთვის є pokhіdnі. პატივისცემაა, რომ ხასიათზე ხარ, თუ თავისუფლად ლაპარაკობ შეუფერხებლად, ადგილი აქვს ეჭვიანობას.

მაგალითი 5. პირადი ფუნქციების შეცვლა სხვა თანმიმდევრობით

გამოსავალი. პირველი რიგის პირადი ფუნქციები ნაპოვნია აპლიკაციაში 3:

დიფერენციაცია და ცვლილება x და y, otrimaemo

ვირიშუვატის ფიზიკის ამოცანები ან მათემატიკის გამოყენება აბსოლუტურად შეუძლებელია გაანგარიშების ამ მეთოდის ცოდნის გარეშე. პოხიდნა არის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მათემატიკური ანალიზის გასაგებად. გადავწყვიტეთ ეს ფუნდამენტური თემა დღევანდელ სტატიას მივუძღვნათ. რა არის ცუდი, რა სახის ფიზიკური და გეომეტრიული ცვლილება, როგორ გავაფუჭოთ კარგი ფუნქცია? ყველა კვება შეიძლება ერთში: როგორ გავიგო როგორ წავიდე?

გეომეტრიული და ფიზიკური გრძნობა მსგავსია

მოდი, იფუნქციონირებს f(x) , მოცემულია სიმღერის ინტერვალში (ა, ბ) . წერტილები x და x0 დევს მე-ე ინტერვალამდე. x-ის შეცვლისას თავად ფუნქცია იცვლება. არგუმენტის შეცვლა - იოგას ღირებულების განსხვავება x-x0 . რა განსხვავებაა ჩაწერილი დელტა x და მას უწოდებენ უფრო დიდ არგუმენტს. ფუნქციის შეცვლას ან გაზრდას ეწოდება ფუნქციის მნიშვნელობის განსხვავება ორ წერტილში. მოგზაურობის დანიშვნა:

Pokhіdna funktsії y წერტილი - ფუნქციის გაზრდას tsіy წერტილში zbіlshennya არგუმენტს შორის, თუ ნაშთი უდრის ნულს.

წინააღმდეგ შემთხვევაში, შეგიძლიათ დაწეროთ ასე:

რა აზრი აქვს ასეთ საზღვრებს? და ღერძი არის იაკი:

წერტილის ფუნქციის მსგავსი, OX წერტილებს შორის კუტას ტანგენსი მსგავსია ციჯ წერტილის ფუნქციის გრაფიკის.

დღის ფიზიკური გრძნობა: pokhіdna ბილიკები ერთი საათის განმავლობაში dorovnyuє shvidkostі სწორხაზოვანი ruhu.

რა თქმა უნდა, სკოლის საათებიდან ვხედავთ, რომ შვედურობა კერძო გზაა. x=f(t) იმ საათს ტ . საშუალო სიჩქარე ერთი საათის განმავლობაში:

შობმა ამოიცნოს სირბილის უსაფრთხოება საათის მომენტში t0 აუცილებელია გამოთვლა შორის:

პირველი წესი: დაადანაშაულეთ მუდმივი

მუდმივი შეიძლება იყოს ცუდი ნიშანი. ამაზე მეტი - ეს მოითხოვს შრომას. როდესაც vyrishenny გამოყენებითი მათემატიკა, როგორც წესი - როგორ შეიძლება ვირაზ იკითხო, ობოვ'აზკოვო იკითხე .

კონდახი. მოდით გამოვთვალოთ ღირებულება:

წესი მეგობარს: Pokhіdna sumi funktsіy

Pokhіdna sumi dvoh funktsіy dorivnyuє sumі pokhіdnih tsikh funktsіy. იგივე ეხება მსგავს საცალო ფუნქციებს.

ის არ გვთავაზობს თეორემის დადასტურებას, არამედ პრაქტიკულ მაგალითს.

იცოდე დაკავშირებული ფუნქციები:

წესი სამი: ფუნქციების ცუდი მუშაობა

Pokhіdna ქმნის ორ ფუნქციას, რომლებიც დიფერენცირებულია, გამოითვლება ფორმულით:

მაგალითი: იცოდე შემდეგი ფუნქციები:

გამოსავალი:

აქ მნიშვნელოვანია ითქვას მსგავსი ფუნქციების დასაკეცი გაანგარიშების შესახებ. Pokhіdna დასაკეცი ფუნქცია უფრო ძვირია, რათა შეავსოს pokhіdnoї tsієї funktsії შუალედური არგუმენტის უკან, დამოუკიდებელი ცვლილების უკან შუალედური არგუმენტის უარესი.

თვალსაზრისით, mi zustrіchaєmo viraz-ის აპლიკაცია:

ამ შემთხვევაში, შუალედური არგუმენტი არის 8x მეხუთე საფეხურისთვის. ასეთი ვირაზის ღირებულების გამოსათვლელად, მნიშვნელოვანია გამოვთვალოთ გარე ფუნქციის მნიშვნელობა შუალედური არგუმენტისთვის და შემდეგ გავამრავლოთ არაშუალედური არგუმენტის მნიშვნელობაზე დამოუკიდებელი ცვლილებისთვის.

წესი მეოთხე: კერძო ორი ფუნქციის მსგავსი

ორი ფუნქციის მსგავსი ნაწილის არჩევის ფორმულა:

ჩვენ შევეცადეთ მოგითხროთ ჩაიდანის დღესასწაულების შესახებ ნულიდან. ეს თემა არც ისე მარტივია, როგორც ირკვევა, შესაძლებელია: კონდახებს ხშირად აქვთ მაკარონი კონდახებზე, ამიტომ ფრთხილად იყავით კარგის დათვლისას.

