Хоёр өөрчлөлтийн функцийг өгье. Бид аргументыг нэмэгдүүлэх боловч аргумент нь хэт их өөрчлөгддөггүй. Үүнтэй ижил функц нь өсөлтийг арилгадаг, учир нь үүнийг өөрчлөлтийн хувийн өсөлт гэж нэрлэдэг бөгөөд дараахь зүйлийг өгдөг.

Үүний нэгэн адил аргументыг засаж, аргументийн өсөлтийг өгснөөр бид өөрчлөлтийн ард байгаа функцийн хувийн өсөлтийг хасна:

Энэ утгыг функцийн цэг дэх хамгийн их өсөлт гэж нэрлэдэг.

Томилгоо 4. Хоёр өөрчлөгддөг хувийн функц нь тэгийн үлдэгдэл (өөрөөр хэлбэл хил) хэвээр байвал өгөгдсөн өөрчлөлт өөрчлөгдөх хүртэл функцийн хувийн өсөлтийн өөрчлөлтийн хооронд дуудагдана. Үүнийг хувийн байдлаар дараах байдлаар илэрхийлнэ: аль нэг, эсвэл.

Энэ зэрэглэлд томилогдсон хотын даргад:

Хувийн чиг үүргийг яг л дүрэм, томъёоны дагуу тооцдог, учир нь ижил өөрчлөлтийн функц нь өөрчлөлтөөр ялгагдах, өөрчилснөөр хүндэтгэх, өөрчилсөн тохиолдолд түүнийг өөрчлөхөөс хамгаалагдсан байдаг. өөрчлөлтөд чухал ач холбогдолтой.

Жишээ 3. Хувийн хөгжилтэй функцүүдийг мэдэх:

Шийдэл. a) Нэг хувьсагчийн функц болох дифференциалын чухал тогтмол утгыг мэдэхийн тулд:

Үүний нэгэн адил, тогтмол утгын хувьд бид дараахь зүйлийг мэднэ.

Томилгоо 5. Функцийн нийт дифференциал нь бие даасан бие даасан функцүүдийн өсөлт дээр хувийн ижил төстэй функцүүдийн бүтээлүүдийн нийлбэр юм, tobto.

Бие даасан өөрчлөлтүүдийн ялгаа нь өсөлтөөрөө нэмэгдэж байгааг эргээд харахад, өөрөөр хэлбэл. , нийт дифференциалын томъёог хэлбэрээр бичиж болно

Жишээ 4. Функцийн эцсийн дифференциалыг тооцоол.

Шийдэл. Нийт дифференциалын томъёоны ард Oskіlki мэдэгдэж байна

Хамгийн дээд зэрэглэлийн хувийн амралтын өдрүүд

Хувийн амралтын өдрүүдийг анхны захиалга эсвэл анхны хувийн амралт гэж нэрлэдэг.

Томилгоо 6. Өөр зэрэглэлийн хувийн чиг үүргийг нэгдүгээр зэрэглэлийн хувийн чиг үүрэг гэнэ.

Өөр зэрэглэлийн хувийн chotiri. Фоныг дараах байдлаар тодорхойлно.

Үүний нэгэн адил 3, 4 ба түүнээс дээш зэрэглэлийн хувийн хохирлыг тооцдог. Жишээлбэл, функцийн хувьд:

Өөр өөр өөрчлөлтөөс авсан өөр дарааллын хувийн амралтын өдрүүдийг өөрчлөгдсөн хувийн амралт гэж нэрлэдэг. Ө pokhіdnі функцийн хувьд. Таны ааштай байгаа нь хүндэтгэлтэй хэрэг, хэрвээ та тасалдалгүйгээр чөлөөтэй ярьдаг бол атаархах орон зай бий.

Жишээ 5. Хувийн функцуудыг өөр дарааллаар өөрчлөх

Шийдэл. 3-р програмаас олдсон хувийн эхний эрэмбийн функцууд:

Х, у-г ялгах, өөрчлөх, отримаэмо

Тооцооллын аргын талаар мэдлэггүйгээр Виришувати физикийн бодлого, математикийг ашиглах нь туйлын боломжгүй юм. Pokhіdna бол математикийн анализыг ойлгоход хамгийн чухал зүйлсийн нэг юм. Бид энэ үндсэн сэдвийг өнөөдрийн нийтлэлд зориулахаар шийдлээ. Юу нь тийм муу, ямар физик, геометрийн өөрчлөлт, сайн үйл ажиллагааг хэрхэн сүйтгэх вэ? Бүх хоолыг нэг дор авч болно: яаж явахыг яаж ойлгох вэ?

