Калькулятор онлайн.
Вирішення трикутників.

Рішенням трикутника називається знаходження всіх його шести елементів (тобто трьох сторін і трьох кутів) з якихось трьох даних елементів, що визначає трикутник.

Ця математична програма знаходить бік \(c \), кути \(\alpha \) і \(\beta \) по заданим користувачем сторонам \(a, b \) та куту між ними \(\gamma \)

Програма не тільки дає відповідь на завдання, а й відображає процес знаходження рішення.

Цей калькулятор онлайн може бути корисним учням старших класів загальноосвітніх шкіл. контрольним роботамта іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора або купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завдання з математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі вирішуваних завдань підвищується.

Якщо ви не знайомі з правилами введення чисел, рекомендуємо ознайомитися з ними.

Правила введення чисел

Числа можна задати як цілі, а й дробові.
Ціла і дрібна частина в десяткових дробах може розділятися як точкою так і комою.
Наприклад, можна вводити десяткові дроби так 2.5 або 2,5

Введіть сторони \(a, b \) та кут між ними \(\gamma \) Вирішити трикутник

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

У вас у браузері відключено виконання JavaScript.
Щоб з'явилося рішення, потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.

Т.к. бажаючих вирішити задачу дуже багато, ваш запит поставлено у чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у формі зворотного зв'язку .
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводіть у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Небагато теорії.

Теорема синусів

Теорема

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Теорема косінусів

Теорема
Нехай у трикутнику ABC AB = c, ВС = а, СА = b. Тоді
Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін, помножений на косинус кута між ними.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Рішення трикутників

Рішенням трикутника називається знаходження всіх його шести елементів (тобто трьох сторін і трьох кутів) з яких-небудь трьох даних елементів, що визначає трикутник.

Розглянемо три завдання вирішення трикутника. При цьому будемо використовувати такі позначення для сторін трикутника ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Розв'язання трикутника з обох боків та кутку між ними

Дано: (a, b, angle C). Знайти \(c, \angle A, \angle B\)

Рішення
1. По теоремі косінусів знаходимо \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Користуючись теоремою косінусів, маємо:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\angle B = 180^\circ -\angle A -\angle C \)

Розв'язання трикутника по стороні і кутів, що прилягають до неї.

Дано: \(a, \angle B, \angle C\). Знайти \(\angle A, b, c \)

Рішення
1. \(\angle A = 180^\circ -\angle B -\angle C \)

2. За допомогою теореми синусів обчислюємо b і c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Рішення трикутника по трьох сторонах

Дано: (a, b, c). Знайти \(\angle A, \angle B, \angle C\)

Рішення
1. По теоремі косінусів отримуємо:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

По \(\cos A \) знаходимо \(\angle A \) за допомогою мікрокалькулятора або за таблицею.

2. Аналогічно знаходимо кут B.
3. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

Розв'язання трикутника з обох боків та куту навпроти відомої сторони

Дано: (a, b, angle A). Знайти \(c, \angle B, \angle C\)

Рішення
1. По теоремі синусів знаходимо \(\sin B\) отримуємо:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Введемо позначення: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). Залежно від числа D можливі випадки:
Якщо D > 1 такого трикутника не існує, т.к. \(\sin B \) більше 1 бути не може
Якщо D = 1, існує єдиний \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Якщо D Якщо D 2. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)

3. За допомогою теореми синусів обчислюємо сторону c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Книги (підручники) Реферати ЄДІ та ОДЕ тести онлайн Ігри, головоломки Побудова графіків функцій Орфографічний словник російської мови Словник молодіжного сленгу

Прямокутним називається трикутник, один із кутів якого дорівнює 90º. Сторона, що протилежить прямому куту, називається гіпотенузою, а дві інші – катетами.