ნებისმიერი მიზეზის გამო, სხვა თემებისთვის, შეგიძლიათ დაუბრუნდეთ სტუდენტურ სამსახურს. მოკლე ვადით, ჩვენ დაგეხმარებით საკონტროლო სიის შედგენაში და ამოცანების დალაგებაში, ისევე, როგორც ადრე, თქვენ არ გქონიათ საქმე ბოლოების გამოთვლასთან.

მოდით შევხედოთ ფუნქციას ორი გზით:

$x$ და $y$ ცვლილების ფრაგმენტები დამოუკიდებელია, ასეთი ფუნქციისთვის შესაძლებელია პირადი ინფორმაციის გაგება:

პირადი ფუნქცია $f$ წერტილში $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \მარჯვნივ)$ ცვლილებისთვის $x$ -

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\ to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\დელტა x;((y)_(0)) \მარჯვნივ))(\დელტა x)\]

ანალოგიურად, შეგიძლიათ დანიშნოთ პირადი გადასახადი $y$-ის ცვლილებისთვის:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\ to 0)(\mathop(\lim))\,\frac(f\left((x)_(0) );((y)_(0))+\დელტა y \მარჯვნივ))(\დელტა y)\]

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იმისთვის, რომ ვიცოდეთ ზოგიერთი ცვლილების კერძო ფუნქციები, აუცილებელია ცვლილების გადაწყვეტილების დაფიქსირება, krіm shukanoї, და შემდეგ ჩვენ გვეცოდინება zvichaynu pokhіdna ცვლილების ფასისთვის.

ჟღერს ასეთი ცუდის დათვლის მთავარ ხრიკს: უბრალოდ გაითვალისწინეთ, რომ ყველაფერი იცვლება, krym tsієї, є მუდმივი, რის შემდეგაც განასხვავეთ ფუნქცია ისე, რომ განასხვავოთ "სიგოლური" - ერთი zminnoy. Მაგალითად:

$\begin(გასწორება)& ((\ მარცხნივ(((x)^(2))+10xy \მარჯვნივ))_(x))^(\prime )=((\ მარცხენა ((x)^(2 ) )) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime))_(x)=2x+10y, \\& ( ( \left(((x)^(2))+10xy \მარჯვნივ))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \მარჯვნივ))^( \ მთავარი ))_(y)+10x\cdot ((\ მარცხნივ(y \მარჯვნივ))^(\პირველი ))_(y)=0+10x=10x. \\\ბოლო (გასწორება)$

ცხადია, ნორმალურია კერძო არდადეგების მიცემა სხვადასხვა ცვლილებებისგან. რატომ არის უფრო მნიშვნელოვანი იმის გაგება, თუ რატომ, ვთქვათ, პირველში წყნარად დაგვირიცხეს $10y$ s-pid ცუდი ნიშანი, ხოლო მეორეში - პირველი იყო ნულოვანი. ყველაფერი ჩაფიქრებულია იმით, რომ ყველა ასო, krіm zminnoi, გარკვეული დიფერენციაციისთვის, პატივს სცემენ მუდმივებს: შეიძლება მათი დადანაშაულება, გადაფურთხება და ა.შ.

რა არის "პირადი გართობა"?

დღეს ვისაუბრებთ რამდენიმე ჩეინჯერის ფუნქციებზე და მათში კერძო არდადეგებზე. პირველ რიგში, რა ფუნქცია აქვს რამდენიმე ჩანაცვლებას? Dosi mi გამოიძახა ფუნქციის შესაცვლელად, როგორიცაა $y\left(x \right)$ ან $t\left(x \right)$, წინააღმდეგ შემთხვევაში შეცვალეთ მასში ერთი ფუნქცია. ახლა ჩვენში მხოლოდ ერთი ფუნქცია იქნება და იქნება შპრატის შეცვლა. თუ შეცვლით $y$ და $x$, ფუნქციის მნიშვნელობა შეიცვლება. მაგალითად, თუ $x$ გაიზრდება ორჯერ, იცვლება ფუნქციის მნიშვნელობა, თუ $x$ იცვლება, მაგრამ $y$ არ იცვლება, ფუნქციის მნიშვნელობა თავად იცვლება.

გასაგები იყო, რომ ფუნქცია ცვლადის რაოდენობის სახით, ისევე როგორც ერთ-ერთ ცვლადში, შეიძლება დიფერენცირებული იყოს. თუმცა, oskіlki zmіnnykh kіlka, მაშინ შესაძლებელია დიფერენცირება სხვადასხვა zmіnnyh. ვის აბრალებენ კონკრეტულ წესებს, რომლებიც ერთი და იგივეა ერთი ცვლილების დიფერენცირებისას.

უპირველეს ყოვლისა, თუ გვინდა დავკარგოთ ჩვენი ფუნქციები, თუ ვართ რაღაცნაირად ცვალებადი, მაშინ ჩვენ ვართ დამნაშავე, რა სახის ცვლილება უნდა დავტოვოთ - ამიტომაც ჰქვია ამას კერძო არეულობა. მაგალითად, ჩვენ გვაქვს ორი განსხვავებული ფუნქცია და შეგვიძლია დავაფიქსიროთ її, როგორიცაა $x$, ასე რომ, $y$ არის ორი კერძო, რომელიც მსგავსია zminnyh-ის კანისა.