Геометрийн болон физикийн мэдрэмжүүд ижил төстэй байдаг

Алив, функц f(x) , дуулах интервалд өгөгдсөн (а, б) . x ба x0 цэгүүд th интервал хүртэл оршдог. X-г өөрчлөхөд функц нь өөрөө өөрчлөгддөг. Аргументыг өөрчлөх - йогийн үнэ цэнийн зөрүү x-x0 . ямар ялгаа гэж тэмдэглэсэн байна дельта х бөгөөд үүнийг хамгийн том аргумент гэж нэрлэдэг. Функцийг өөрчлөх буюу нэмэгдүүлэхийг функцийн хоёр цэг дэх утгын зөрүү гэнэ. Аялал товлох:

Pokhіdna funktsії y цэг - zbіlshennya аргумент нь tsіy цэгт функцийг нэмэгдүүлэх хооронд, хэрэв үлдсэн нь тэг бол.

Үгүй бол та дараах байдлаар бичиж болно.

Ийм хил хязгаар гэж юу вэ? Мөн тэнхлэг нь яки:

цэг дээрх функцтэй төстэй, OX цэгүүдийн хоорондох кутагийн шүргэгч нь циж цэг дээрх функцийн графиктай төстэй байна.

Өдрийн биеийн мэдрэмж: нэг цагийн dorovnyuє shvidkostі шулуун шугаман ruhu нь pokhіdna замууд.

Мэдээжийн хэрэг, бид швед байх нь хувийн зам гэдгийг хичээлийн цагуудаас харж болно. x=f(t) тэр цаг т . Нэг цагийн дундаж хурд:

Schob цаг мөчид яаран аюулгүй байдлыг хүлээн зөвшөөрөх t0 хооронд тооцоолох шаардлагатай:

Эхний дүрэм: Тогтмолыг буруутгах

Тогтмол нь муу шинж тэмдгийг буруутгаж болно. Үүнээс илүү - энэ нь ажил шаарддаг. Виришенный хэрэглээний математикийг дүрэм болгон авах үед - чи яаж вираз асууж чадах вэ, obov'azkovo асуу .

өгзөг. Зардлаа тооцоод үзье:

Найздаа дүрэм: Pokhіdna sumi funktsіy

Pokhіdna sumi dvoh funktsіy dorivnyuє sumі pokhіdnih tsikh funktsіy. Үүнтэй ижил төстэй жижиглэн худалдааны функцүүдийн хувьд мөн адил юм.

Энэ нь теоремын нотолгоог санал болгодоггүй, харин практик жишээ юм.

Холбогдох функцуудыг мэдэх:

Гурав дахь дүрэм: функцүүдийн муу ажил

Pokhіdna нь дараахь томъёогоор тооцоолсон хоёр функцийг үүсгэдэг.

Жишээ нь: Дараах функцуудыг мэдэх:

Шийдэл:

Энд нугалах ижил төстэй функцүүдийн тоог хэлэх нь чухал юм. Pokhіdna эвхэгддэг функц нь бие даасан өөрчлөлтийн цаадах завсрын аргументыг муудуулахын тулд завсрын аргументийн цаана байгаа pokhіdnoї tsієї funktsії нэмэлт зардал ихтэй байдаг.

үүднээс авч үзвэл, mi zustrіchaєmo viraz-ийн хэрэглээ:

Энэ тохиолдолд завсрын аргумент нь тав дахь алхамын хувьд 8x байна. Ийм вирусын зардлыг тооцоолохын тулд завсрын аргументийн гадаад функцын утгыг тооцоолж, дараа нь бие даасан өөрчлөлтийн завсрын бус аргументийн утгыг үржүүлэх нь чухал юм.

Дөрөвдүгээр дүрэм: хувийн хоёр функцтэй төстэй

Хоёр функцийн ижил төстэй хэсгийг сонгох томъёо:

Бид цайны аяганд зориулсан баярын талаар эхнээс нь ярихыг хичээсэн. Энэ сэдэв нь тийм ч энгийн зүйл биш бөгөөд энэ нь боломжтой юм: өгзөг нь ихэвчлэн өгзөг дээр гоймонтой байдаг тул нэгийг нь тоолохдоо болгоомжтой байгаарай.

Зарим шалтгааны улмаас бусад сэдвээр та оюутны үйлчилгээнд хандаж болно. Богино хугацаанд бид танд өмнөх даалгавруудыг тооцоолоогүй байсан шиг шалгах хуудас зохиож, даалгавраа ангилахад тусална.

Функцийг хоёр аргаар харцгаая.

$x$ ба $y$ өөрчлөлтийн хэсгүүд нь бие даасан байдаг тул ийм функцийн хувьд хувийн мэдээллийн талаархи ойлголтыг өгөх боломжтой:

Хувийн функц $f$ цэг дээр $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ өөрчлөлт $x$ -

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Дельта x;((y)_(0)) \баруун))(\Дельта x)\]

Үүнтэй адилаар та $y$-ийн өөрчлөлтөд хувийн хураамж оноож болно:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Дельта y \баруун))(\Дельта y)\]

Өөрөөр хэлбэл, зарим өөрчлөлтийн хувийн функцийг мэдэхийн тулд өөрчлөлтийн шийдвэрийг засах шаардлагатай, krіm shukanoї, дараа нь бид өөрчлөлтийн үнээр zvichaynu pokhіdna-г мэдэх болно.