Щоб знайти кут у прямокутному трикутнику, використовуються деякі властивості прямокутних трикутників, а саме: те, що сума гострих кутів дорівнює 90º, а також те, що навпроти катета, довжина якого вдвічі менша за гіпотенузу, лежить кут, що дорівнює 30º.

Швидка навігація за статтею

Рівнобедрений трикутник

Одна з властивостей рівнобедреного трикутника – два його кути рівні. Для обчислення значень кутів прямокутного рівнобедреного трикутника слід знати, що:

• Прямий кут дорівнює 90 º.
• Значення гострих кутів визначаються за такою формулою: (180º-90º)/2=45º, тобто. кути α і β дорівнюють 45º.

Якщо відома величина одного з гострих кутів, другий можна знайти за формулою: β=180º-90º-α, або α=180º-90º-β. Найчастіше це співвідношення використовується, якщо один із кутів дорівнює 60º або 30º.

Ключові поняття

Сума внутрішніх кутівтрикутника дорівнює 180 º. Оскільки один кут прямий, двоє гострих. Для їх знаходження необхідно знати, що:

Інші способи

Величини гострих кутів прямокутного трикутника можна обчислити, знаючи значення медіани – лінії, проведеної з вершини до протилежної сторони трикутника, та висоти – прямий, що є перпендикуляром, опущеним з прямого кута на гіпотенузу. Нехай s - Медіана, проведена з прямого кута до середини гіпотенузи, h - Висота. У такому разі виходить, що:

• sin α=b/(2*s); sin β =a/(2*s).
• cos α=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
• sin α=h/b; sin β = h/a.

Дві сторони

Якщо у прямокутному трикутнику відомі довжини гіпотенузи та одного з катетів, або дві сторони, для знаходження значень гострих кутів використовуються тригонометричні тотожності:

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).

У геометрії часто бувають завдання, пов'язані зі сторонами трикутників. Наприклад, часто необхідно знайти сторону трикутника, якщо дві інші відомі.

Трикутники бувають рівнобедреними, рівносторонніми та нерівносторонніми. З усієї різноманітності для першого прикладу виберемо прямокутний (у такому трикутнику один з кутів дорівнює 90°, прилеглі до нього сторони називаються катетами, а третя — гіпотенузою).

Швидка навігація за статтею

Довжина сторін прямокутного трикутника

Розв'язання задачі випливає з теореми великого математика Піфагора. У ній говориться, що сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату його гіпотенузи: a²+b²=c²

• Знаходимо квадрат довжини катета a;
• Знаходимо квадрат катета b;
• Складаємо їх між собою;
• З отриманого результату вилучаємо корінь другого ступеня.

Приклад: a = 4, b = 3, c =?

• a²=4²=16;
• b? =3? = 9;
• 16+9=25;
• √25=5. Тобто, довжина гіпотенузи цього трикутника дорівнює 5.

Якщо ж трикутник немає прямого кута, то довжин двох сторін недостатньо. Для цього потрібен третій параметр: це може бути кут, висота площа трикутника, радіус вписаного в нього кола тощо.

Якщо відомий периметр

І тут завдання ще простіше. Периметр (P) є сумою всіх сторін трикутника: P=a+b+c. Таким чином, вирішивши просте математичне рівняння, отримуємо результат.

Приклад: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Вирішуємо рівняння, переносячи всі відомі параметри в один бік від рівня знаку:

2) Підставляємо замість них значення та обчислюємо третю сторону:

c=18-7-6=5, разом: третя сторона трикутника дорівнює 5.

Якщо відомий кут

Для обчислення третьої сторони трикутника по куту та двом іншим сторонам рішення зводиться до обчислення тригонометричного рівняння. Знаючи взаємозв'язок сторін трикутника та синуса кута, неважко обчислити третю сторону. Для цього потрібно звести обидві сторони квадрат і скласти їх результати разом. Потім відняти з твору сторін, що вийшов, помножений на косинус кута: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Якщо відома площа

В цьому випадку однією формулою не обійтись.