სხვანაირად, თუ ჩვენ დავაფიქსირეთ ერთ-ერთი ცვლილება და მის შემდეგ დავიწყებთ პრივატულ პატივისცემას, მაშინ ყველაფერი, რაც შედის ფუნქციაში, დაცულია მუდმივებით. მაგალითად, $z\left(xy \მარჯვნივ)$, რადგან ჩვენ მნიშვნელოვანია, რომ პირადად ვიაროთ $x$-ის გარშემო, შემდეგ კი, ნახევრად-უბრალოდ $y$-ს, ჩვენ მნიშვნელოვანია ვიყოთ მუდმივი და ვიყოთ თავისთავად. როგორც მუდმივი. ზოკრემა, ცუდის დათვლისას შეიძლება $y$-ს ბორკილები დავაბრალოთ (ჩვენ გვაქვს მუდმივი), მაგრამ ცუდი ფულის დათვლისას, როგორც აქ გვაქვს, ვირუსივით არის $y$-ის შურისძიება და არა $x$-ის შურისძიება. მაშინ კარგია virazu dorivnyuvatime "ნულოვანი" როგორც კარგი მუდმივი.

ერთი შეხედვით, თქვენ შეგიძლიათ მოშორდეთ, რომ მე ამის შესახებ დაკეცილი სახით მოგიყვებით და ბევრი შემსწავლელი გაცურდება კობზე. კერძოთა შორის ზებუნებრივი არაფერია და ჩვენ კონკრეტული ამოცანების კონდახიდან ვიცვლებით.

პასუხისმგებელია რადიკალებზე და მდიდარ წევრებზე

მენეჯერი No1

ტირილი, რომ საათს არ დავკარგავ, თავიდანვე დავიწყებთ სერიოზული კონდახებით.

დამწყებთათვის, ვფიქრობ, შემდეგი ფორმულა:

ეს არის ცხრილის სტანდარტული მნიშვნელობა, როგორც ვიცით სტანდარტული კურსიდან.

კარგია ვინმემ გამოიყენოს $z$ ასე:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \მარჯვნივ))^(\prime))_(x)\]

მოდით კიდევ ერთხელ, ფესვების ქვეშ არსებული ფრაგმენტები ღირს არა $x$, არამედ სხვა ვირაზები, ამ შემთხვევაში $\frac(y)(x)$, შემდეგ ვაჩქარებთ სტანდარტული ცხრილის მნიშვნელობებს და შემდეგ ფრაგმენტებს ფესვები არ ღირს $x $, და კიდევ ერთი ვირაზი, აუცილებელია გავამრავლოთ ჩვენი ხარჯები ერთ ვირაზზე მეორე ვირაზზე. მოდი ვიწყოთ კუბოზე ფეხის დადგმა:

\[((\ left(\frac(y)(x) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=\frac(((((((y)"))_(x))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(x)))((x)^(2)))=\frac(0\cdot xy\cdot 1)(((x)^(2) ) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

მოდით მივმართოთ ჩვენს ვირაზუს და დავწეროთ:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \მარჯვნივ))^(\prime))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \მარჯვნივ)\]

პრინციპში ყველაფერია. თუმცა, არასწორია її-ის ასეთ იერსახეში დატოვება: შორეულებისთვის ასეთი კონსტრუქციის დაძლევა არ არის მოსახერხებელი, ასე რომ, წვრილმანს მოვიქცეთ:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \მარჯვნივ)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

ვიდპოვიდი იპოვეს. ახლა მოდით გავუმკლავდეთ $y$-ს:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)\]

ვიპიშემო ოკრემო:

\[((\ left(\frac(y)(x) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=\frac(((((((y)"))_(y))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot xy\cdot 0)(((x)^(2) ) )=\frac(1)(x)\]

ახლა ჩვენ ვწერთ:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2)))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2)))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

ყველაფერი დამსხვრეულია.

მენეჯერი No2

ეს კონდახი არის ერთდროულად უფრო მარტივი და უფრო დასაკეცი, ქვედა წინ. უფრო დასაკეცი, რომ აქ მეტი მოქმედებაა, მაგრამ უფრო მარტივი, რომ აქ ფესვი არ არის, უფრო მეტიც, ფუნქცია სიმეტრიულია $x$ და $y$, tobto. როგორც ჩვენ გვახსოვს $x$ და $y$ როგორც მისიები, ფორმულა არ იცვლება. ცე პატივისცემა უნდა ეპატიებინა კერძო ხარჯების გადახდა, ტობტო. საკმარისია ერთი მათგანი დააზიანოთ, მეორეში კი უბრალოდ დაიმახსოვროთ $x$ და $y$ ფუნჯებით.

საქმეზე გადავიდეთ:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy))(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \ მარჯვნივ ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime))_(x)\left(((x)^(2))+ ((y)^(2))+1 \მარჯვნივ)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \მარჯვნივ))^(\prime ) )_(x))((\მარცხნივ(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \მარჯვნივ))^(2)))\]

მოდი ვიღელვოთ:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \მარჯვნივ))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

პროტე უხვად ისწავლე უმეცრების ასეთი ჩანაწერი, ღერძს ასე ჩამოვწერთ:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\ მარცხნივ(y \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

ამ რანგში ჩვენ კიდევ ერთხელ გადავდივართ კერძო ნათესავების ალგორითმის უნივერსალურობაზე: მათ არ აინტერესებთ ისინი, თუ ყველა წესი სწორად არის დაყენებული, თქვენ თვითონ იქნებით.