Ийм муухай зүйлийг тоолох гол заль мэх мэт санагдаж байна: зүгээр л бүх зүйл өөрчлөгдөж байгааг анхаарч үзээрэй, krym tsієї, є тогтмол, үүний дараа функцийг ялгаж, "ганц" -ыг нэг zminnoy-ээс ялгах болно. Жишээлбэл:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \баруун))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) ) )) \баруун))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& ( ( \left(((x)^(2))+10xy \баруун))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \баруун))^( \ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\төгсгөл(зохицуулах)$

Янз бүрийн өөрчлөлтөөс хувийн амралтаа өгөх нь хэвийн үзэгдэл болсон нь ойлгомжтой. Яагаад ойлгох нь илүү чухал вэ, яагаад гэвэл эхнийх нь муу шинж тэмдгийн 10y $ s-pid-ийг бид тайван байдлаар ногдуулсан, нөгөөд нь эхнийх нь тэглэгдсэн. Бүх зүйл нь бүх үсэг, krіm zminnoi, ямар нэгэн байдлаар ялгахын тулд тогтмол хэмжигдэхүүнээр тодорхойлогддог гэсэн үгээр дамжуулан төсөөлдөг: тэднийг буруутгах, нулимах гэх мэт.

"Хувийн зугаа цэнгэл" гэж юу вэ?

Өнөөдөр бид цөөн хэдэн ченжүүдийн чиг үүрэг, тэдний хувийн амралтын тухай ярих болно. Юуны өмнө хэд хэдэн халаа сэлгээний үүрэг юу вэ? Dosi mi $y\left(x \right)$ эсвэл $t\left(x \right)$ гэх мэт функцийг өөрчлөхийг дуудсан, эс тэгвээс нэг функцийг өөрчлөх. Одоо манайд нэг л функц байх бөгөөд шпрат солигдох болно. Хэрэв та $y$ ба $x$-г өөрчилбөл функцийн утга өөрчлөгдөнө. Жишээлбэл, $x$ хоёр дахин өсвөл функцийн утга өөрчлөгддөг, $x$ өөрчлөгдвөл $y$ өөрчлөгдөхгүй бол функцийн утга өөрөө өөрчлөгдөнө.

Аль нэг хувьсагчийн нэгэн адил олон тооны хувьсагчийн хэлбэртэй функцийг ялгаж салгаж болно гэж ойлгосон. Гэсэн хэдий ч oskіlki zmіnnykh kіlka, дараа нь өөр өөр zmіnnyh-аас ялгах боломжтой. Хэнд зориулж, нэг өөрчлөлтийг ялгахдаа ижил байдаг тодорхой дүрмийг буруутгадаг.

Юуны өмнө, хэрэв бид үйл ажиллагаагаа алдахыг хүсч байвал, ямар нэгэн байдлаар өөрчлөгддөг бол бид буруутай, ямар өөрчлөлтийг орхих ёстой вэ - ийм учраас үүнийг хувийн эмх замбараагүй байдал гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, бид хоёр өөр функцтэй бөгөөд $x$ гэх мэт її-г засах боломжтой тул $y$ нь zminnyh-ийн арьстай төстэй хоёр хувийн функц юм.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид өөрчлөлтүүдийн аль нэгийг засч, дараа нь бид хувийн байдлаар хүндэтгэж эхэлбэл функцэд орж буй бусад бүх зүйлийг тогтмолууд хүндэтгэдэг. Жишээ нь, $z\left(xy \right)$, бид $x$-ийн эргэн тойронд хувиараа алхах нь чухал учраас нүдээ цавчиж, зүгээр л $y$-ын хувьд бид тогтмол байх, өөрөө өөрийгөө эмчлэх нь чухал. тогтмол байдлаар. Зокрема, муу юмыг тоолохдоо, бид $y$-г дөнгөтэй гэж буруутгаж болох юм (бидэнд тогтмол байдаг), гэхдээ муу мөнгө тоолохдоо энд байгаа шиг $y$-ийн өшөөг авахгүй, $x$-н өшөөг авахгүй вирус шиг, дараа нь энэ нь сайн тогтмол шиг сайн virazu dorivnyuvatime "тэг" юм.

Өнгөцхөн харвал би та нарт энэ тухай атираат байдлаар хэлж байгаагаас салж болно, мөн олон суралцагчид төөрч будилдаг. Хувийн хүмүүсийн дунд ер бусын зүйл байдаггүй бөгөөд бид тодорхой ажлуудаас өөрчлөгдөж байна.

Радикал ба чинээлэг гишүүдийг хариуцдаг

Менежер №1

Нэг цагийг дэмий үрэхгүйн тулд уйл, бид нухацтай өгзөгөөс эхэлнэ.

Эхлэгчдэд би дараах томъёог бодож байна.