1) Спочатку обчислюємо sin γ, виразивши його з формули площі трикутника:

sin γ= 2S/(a*b)

2) За наступною формулою обчислюємо косинус того ж кута:

sin²α+cos²α=1

cos α=√(1 - sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) І знову скористаємося теоремою синусів:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Підставивши на це рівняння значення змінних, отримаємо відповідь завдання.

Побудувати будь-який дах не так просто, як здається. А якщо хочеться, щоб вона була надійною, міцною і не боялася різних навантажень, то попередньо ще на етапі проектування потрібно зробити чимало розрахунків. І вони включатимуть не тільки кількість матеріалів, що використовуються для монтажу, але і визначення кутів нахилу, площі схилів і т. д. Як розрахувати кут нахилу даху правильно? Саме від цього значення багато в чому залежатимуть інші параметри цієї конструкції.

Проектування та будівництво будь-якої покрівлі – завжди дуже важлива та відповідальна справа. Особливо, якщо йдеться про покрівлю житлового будинку або складний за формою дах. Але навіть звичайна односхилий, що встановлюється на непоказному сарайчику або гаражі, так само потребує проведення попередніх розрахунків.

Якщо заздалегідь не визначити кут нахилу покрівлі, не з'ясувати, яку оптимальну висоту повинен мати коник, то великий ризик побудувати таку покрівлю, яка впаде після першого снігопаду, або все оздоблювальне покриття з неї буде зірвано навіть помірним за силою вітром.

Також кут нахилу покрівлі значно впливатиме на висоту коника, на площу та габарити схилів. Залежно від цього можна буде більш точно розрахувати кількість необхідних для створення кроквяної системи та обробки матеріалів.

Ціни на різні види покрівельних ковзанів

Коник покрівельний

Одиниці виміру

Згадуючи геометрію, яку кожен вивчав у школі, можна впевнено заявити, що кут нахилу даху вимірюється в градусах. Однак у книгах, присвячених будівництву, а також у різних кресленнях можна зустріти й інший варіант – кут вказаний у відсотках (тут маються на увазі співвідношення сторін).

В цілому, кутом нахилу ската є кут, який утворений двома площинами, що перетинаються.– перекриттям та безпосередньо схилом даху. Він може бути лише гострим, тобто лежати у діапазоні 0-90 градусів.

На замітку! Дуже круті скати, кут нахилу яких становить понад 50 градусів, зустрічаються дуже рідко у чистому вигляді. Зазвичай вони використовуються тільки при декоративне оформленнядахів, можуть бути присутніми в мансардах.

Що стосується виміру кутів покрівлі в градусах, то тут все просто – ці знання є у кожного, хто вивчав у школі геометрію. Достатньо накидати схему покрівлі на папері та за допомогою транспортира визначити кут.

Що стосується відсотків, то тут потрібно знати висоту коника і ширину будівлі. Перший показник ділиться на другий, а набуте значення множиться на 100%. Отже, можна обчислити відсоткове співвідношення.

На замітку! При відсотковому співвідношенні 1 нормальний градус нахилу дорівнює 2,22%. Тобто скат із кутом 45 звичайних градусів дорівнює 100%. А 1 відсоток – це 27 кутових хвилин.

Таблиця значень - градуси, хвилини, відсотки

Які фактори впливають на кут нахилу?

На кут нахилу будь-якої покрівлі впливає дуже багато факторів, починаючи від побажань майбутнього власника будинку і закінчуючи регіоном, де будинок розташовуватиметься. При розрахунку важливо зважати на всі тонкощі, навіть ті, що на перший погляд здаються незначними. Одного разу вони можуть зіграти свою роль. Визначати відповідний кут нахилу даху слід, знаючи:

• види матеріалів, з яких будуватиметься пиріг покрівлі, починаючи від кроквяної системи і закінчуючи зовнішньою обробкою;
• умови клімату у цій місцевості (вітрове навантаження, що переважає напрямок вітрів, кількість опадів тощо);
• форму майбутньої будови, її висоту, дизайн;
• призначення будівлі, варіанти використання горищного приміщення.