ახლა მოდით გადავხედოთ ჩვენი შესანიშნავი ფორმულის კიდევ ერთ კერძო ხრიკს:

\[((\ left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

დავუშვათ, რომ ჩვენ მოვხსნით დამოკიდებულებას ჩვენს ფორმულაზე და ვაშორებთ მას:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ მარჯვნივ)-xy((\ მარცხნივ(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \მარჯვნივ))^(\პირველი ))_(x))((\მარცხნივ (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \მარჯვნივ))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \მარჯვნივ)-xy\cdot 2x)((\ მარცხენა ((( (x)^(2))+((y)^(2))+1 \მარჯვნივ))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \მარჯვნივ))((\ მარცხენა(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \მარჯვნივ))^(2))=\frac(y\მარცხნივ(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \მარჯვნივ))(((\მარცხნივ(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \მარჯვნივ))^(2 )))\]

$x$ აღდგენილია. და იმისათვის, რომ დავაფიქსიროთ $y$ იმავე ვირაზში, მოდით არ ვიკონუვათ წვრილმანის ერთი და იგივე თანმიმდევრობა, არამედ ჩვენი ნათელი ვირაზის სიმეტრიით - ჩვენ უბრალოდ შევცვლით ჩვენს ნათელ ვირაზს ყველა $y$-ით $x$-ით და ნავპაქით. :

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \მარჯვნივ))((( ( \ მარცხნივ(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \მარჯვნივ))^(2)))\]

სიმეტრიის რაჰუნოკისთვის მთელ ვირაზს მდიდრულად ადიდებდნენ.

ალუბლის ნიუანსი

კერძოებისთვის გამოიყენება ყველა სტანდარტული ფორმულა, რაც საუკეთესოა კერძოსთვის, მაგრამ იგივე ეხება კერძოს. ამასთან, ისინი ადანაშაულებენ საკუთარ სპეციფიკურ მახასიათებლებს: თუ ჩვენ პატივს ვცემთ $x$-ს პირადად, მაშინ თუ ავიღებთ її-ს $x$-ად, მაშინ მივიჩნევთ მას მუდმივად და ამის მსგავსი її უფრო ძვირი "ნულის" მსგავსია. .

მოსწონს და ამავე დროს ყველაზე მნიშვნელოვანი pokhіdnymi, კერძო (ერთი და იგივე) შეგიძლიათ გააფუჭოთ kіlkom სხვადასხვა გზით. მაგალითად, იგივე კონსტრუქცია, რომელიც ასე კარგად იყო მოწონებული, შეიძლება ასე გადაიწეროს:

\[((\left(\frac(y)(x) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \მარჯვნივ)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

ერთბაშად იმათ შესახებ, მეორე მხრივ, შეგიძლიათ ფორმულის დამარცხება შემთხვევითი თანხის სახით. როგორც ვიცით, გარდაცვლილთა თანხები უფრო ძვირია. მაგალითად, დავწეროთ ეს:

\[((\ left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

ახლა, ყველაფერი ვიცით, შევეცადოთ გავაუმჯობესოთ უფრო სერიოზული გამოყენებებით, სწორი პირადი ხრიკების ნამსხვრევები არ არის გარშემორტყმული მხოლოდ მდიდარი ტერმინებითა და ფესვებით: იქ გამოიყენება ტრიგონომეტრია, ლოგარითმები და ჩვენების ფუნქციები. ახლა კი დავიკავოთ.

დავალება ტრიგონომეტრიული ფუნქციებითა და ლოგარითმებით

მენეჯერი No1

ჩვენ ვწერთ შემდეგ სტანდარტულ ფორმულებს:

\[((\ მარცხენა (\sqrt(x) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\ მარცხნივ(\cos x \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

ამ ცოდნის დაუფლების შემდეგ, შევეცადოთ ლექსი:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \მარჯვნივ))^(\prime))_(x )=((\left(\sqrt(x) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\ მარცხნივ (\cos \frac(x)(y) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=\]

Okremo დაწერე ერთი ცვლილება:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

მიმართეთ ჩვენს დიზაინს:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

ჩვენ ყველამ ვიცით $x$-ის შესახებ, ახლა მოდით გადავიდეთ $y$-ის გამოთვლაზე:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\ მარცხნივ (\cos \frac(x)(y) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=\]

კარგი, ვიცი, მეშინია ერთი ვირაზის:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \მარჯვნივ)\]

მოდით გადავუხვიოთ დღის ბოლომდე და გავაგრძელოთ ყურება:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

ყველაფერი დამსხვრეულია.

მენეჯერი No2

მოდით ჩამოვწეროთ ჩვენთვის საჭირო ფორმულა:

\[((\ მარცხნივ (\ln x \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

ახლა ბოდიშს ვიხდი $x$-ისთვის:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \მარჯვნივ))^(\prime))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\მარცხნივ(x+\ln y \მარჯვნივ))^(\პირველი ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \მარჯვნივ)=\frac(1)(x+\ln y)\]

ნაპოვნია $x$-ად. მნიშვნელოვანია $y$-ისთვის:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\მარცხნივ(x+\ln y \მარჯვნივ))^(\პირველი ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \მარჯვნივ))\ ]

დავალება დასრულდა.

ალუბლის ნიუანსი

მოგვიანებით, იმის გათვალისწინებით, რომ ფუნქციები არ იყო პრივატულად აღებული, წესები გადაწერილია იმავე წესებით, იმისდა მიუხედავად, ისინი მუშაობენ ტრიგონომეტრიით, ფესვებით თუ ლოგარითმებით.