Энэ бол стандарт курсээс бидний мэдэж байгаа стандарт хүснэгтийн утга юм.

Хэн нэгэн $z$-г дараах байдлаар ашиглах нь сайн хэрэг.

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\зүүн(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(x)\]

Дахин нэг удаа хэлье, үндэс дор байгаа хэлтэрхийнүүд нь $x$ биш, харин өөр зарим вираз, энэ тохиолдолд $\frac(y)(x)$, дараа нь бид стандарт хүснэгтийн утгыг хурдасгаж, дараа нь, Үндэс нь $x $ биш, харин өөр нэг виразын өртөгтэй бол бид өөр нэг вирусын хувьд зардлаа үржүүлэх шаардлагатай байна. Бид хөл дээрээ гишгэж эхэлцгээе.

\[((\left(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot xy\cdot 1)(((x)^(2) ) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Виразу руугаа эргэж, бичье:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\зүүн(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)((x)^(2))) \баруун)\]

Бүх зүйл зарчмын хувьд байдаг. Гэсэн хэдий ч її-г ийм харцаар орхих нь буруу юм: алс холын барилга байгууламжийг даван туулах нь тийм ч хялбар биш тул үүнийг бага зэрэг хийцгээе.

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \баруун)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Видповид олдсон. Одоо $y$-тай харьцъя:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\зүүн(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(y)\]

Випишемо окремо:

\[((\left(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot xy\cdot 0)(((x)^(2) ) )=\frac(1)(x)\]

Одоо бид бичнэ:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Бүх зүйл сүйрсэн.

Менежер №2

Энэ өгзөг нь нэгэн зэрэг энгийн бөгөөд нугалж, урагшаа доошоо чиглүүлдэг. Илүү эвхэгддэг, үүний тулд энд илүү олон үйлдэл байдаг, гэхдээ илүү энгийн, энд үндэс байхгүй, үүнээс гадна функц нь $x$ болон $y$, tobto-д тэгш хэмтэй байдаг. Бид $x$ ба $y$-г номлол гэж санаж байгаа тул томъёо өөрчлөгдөхгүй байх шиг байна. Цэ хүндэтгэлийг хувийн зардлаа өршөөх ёстой байсан, тобто. Тэдгээрийн аль нэгийг нь гэмтээх нь хангалттай бөгөөд нөгөөд нь сойзоор $x$, $y$-г санахад хангалттай.

Гол зорилгодоо орцгооё:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy))(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \ баруун ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+ ( (y)^(2))+1 \баруун)-xy((\зүүн(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(\prime ) )_(x))(((\зүүн(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))\]

Сэтгэл хөдөлцгөөе:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Мунхагийн ийм бичлэгийг баяжуулж сур, бид тэнхлэгийг дараах байдлаар бичнэ.

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Энэ зэрэглэлд бид дахин нэг удаа хувийн хамаатан садны алгоритмын түгээмэл байдал руу шилжиж байна: тэд тэдэнд санаа тавьдаггүй, хэрэв бүх дүрмийг зөв тохируулсан бол та өөрөө л байх болно.

Одоо бидний агуу томьёоны өөр нэг хувийн заль мэхийг харцгаая:

\[(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(\prime ))_(x)=((\left((() x)^(2)) \баруун))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Бид томъёоныхоо хамаарлыг арилгаж, үүнийг арилгана гэж бодъё.

\[\frac(((\left(xy \баруун))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ баруун)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(\үндсэн ))_(x))(((\зүүн) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун)-xy\cdot 2x)(((\left((() ( x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \баруун))(((\) зүүн(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \баруун))(((\зүүн(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2 )))\]

$x$-г сэргээсэн. Мөн ижил вираз дотор $y$-г засахын тулд ижил дарааллаар биш, харин өөрсдийн тод виразын тэгш хэмээр виконуват хийцгээе - бид зүгээр л тод вираз дээрээ бүх $y$-г $x$ болон navpak-аар солицгооё. :

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \баруун))((( ( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))\]

Тэгш хэмийн rahunok нь тэд бүхэлд нь viraz баян shvidshe магтсан.

нюанс интоор

Хувийн хүмүүсийн хувьд бүх стандарт томъёог ашигладаг бөгөөд энэ нь хувийнх нь хувьд хамгийн тохиромжтой, харин хувийнх нь хувьд мөн адил юм. Гэсэн хэдий ч тэд өөрсдийн онцлог шинж чанаруудыг буруутгадаг: хэрэв бид $x$-г хувийн байдлаар хүндэлдэг бол її-г $x$-д авбал бид үүнийг тогтмол гэж үздэг бөгөөд її нь илүү үнэтэй “тэг”тэй төстэй юм. .