მუშაობის კლასიკურ წესებს ყოველთვის ცვლის სტანდარტული და ამავდროულად, საცალო, კერძო და დასაკეც ფუნქციების ჯამი.

დანარჩენი ფორმულა ყველაზე ხშირად ახსნილია დღის ბოლოს, როდესაც შეხვედრა მთავრდება კერძო არდადეგებით. Mi zustrіchaєmosya მათთან პრაქტიკულად skrіz. ჯერ არ ყოფილა ქალაქის მენეჯერი, რომ არ გამოვიდეთ. მაგრამ თუ ფორმულას არ გავურბივართ, მაინც მივიღებთ კიდევ ერთ სარგებელს და ჩვენთვის, სამუშაოს თავისებურებას კერძო სეირნობით. ასე რომ, ჩვენ ვაფიქსირებთ ერთ ცვლილებას, ხაზები მუდმივებია. Zocrema, რადგან ჩვენ პატივს ვცემთ კერძო დაკარგულ ვირაზას $\cos \frac(x)(y)$ $y$, მაშინ $y$ თავად იცვლება და $x$ გადაიწერება მუდმივით. იგივე პრაქტიკა და ნაპაკი. Її შეიძლება დავაბრალოთ ცუდი ნიშანი, მაგრამ ცუდი, რადგან თავად მუდმივი უფრო ჰგავს "ნულს".

ყველაფერი იქამდე უნდა იქნეს მიყვანილი, რომ ერთი და იგივე ვირაზის პირად გარეგნობა, მაგრამ განსხვავებული ცვლილებებიდან შეიძლება განსხვავებულად გამოიყურებოდეს. მაგალითად, გაოცება ასეთი ვირაზით:

\[((\მარცხენა(x+\ln y \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\ მარცხნივ(x+\ln y \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

დავალება საჩვენებელი ფუნქციებითა და ლოგარითმებით

მენეჯერი No1

მოდით ჩამოვწეროთ შემდეგი ფორმულა:

\[((\ მარცხენა (((e)^(x)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

ვიცით ეს ფაქტი, ისევე როგორც დასაკეცი ფუნქციები, შეგვიძლია შევაშინოთ. მე მჯერა ერთდროულად ორი განსხვავებული გზით. პირველი და ყველაზე აშკარა არის სამუშაოს ღირებულება:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \მარჯვნივ) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\ მარცხენა (((e)^(\frac(x)(y))) \მარჯვნივ))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot ((\ left(\frac(x)(y) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=\]

ვნახოთ ეს ვირაზი:

\[((\ left(\frac(x)(y) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot yx .((((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot yx\cdot 0)((((y)^(2) )) =\frac(y)((((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

მოდით მივმართოთ ჩვენს დიზაინს და გავაგრძელოთ მისი ნახვა:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left( 1 +\frac(1)(y)\right)\]

ყველაფერი, $x$ დაფარულია.

თუმცა, როგორც ვთქვი, ამავდროულად შევეცდებით სხვაგვარად დავიცვათ ჩემი კონფიდენციალურობა. ვისთვის პატივისცემით ასეა:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

ჩვენ მას ასე ვწერთ:

\[((\ left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y ) )))\cdot ((\ მარცხნივ(x+\frac(x)(y) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) ) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \მარჯვნივ)\]

შედეგად, ჩვენ ამდენივე თანხა წავიღეთ და პროტე დარიცხეს როგორც პატარა. ვისთვის უნდა დაასრულოს ნაყარი, გახსოვდეთ, რომ როდესაც დაასრულებთ შოუს, შეგიძლიათ დაამატოთ.

ახლა ბოდიშს ვიხდი $y$-ისთვის:

\[(((z)")_(y))=((\ მარცხენა (((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \მარჯვნივ) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\ მარცხენა (((e)^(\frac(x)(y))) \მარჯვნივ))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\ მარცხნივ(\frac(x)(y) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=\]

ვიმღეროთ ერთი ვირაზ ოკრემო:

\[((\left(\frac(x)(y) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=\frac((((((x)"))_(y))\cdot yx \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)((((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

ჩვენ ვყიდით ჩვენი გარე დიზაინის ვერსიას:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \მარჯვნივ)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

გამიელვა, რომ სხვანაირად შემეძლო გზა დავკარგო, თვითონაც ასე გამოვიყურებოდი.

მენეჯერი No2

ჯანდაბა $x$-ად:

\[(((z)")_(x))=((\ მარცხნივ(x \მარჯვნივ))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \მარჯვნივ )+x\cdot ((\ left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

შევაჩეროთ ერთი ვირაზ ოკრემო:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \მარჯვნივ) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\ მარცხნივ(((x)^(2))+y \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)(( ((x)^(2))+y)\]

ექსტერიერის დიზაინის გაყიდული გადაწყვეტა: $$

ღერძი ისე ნათელია.

დაკარგულია ანალოგიისთვის $y$-ით:

\[(((z)")_(y))=((\მარცხნივ(x \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y).\n \left(((x)^(2)) +y \მარჯვნივ)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=\]

ერთი ვირაზ, კარგია, როგორც ზავჟდი ოკრემო:

\[((\ left(((x)^(2))+y \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=((\ left(((x)^(2)) \მარჯვნივ) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Prodovzhuєmo virіshennya მთავარი დიზაინი:

ყველაფერი დაფარულია. ბაჩიტის მსგავსად, ნამცხვრები, იმისდა მიხედვით, თუ როგორ არის მიღებული ცვლილება დიფერენციაციისთვის, ისინი აბსოლუტურად განსხვავებულად გამოიყურებიან.

ალუბლის ნიუანსი

ღერძი არის შესანიშნავი მაგალითი იმისა, თუ როგორ შეიძლება ერთი და იგივე ფუნქციების გამოყენება ორი განსხვავებული გზით. გასაკვირი ღერძი:

\[(((z)")_(x))=\მარცხნივ(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \მარჯვნივ)=( (\ left(((e)^(x)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\ მარცხნივ(((e)^(\frac(x)(y))) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y)))) )\ მარცხნივ(1+\frac(1)(y) \მარჯვნივ)\]

\[(((z)")_(x))=((\ მარცხენა (((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \მარჯვნივ)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \მარჯვნივ)\ ]

სხვადასხვა გზების არჩევისას, გაანგარიშება შეიძლება განსხვავებული იყოს, მაგრამ თუ ეს მართალია, ყველაფერი წესრიგშია, ეს იგივეა. ფასები კლასიკურს აფასებს და გვიანდელს კერძო. ვისგანაც გამოვიცნობ ისევ: ნანარევია, ვითომ, რა ცვლილებაა, კარგს ავიღებ, ესე იგი. დიფერენციაცია, vіdpovіd შეიძლება vyyti zovsіm raznoyu. მარველი:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \მარჯვნივ) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\ მარცხნივ(((x)^(2))+y \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(( (( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \მარჯვნივ) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\ მარცხნივ(((x)^(2))+y \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(( ((x)^(2))+y)\cdot 1\]

ნასამკინეტი ყველა მასალის დასამაგრებლად, ვცადოთ ორი კონდახის დამაგრება.

დავალება ტრიგონომეტრიული ფუნქციით და ფუნქცია სამი ცვლილებით

მენეჯერი No1

მოდით დავწეროთ ეს ფორმულები:

\[((\ left(((a)^(x)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\ მარცხენა (((e)^(x)) \მარჯვნივ))^(\prime ))=((e)^(x))\]

მოდით ახლა ვირიშუვაციოთ ჩვენი ვირაზი:

\[(((z)")_(x))=((\ მარცხნივ(((3)^(x\sin y)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=(3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \მარჯვნივ))^(\prim ))_(x)=\]

Okremo porahuemo ასეთი დიზაინი:

\[((\left(x\cdot \sin y \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ მარცხენა (\sin y \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Prodovzhuєmo virishuvati vihіdny viraz:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

ეს არის პირადი ცვლილების ნარჩენი $x$. ახლა ბოდიშს ვიხდი $y$-ისთვის:

\[(((z)")_(y))=((\ მარცხნივ(((3)^(x\sin y)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=(3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=\]

ვირიშიმო ერთი ვირაზ ოკრემო:

\[((\left(x\cdot \sin y \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ მარცხენა (\sin y \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Virishuemo ჩვენი დიზაინის ბოლომდე:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

მენეჯერი No2

ერთი შეხედვით ამ კონდახის დაკეცვა შესაძლებელია, რადგან სამი ცვლილებაა. მართლაც, ეს არის ერთ-ერთი უმარტივესი ამოცანა დღევანდელი ვიდეო ტურისთვის.

ცნობილია $x$-ით:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \მარჯვნივ))^(\prime) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ) ^(z)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\ მარცხნივ(x \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\ left(((e)^(y ) )) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

ახლა მოდით გადავხედოთ $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \მარჯვნივ))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ) ((e)^(z)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\ left(((e)^(y)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\ მარცხნივ (y \მარჯვნივ))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

ჩვენ ვიცოდით სიმართლე.

ახლა უკვე ზედმეტია $z$-ის ცოდნა:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \მარჯვნივ))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \მარჯვნივ))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

შევაქოთ მესამე ფოხიდა, რომელზედაც სრულდება კიდევ ერთი ამოცანის ხედვა.

ალუბლის ნიუანსი

ბაჩიტივით ამ ორ კონდახში დასაკეცი არაფერია. ერთადერთი, რის გამოც ჩვენ ავურიეთ, ეს არის იმის გამო, რომ დასაკეცი ფუნქციები ხშირად სტაგნაცია და მოძველებულია, რადგან ჩვენ პირადად მორცხვი ვართ, სიტუაციიდან გამომდინარე მოგვიწევს შეცვლა.

დანარჩენ დავალებაში გვთხოვეს შეგვემუშავებინა სამი განსხვავებული ფუნქციები. ამაში არაფერია საშინელი, პროტე ნაპრიკინცებმა გადაკვეთეს გზები, რომ სუნი ერთი და იგივეა.

საკვანძო მომენტები

დანარჩენი ვისნოვკები დღევანდელი ვიდეო გაკვეთილიდან ასეთია:

1. კერძო ხარჯები მხედველობაში მიიღება როგორც ასეთი, თითქოს მნიშვნელოვანი იყო, რათა ერთი ცვლილებით გავითვალისწინოთ კერძო ხარჯები, გადავწყვიტოთ ყველა ცვლილება, რომელიც შედის ამ ფუნქციაში, ვიღებთ მათ მუდმივებად.
2. Pratsyyuyuchi s private pokhіdnymi vikoristovuєmo tі sami სტანდარტული ფორმულები, yak і z znichnym pokhіdnymi: suma, raznitsyu, pokhіdnu შექმნა і კერძო і, zrozumіlo, pokhіdnu დასაკეცი ფუნქციები.