Хамгийн чухал pokhіdnymi, хувийн (нэг ба ижил) нэгэн зэрэг та kіlkom-ыг янз бүрийн аргаар сүйтгэж болно. Жишээлбэл, маш сайн алга ташиж байсан ижил бүтээн байгуулалтыг ингэж дахин бичиж болно.

\[((\left(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \баруун)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Тэдгээрийн талаар нэг дор, нөгөө талаас та энгийн нийлбэр хэлбэрээр томъёог ялж болно. Бидний мэдэж байгаагаар нас барагсдын тоо илүү үнэтэй байдаг. Жишээлбэл, үүнийг бичье:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Одоо бүх зүйлийг мэдэж байгаа тул илүү ноцтой хэрэглээгээр сайжруулахыг хичээцгээе, зөв ​​хувийн заль мэхийн хэлтэрхий нь зөвхөн баялаг нэр томьёо, үндэсээр хүрээлэгдээгүй: тригонометр, логарифм, дэлгэцийн функцууд энд ашиглагддаг. Одоо завгүй байцгаая.

Тригонометрийн функц, логарифм бүхий даалгавар

Менежер №1

Бид дараах стандарт томъёог бичнэ.

\[((\left(\sqrt(x) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Энэхүү мэдлэгийг эзэмшсэнийхээ дараа шүлэглэхийг хичээцгээе.

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \баруун))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Окремо нэг өөрчлөлт бичнэ:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left() \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Манай дизайн руу хандана уу:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Бид бүгд $x$-ийн талаар мэддэг, одоо $y$-г тооцоолохдоо орцгооё:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \баруун))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\зүүн) (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

За, би мэднэ, би нэг вирусээс айж байна:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left() \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \баруун)\]

Өдрийн төгсгөл хүртэл эргэж харцгаая:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Бүх зүйл сүйрсэн.

Менежер №2

Бидэнд хэрэгтэй томъёогоо бичье.

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Одоо би $x$-д уучлаарай:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \баруун))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \баруун)=\frac(1)(x+\ln y)\]

$x$-оор олдсон. $y$-д чухал:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \баруун))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \баруун)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \баруун))\ ]

Даалгавар дууслаа.

нюанс интоор

Дараа нь функцуудыг хувийн байдлаар аваагүй тул дүрмийг тригонометр, үндэс эсвэл логарифмтай ажилладаг эсэхээс үл хамааран ижил дүрмүүдээр дарж бичдэг.

Ажлын сонгодог дүрмүүд нь үргэлж стандартаар солигддог бөгөөд үүнтэй зэрэгцэн жижиглэн худалдаа, хувийн болон эвхэгддэг функцүүдийн нийлбэр байдаг.

Үлдсэн томъёоллыг ихэвчлэн хувийн амралтын өдрүүдээр хурал дууссаны дараа тайлбарладаг. Ми zustrіchaєmosya тэдэнтэй хамт бараг skrіz. Бид тэндээс гарахгүйн тулд хотын дарга хараахан гараагүй байна. Гэхдээ хэрэв бид томъёогоор эргэлзээгүй бол бид өөр нэг ашиг тусыг олж авах болно, мөн хувийн алхалтын ажлын онцлог. Тиймээс бид нэг өөрчлөлтийг засч, шугамууд нь тогтмол байна. Zocrema, бид $\cos \frac(x)(y)$ $y$-г хувийн байдлаар алдсан вирусыг хүндэтгэдэг тул $y$ өөрөө өөрчлөгдөж, $x$-г тогтмолоор дарж бичнэ. Үүнтэй ижил дасгал ба navpaki. Її нь муу тэмдэгтийг буруутгаж болох боловч тогтмол нь "тэг"-тэй адил тул муу.

Бүх зүйлийг нэг л виразын хувийн харагдах байдалд хүргэх ёстой, гэхдээ өөр өөр өөрчлөлтөөс тэд өөр өөр харагдаж болно. Жишээлбэл, ийм виразийг гайхшруулж:

\[((\left(x+\ln y \баруун))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Үзүүлэн харуулах функц, логарифм бүхий даалгавар

Менежер №1

Дараах томьёог бичье.

\[((\left(((e)^(x)) \баруун))^(\анхны ))_(x)=((e)^(x))\]

Энэ баримт, түүнчлэн эвхэгддэг функцийг мэдэж байгаа тул бид айлгах гэж оролдож болно. Би нэг дор хоёр өөр арга замаар итгэдэг. Эхний бөгөөд хамгийн ойлгомжтой нь ажлын өртөг юм.

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \баруун) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \баруун))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) ) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(x)=\]

Энэ вирусыг харцгаая:

\[((\left(\frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac((((x)"))_(x))\cdot yx .(((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot yx\cdot 0)((((y)^(2) )) =\frac(y)((((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Загвартаа эргэж, үргэлжлүүлэн харцгаая:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left( 1 +\frac(1)(y)\баруун)\]

Бүх зүйл, $x$ хамрагдсан.

Гэсэн хэдий ч, миний хэлсэнчлэн, тэр үед бид миний хувийн нууцыг өөр аргаар хамгаалахыг хичээх болно. Хэнд хүндэтгэлтэй хандвал:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Бид үүнийг дараах байдлаар бичнэ.