ცხადია, ერთი ვიდეო გაკვეთილის ყურება საკმარისი არ არის, რომ კიდევ გავაფართოვო ეს თემა, ამიტომ ერთბაშად ჩემს საიტზე, ამ ვიდეომდე, არის დავალებების ნაკრები, რომელიც ეძღვნება დღევანდელ თემას - შემოდი, ზავანტაჟიტე, virishuyte tsі avdannya და დაუკავშირდით. ყოველივე ამის შემდეგ, თქვენ არ გექნებათ ყოველდღიური პრობლემები კერძო პირებისგან, როგორიცაა ძილი ან დამოუკიდებლად მუშაობა. ცხადია, ეს შორს არის თანამედროვე მათემატიკის ბოლო გაკვეთილისგან, ამიტომ გადადით ჩვენს ვებსაიტზე, დაამატეთ VKontakte, გამოიწერეთ YouTube, განათავსეთ ლაიქები და მოგვყევით!

კერძო არდადეგები რჩება მცირე რაოდენობის ხალხის ფუნქციების სათავეში. მნიშვნელობის წესები ზუსტად იგივეა, რაც ერთი ცვლადის ფუნქციებისთვის, ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ ერთ-ერთი ცვლადი კვალი მხედველობაში მიიღება მუდმივი (მუდმივი რიცხვით) დიფერენცირების მომენტში.

ფორმულა

ორი ცვლადის $ z (x, y) $ ფუნქციის პირადი თარიღები იწერება შემდეგ სახეში $ z "_x, z"_ y $ და მიჰყევით ფორმულებს:

პირადი არდადეგები პირველი შეკვეთა

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

პირადი მოგზაურობები განსხვავებული თანმიმდევრობით

$$ z""_(xx) = \frac(\ ნაწილობრივი^2 z)(\ ნაწილობრივი x \ნაწილობრივი x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\ ნაწილობრივი^2 z)(\ნაწილობრივი y \ნაწილობრივი y) $$

ზმიშანა კარგია

$$ z""_(xy) = \frac(\ ნაწილობრივი^2 z)(\ნაწილობრივი x \ნაწილობრივი y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\ ნაწილობრივი^2 z)(\ნაწილობრივი y \ნაწილობრივი x) $$

პირადი შენახვის დასაკეცი ფუნქცია

ა) მოდით $ z(t) = f(x(t), y(t)) $, მაშინ მსგავსი დასაკეცი ფუნქციები მიჰყვება ფორმულას:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$

ბ) მოდით $ z (u, v) = z(x(u, v), y(u, v)) $, შემდეგ გაიმეორეთ შემდეგი პირადი ფუნქციები ფორმულის შემდეგ:

$$ \frac(\ ნაწილობრივი z)(\ ნაწილობრივი u) = \frac(\ ნაწილობრივი z)(\ ნაწილობრივი x) \cdot \frac(\ ნაწილობრივი x)(\ ნაწილობრივი u) + \frac(\ ნაწილობრივი z)( \ნაწილობრივი y) \cdot \frac(\ნაწილობრივი y)(\ნაწილობრივი u) $$

$$ \frac(\ ნაწილობრივი z) (\ ნაწილობრივი v) = \frac(\ ნაწილობრივი z) (\ ნაწილობრივი x) \cdot \frac(\ ნაწილობრივი x)(\ ნაწილობრივი v) + \frac(\ ნაწილობრივი z)( \ნაწილობრივი y) \cdot \frac(\ნაწილობრივი y)(\ნაწილობრივი v) $$

პირადი არდადეგები ირიბად განსაზღვრული ფუნქციები

ა) მოდით $ F(x,y(x)) = 0 $, შემდეგ $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

ბ) მოდით $ F (x, y, z) = 0 $, შემდეგ $ $ z "_x = - \frac (F"_x) (F"_z); z "_y = - \ frac (F"_y) ( F"_z) $$

წაისვით ხსნარი

კონდახი 1

იპოვეთ პირველი რიგის პირადი მნიშვნელობები $z(x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10$

გამოსავალი

კერძო ცვლადის მნიშვნელობისთვის $ x $-ში, ჩვენ გამოვიყენებთ $ y $, როგორც მუდმივი მნიშვნელობა (რიცხვი): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ პირადი ფუნქციის მნიშვნელობისთვის $ y $-თან შედარებით, $ y $ მნიშვნელოვანია მუდმივით: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ თუ არ გაბედავთ თქვენი დავალების დარღვევას, მაშინ აიძულეთ იოგა ჩვენს წინაშე. ჩვენ გვჭირდება უფრო დეტალური გადაწყვეტა. თქვენ შეგიძლიათ გაეცნოთ გაანგარიშების მიმდინარეობას და წაიღოთ ინფორმაცია. წე დოპომოჟე ყოველ საათში აიღე დარბაზი ვიკლადაჩიდან!