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) ) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) ) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \баруун)\]

Үүний үр дүнд бид ижил хэмжээний мөнгө авч, протест нь бага мөнгөтэй адил шийтгэгдсэн. Хэнд зориулж бөөнөөр нь дуусгахын тулд та шоуг дуусгахдаа нэмж болно гэдгийг санаарай.

Одоо би $y$-д уучлаарай:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \баруун) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \баруун))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(y)=\]

Нэг вираз окремо дуулцгаая:

\[((\left(\frac(x)(y) \баруун))^(\анхны ))_(y)=\frac((((x)"))_(y))\cdot yx \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)((((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Бид гадаад дизайныхаа хувилбарыг зардаг:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \баруун)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Би өөр замаар замаа алдаж болох байсан, би өөрөө ийм харагдах байсан юм байна гэж бодогдов.

Менежер №2

$x$-д новш:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \баруун))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \баруун )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(x)=\]

Нэг вираз окремо зогсооё:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)(( ((x)^(2))+y)\]

Экстерьер дизайны шийдэл зарагдсан: $$

Тэнхлэг нь маш тодорхой юм.

$y$-аар мэдэхийн тулд аналоги алдсан:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \баруун))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \баруун)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(y)=\]

Нэг вираз, зүгээр, завжди окремо шиг:

\[((\left(((x)^(2))+y \баруун))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \баруун) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Prodovzhuєmo virіshennya үндсэн дизайнії:

Бүх зүйл бүрхэгдсэн. Бахит, уринш шиг, өөрчлөлтийг хэрхэн ялгахаас хамааран тэдгээр нь огт өөр харагддаг.

нюанс интоор

Тэнхлэг нь нэг функцийг хоёр өөр аргаар хэрхэн ашиглаж болохыг харуулсан гайхалтай жишээ юм. Гайхах тэнхлэг:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \баруун)=( (\left(((e)^(x)) \баруун))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) ) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y)))) )\ зүүн(1+\фрак(1)(y) \баруун)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \баруун)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\зүүн(x+\frac(x)(y) \баруун))^(\үндсэн ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \баруун)\ ]

Янз бүрийн замыг сонгохдоо тооцоолол өөр байж болох ч хэрэв энэ нь үнэн бол бүх зүйл зөв хийгдсэн бол бид үүнийг ижил байдлаар харах болно. Үнэ нь сонгодог, дараачийнх нь хувийнх нь үнэ цэнэтэй юм. Дахин хэнээс гэдгийг нь тааварлана: уринш байна, энэ нь ямар өөрчлөлт вэ, би сайныг нь авах болно, тэгээд л болоо. ялгах, vіdpovіd болно vyyti zovsіm raznoyu. Марвел:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(( (( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((( x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(( ((x)^(2))+y)\cdot 1\]

Бүх материалыг засах зориулалттай Насамкинецууд, хоёр өгзөгийг засахыг хичээцгээе.

Тригонометрийн функцтэй даалгавар ба гурван өөрчлөлттэй функц

Менежер №1

Эдгээр томъёог бичье:

\[((\left(((a)^(x)) \баруун))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \баруун))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Одоо вирусээ виришуваци хийцгээе:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Okremo porahuemo ийм загвар:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ зүүн(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Prodovzhuєmo virishuvati vihіdny viraz:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Энэ нь $x$ хувийн өөрчлөлтийн үлдэгдэл дүн юм. Одоо би $y$-д уучлаарай:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \баруун))^(\prime ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Virishimo one viraz okremo:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Virishuemo бидний дизайны төгсгөлд:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Менежер №2

Эхлээд харахад энэ өгзөг нь нугалж болно, учир нь гурван өөрчлөлт байдаг. Үнэн хэрэгтээ энэ бол өнөөдрийн видео аялалын хамгийн энгийн ажлуудын нэг юм.

$x$-д мэдэгддэг:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \баруун))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \баруун))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ) ^(z)) \баруун))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) ) )) \баруун))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Одоо $y$-г харцгаая:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \баруун))^ (\үндсэн ))_(y)=((\зүүн(x\cdot ((e)^(y)) \баруун))^(\үндсэн ))_(y)+((\зүүн(y\cdot) ) ((e)^(z)) \баруун))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \баруун))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\зүүн) (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Бид үнэнийг мэдэж байсан.

Одоо $z$-г мэдэхэд хэтэрхий их байна:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \баруун))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \баруун))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \баруун))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \баруун))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Бид гурав дахь похиднаг магтсан бөгөөд үүн дээр өөр ажлын алсын хараа дахин дууссан.

нюанс интоор

Бахит шиг энэ хоёр өгзөгт нугалах зүйл алга. Цорын ганц зүйл бол эвхэгддэг функцууд нь ихэвчлэн зогсонги, хуучирсан байдаг, учир нь бид хувийн хувьд ичимхий байдаг тул нөхцөл байдлаас шалтгаалан өөрчлөгдөх шаардлагатай болно.

Үлдсэн даалгаварт бид гурван өөр функцийг боловсруулахыг хүссэн. Энэ талаар ямар ч аймшигтай зүйл байхгүй, prote naprikintsy зам хөндлөн гарсан, өмхий үнэр нь нэг төрлийн нэг юм.

Гол мөчүүд

Өнөөдрийн видео хичээлийн бусад высновки дараах байдалтай байна.

1. Хувийн зардлыг нэг өөрчлөлтөөр тооцож, энэ функцэд орсон бүх өөрчлөлтийг шийдэхийн тулд бид тэдгээрийг тогтмол гэж үздэг.
2. Pratsyyuyuchi ын хувийн pokhіdnymi vikoristovuєmo tі sami стандарт томъёо, сарлагийн і z znichnym pokhіdnymi: suma, raznitsyu, pokhіdnu үүсгэх і хувийн і, zrozumіlo, pokhіdnu эвхэгддэг функцууд.

Мэдээжийн хэрэг, нэг видео хичээлийг тоймлох нь хангалтгүй, ингэснээр би энэ сэдвийг дахин өргөжүүлэх боломжтой тул нэг удаа миний сайт дээр энэ видеоны өмнө яг энэ сэдэвт зориулсан багц даалгавар байдаг - орж ирээрэй, zavantazhyte. , vypishuyte tsі zavdannya іz vіryapovytes. Эцсийн эцэст танд унтах, бие даан ажиллах гэх мэт хувийн хүмүүсээс ямар ч асуудал гарахгүй. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь орчин үеийн математикийн сүүлийн хичээлээс хол байгаа тул манай вэбсайт руу орж, ВКонтакте-г нэмж, YouTube-д бүртгүүлж, лайк дарж, биднийг дагаарай!

Хувийн амралтын өдрүүд нь цөөн тооны хүмүүсийн чиг үүргийн толгойд үлддэг. Ач холбогдолын дүрмүүд нь нэг хувьсагчийн функцтэй яг адилхан бөгөөд цорын ганц ялгаа нь хувьсагчийн аль нэг ул мөрийг тогтмол (тогтмол тоо)-аар ялгах агшинд тооцдог явдал юм.

Томъёо

$ z (x, y) $ гэсэн хоёр хувьсагчийн функцийн хувийн огноог $ z "_x, z"_ y $ гэсэн дараагийн харагдах байдалд бичиж, томъёог дагана уу:

Хувийн амралтын анхны захиалга

$$ z"_x = \frac(\хэсэг z)(\хэсэг х) $$

$$ z"_y = \frac(\хэсэг z)(\хэсэг y) $$

Хувийн аялалууд өөр дарааллаар явагдана

$$ z""_(xx) = \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг х \хэсэг x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг y \хэсэг y) $$

Змишана сайн байна

$$ z""_(xy) = \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг х \хэсэг y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг y \хэсэг x) $$

Хувийн хадгалах эвхдэг функц

a) $ z(t) = f(x(t), y(t)) $ байг, тэгвэл ижил төстэй нугалах функцууд дараах томъёогоор хийгдэнэ.

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$

б) $ z (u, v) = z(x(u, v), y(u, v)) $ гэж томъёолсны дараа дараах хувийн функцуудыг давт.

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Хувийн амралтын өдрүүд нь далд байдлаар тодорхойлогддог функцууд

a) $ F(x,y(x)) = 0 $, дараа нь $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$ байг.

б) $ F (x, y, z) = 0 $, дараа нь $ $ z "_x = - \ frac (F"_x) (F"_z); z "_y = - \ frac (F"_y) ( F"_z) $$

Уусмалыг хэрэглэнэ

өгзөг 1

$z(x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10$ эхний эрэмбийн хувийн утгуудыг ол.

Шийдэл

$ x $ дахь хувийн хувьсагчийн утгын хувьд бид $ y $-г тогтмол утга (тоо) болгон ашиглах болно: $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ $ y $-тай харьцуулахад хувийн функцийн утгын хувьд $ y $ нь тогтмол утгаар чухал юм: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Хэрэв та даалгавраа зөрчиж зүрхлэхгүй бол бидний өмнө иогоор хичээллээрэй. Бидэнд илүү нарийвчилсан шийдэл хэрэгтэй байна. Та тооцооллын явцын талаар мэдэж, мэдээллийг авч болно. Tse dopomozhe цаг бүр vikladach нь танхим авч!