ვიდპოვიდი

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

კონდახი 2

იპოვეთ პირადი მსგავსი ფუნქციები სხვა თანმიმდევრობით $ z = e ^ (xy) $

გამოსავალი

ამავდროულად, აუცილებელია იცოდეთ პირველი ნაბიჯი, შემდეგ კი მათი შეცნობით, შეგიძლიათ იცოდეთ სხვა რიგის ნაბიჯები. მნიშვნელოვანი $ y $ მუდმივი: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ მოდით ახლა დავაყენოთ $ x $ მუდმივი მნიშვნელობა: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ ვიცით პირველი პოხიდნი, ანალოგიურად ვიცნობთ სხვებსაც. ჩვენ მუდმივად ვაყენებთ $ y $: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot(xy)"_x = y^2e^(xy) $$ დააყენეთ $ x $ მუდმივი: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ ახლა მე დავკარგე ცოდნა zmіshanu pokhіdnu. შეგიძლიათ განასხვავოთ $ z"_x $ $ y $-თან მიმართებაში, ან შეგიძლიათ განასხვავოთ $ z"_y $ $ x $-თან მიმართებაში, $ z""_(xy) = z""_(yx) თეორემის გამო. ) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot(xy)"_y = yxe^(xy) $$

ვიდპოვიდი

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

კონდახი 4

მოდით $ 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 = 0 $ დააყენოს იმპლიციტური ფუნქცია $ F (x, y, z) = 0 $. იცოდე პირველი რიგის პირადი მოვლენები.

გამოსავალი

ფუნქციას ვწერთ ფორმატში: $F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0$ $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

ვიდპოვიდი

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

დანიშვნა 1.11დაე, ორი ჩეინჯერის ფუნქცია იყოს დაყენებული z=z(x,y), (x,y)D . წერტილი, ჭრელი მ 0 (x 0 ;ი 0 ) - ტერიტორიის შიდა წერტილი დ .

იაკშოში დ ასეთი სამეზობლო UM 0 ქულები მ 0 , რომელიც ყველა პუნქტისთვის

შემდეგ მიუთითეთ მ 0 ლოკალურ მაქსიმალურ წერტილს უწოდებენ. და მნიშვნელობა ზ(მ 0 ) - ადგილობრივი მაქსიმუმი.

და რაც შეეხება ყველა პუნქტს

შემდეგ მიუთითეთ მ 0 ეწოდება ფუნქციის ლოკალური მინიმუმის წერტილი z(x,y) . და მნიშვნელობა ზ(მ 0 ) - ადგილობრივი მინიმალური.

ლოკალურ მაქსიმუმს და ლოკალურ მინიმუმს ფუნქციის ლოკალურ ექსტრემას უწოდებენ z(x,y) . ნახ. 1.4 განმარტავს ლოკალური მაქსიმუმის გეომეტრიულ ცვლილებას: მ 0 - მიუთითეთ მაქსიმუმზე, იმაზე, რაც ზედაპირზეა z = z(x, y) ნათელი წერტილი C 0 ვიცი მეტი, ვიდრე ნებისმიერი სხვა წერტილი C (რომელსაც აქვს მაქსიმალური ლოკალიზაცია).

პატივისცემით, ზედაპირზე არის წერტილები (მაგ. IN ), თუ მეტი იცით C 0 , ale qi წერტილები (მაგალითად, IN ) არ არის „სასამართლო“ წერტილით C 0 .

ზოკრემა, წერტილი IN ადასტურებს გლობალური მაქსიმუმის გაგებას:

ანალოგიურად, გლობალური მინიმალური განისაზღვრება:

გლობალური მაქსიმუმებისა და მინიმუმების ცოდნა განხილული იქნება პუნქტში 1.10.

თეორემა 1.3(აუცილებელი გონება უკიდურესი).

დაე, ფუნქცია დაყენდეს z = z (x, y), (x, y) D . წერტილი, ჭრელი მ 0 (x 0 ;ი 0 დ - ლოკალური ექსტრემის წერტილი.

Რა გაქვს z" x і z" წ , მაშინ

გეომეტრიული დადასტურება არის "აშკარად". Რა არის შემდეგი C 0 ზე (სურ. 1.4) დოტიკურად ბრტყელი უბნის დასახაზად, იქ „ბუნებრივად“ გადის ჰორიზონტალურად, ანუ კაპოტის ქვეშ. 0° ღერძამდე ოჰ მე ღერძამდე OU .

იგივე ეხება პირადი ნათესავების გეომეტრიულ ცვლილებას (ნახ. 1.3):

რისი მოტანა იყო საჭირო.

დანიშვნა 1.12.

Რა არის შემდეგი მ 0 იფიქრე (1.41), მაშინ მას ფუნქციის სტაციონარული წერტილი ეწოდება z (x, y) .

თეორემა 1.4(საკმარისი გონება უკიდურესი).

ნება მომეცით ვიკითხო z = z (x, y), (x, y) D , რადგან წერტილის რეალურ სიახლოვეს შეიძლება იყოს განსხვავებული რიგის პირადი მოვლენები მ 0 (x 0 ,ი 0 ) დ . Და რატომ მ 0 - სტაციონარული წერტილი მოდით გამოვთვალოთ:

ვიკორისტის თეორემის დადასტურება იმით (ტეილორის ფორმულა რიგი ცვლადების ფუნქციისა და კვადრატული ფორმების თეორია), რომელსაც არც ერთი დამხმარე არ განიხილავს.

კონდახი 1.13.

გადადით უკიდურესობამდე:

გამოსავალი

1. ჩვენ ვიცით სტაციონარული წერტილები, რომლებიც არღვევს სისტემას (1.41):

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ რამდენიმე სტაციონარული წერტილი. 2.

თეორემა 1.4-ის შემდეგ ქულებს აქვთ მინიმალური. Და რატომ

თეორემა 1.4-ის მიხედვით წერტილში

მაქსიმალური. Და რატომ