Видповид

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

өгзөг 2

Хувийн ижил төстэй функцүүдийг өөр дарааллаар олоорой $ z = e ^ (xy) $

Шийдэл

Үүний зэрэгцээ эхний алхамыг мэдэх шаардлагатай бөгөөд дараа нь тэдгээрийг мэдэж байх нь өөр дарааллын алхмуудыг мэдэж болно. Чухал $ y $ тогтмол: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Одоо $ x $ тогтмол утгыг оруулъя: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Эхний pokhіdnі-г мэдэхийн зэрэгцээ бид бусдыг мэддэг. Бид $ y $-г байнга суулгадаг: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot(xy)"_x = y^2e^(xy) $$ $ x $ тогтмол тохируулах: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Одоо би zmіshanu pokhіdnu мэдлэгээ алдсан. Та $ z"_x $-г $ y $-аас ялгаж болно, эсвэл $ z"_y $-г $ x $-ээс ялгаж болно, учир нь $ z""_(xy) = z""_(yx) теорем ) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = та^(xy)\cdot(xy)"_y = yxe^(xy) $$

Видповид

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

өгзөг 4

$ 3x ^ 3z - 2z ^ 2 + 3yz ^ 2-4x + z-5 = 0 $ далд функцийг $ F (x, y, z) = 0 $ гэж оруулъя. Эхний дарааллын хувийн үйл явдлуудыг мэдэх.

Шийдэл

Бид функцийг дараах форматаар бичнэ: $F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0$ $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Видповид

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Томилгоо 1.11Хоёр ченжийн функцийг тохируулъя z=z(x,y), (x,y)D . Цэг, алаг М 0 (х 0 ;y 0 ) - талбайн дотоод цэг Д .

Якчо Д є ийм хороолол UM 0 оноо М 0 , энэ нь бүх цэгүүдэд зориулагдсан

дараа нь зааж өгнө М 0 орон нутгийн хамгийн дээд цэг гэж нэрлэдэг. Мөн утга учир z(М 0 ) - орон нутгийн дээд хэмжээ.

Мөн бүх цэгүүдийн хувьд

дараа нь зааж өгнө М 0 функцийн локал минимумын цэг гэж нэрлэдэг z(x,y) . Мөн утга учир z(М 0 ) - Орон нутгийн доод хэмжээ.

Орон нутгийн максимум ба орон нутгийн минимумыг функцийн орон нутгийн экстремум гэж нэрлэдэг z(x,y) . Зураг дээр. 1.4 нь орон нутгийн максимумын геометрийн өөрчлөлтийг тайлбарлав. М 0 - дээд тал нь, гадаргуу дээр байгаа зүйл рүү чиглүүлнэ z = z(x, y) тодорхой цэг C 0 бусад бүх зүйлээс илүү мэддэг C (Хамгийн их байршилтай).

Хүндэтгэсэн, гадаргуу дээр цэгүүд байдаг (жишээлбэл, IN ), хэрэв та илүү ихийг мэдэж байвал C 0 , ale qi цэгүүд (жишээлбэл, IN ) биш є "шүүхийн" цэгтэй C 0 .

Зокрема, цэг IN дэлхийн дээд зэргийн ойлголтыг баталж байна:

Үүний нэгэн адил дэлхийн хамгийн бага хэмжээг дараахь байдлаар тогтооно.

Глобал дээд ба доод түвшний мэдлэгийг 1.10-р зүйлд авч үзэх болно.

Теорем 1.3(Шаардлагатай оюун ухаан туйлын).

Функцийг тохируулъя z = z (x, y), (x, y) D . Цэг, алаг М 0 (х 0 ;y 0 Д - орон нутгийн экстремумын цэг.

Чамд юу байна z" х і z" y , тэгвэл

Геометрийн баталгаа нь "мэдээж" юм. Дараа нь юу юм C 0 дээр (Зураг 1.4) цэгийн тэгш талбайг зурахын тулд тэнд "байгалийн" хэвтээ, өөрөөр хэлбэл бүрээсний доор өнгөрдөг. 0° тэнхлэг рүү Өө би тэнхлэгт OU .

Хувийн хамаатан садны геометрийн өөрчлөлтөд мөн адил хамаарна (Зураг 1.3):

юу авчрах шаардлагатай байсан.

Цаг товлох 1.12.

Дараа нь юу юм М 0 (1.41) гэж бодвол функцийн суурин цэг гэнэ z (x, y) .

Теорем 1.4(Хангалттай оюун ухаан туйлын).

Би асууя z = z (x, y), (x, y) D , учир нь тухайн цэгийн ойр орчимд өөр дарааллын хувийн үйл явдлууд тохиолдож болно М 0 (х 0 ,y 0 )D . Тэгээд яагаад М 0 - Хөдөлгөөнгүй цэг Тооцоолъё:

Використ теоремыг тэдгээрээр нотлох нь (Тэйлорын олон тооны хувьсагчийн функцын томъёо ба квадрат хэлбэрийн онол) бөгөөд үүнийг ямар ч туслагч авч үздэггүй.

өгзөг 1.13.

Хэт туйл руу очих:

Шийдэл

1. Бид системийг эвддэг хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг мэддэг (1.41):

Тиймээс бид зарим суурин цэгүүдийг олсон. 2.

Теорем 1.4-ийн дараа оноо хамгийн бага байна. Тэгээд яагаад

цэг дээр теорем 1.4-ийн дагуу

Хамгийн их. Тэгээд яагаад