У тих регіонах, де відзначено сильне вітрове навантаження, рекомендується будувати дах з одним скатом та невеликим кутом нахилу. Тоді при сильному вітріу покрівлі більше шансів встояти та не бути зірваною. Якщо ж для регіону характерна велика кількість опадів (снігу чи дощу), то скат краще робити крутішим – це дозволить опадам скочуватися/стікати з покрівлі та не створювати додаткового навантаження. Оптимальний ухил односхилих покрівлі у вітряних регіонах варіюється в межах 9-20 градусів, а там, де випадає багато опадів - до 60 градусів. Кут 45 градусів дозволить не враховувати снігове навантаження в цілому, але тиск вітру в даному випадку на дах буде в 5 разів більше, ніж на покрівлю з нахилом всього 11 градусів.

На замітку! Чим більше параметри ухилу даху, тим більше матеріалів потрібно для її створення. Вартість збільшується щонайменше на 20%.

Кути скатів та покрівельні матеріали

Не тільки кліматичні умови матимуть значний вплив на форму та кут скатів. Важливу роль відіграють матеріали, що використовуються для будівництва, зокрема – покриття дахів.

Таблиця. Оптимальні кути нахилу скатів для покрівель із різних матеріалів.

На замітку! Чим менший показник нахилу покрівлі, тим менший крок використовується при створенні решетування.

Ціни на металочерепицю

Металочерепиця

Висота ковзана теж залежить від кута схилу

При розрахунках будь-якої покрівлі за орієнтир завжди береться прямокутний трикутник, де катети - це висота ската у верхній точці, тобто в коньку або переході нижньої частини всієї системи крокв у верхню (у випадку з мансардними покрівлями), а також проекція довжини конкретного схилу на горизонталь, яка представлена ​​перекриттями. Тут є лише одна стала величина – це довжина даху між двома стінами, тобто довжина прольоту. Висота конькової частини змінюватиметься залежно від кута нахилу.

Спроектувати покрівлю допоможуть знання формул із тригонометрії: tgA = H/L, sinA = H/S, H = LхtgA, S = H/sinA, де А – це кут схилу, Н – висота покрівлі до області ковзана, L – ½ усієї довжини прольоту покрівлі (при двосхилим даху) або вся довжина (у разі односхилим покрівлі), S – довжина самого схилу. Наприклад, якщо відомо точне значення висоти конькової частини, визначається кут нахилу за першою формулою. Знайти кут можна буде за таблицею тангенсів. Якщо в основі розрахунків лежить кут покрівлі, то знайти параметр висоти коника можна за третьою формулою. Довжину крокв, маючи значення кута нахилу та параметрів катетів, можна порахувати за четвертою формулою.

Визначення трикутника

Трикутник- це геометрична фігураяка утворюється в результаті перетину трьох відрізків, кінці яких не лежать на одній прямій. У будь-якого трикутника є три сторони, три вершини та три кути.

Онлайн-калькулятор

Трикутники бувають різних видів. Наприклад, існує рівносторонній трикутник (той, у якого всі сторони рівні), рівнобедрений (у ньому рівні дві сторони) і прямокутний (у якому один із кутів прямий, тобто дорівнює 90 градусів).

Площа трикутника можна знайти різними способами залежно від того, які елементи фігури відомі за умовою завдання, чи то кути, довжини, або взагалі радіуси кіл, пов'язаних з трикутником. Розглянемо кожен спосіб окремо із прикладами.

Формула площі трикутника на основі та висоті

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS =2 1 ​ ⋅ a ⋅h,

A a a- основа трикутника;
h h h- Висота трикутника, проведена до даної основи a.

Приклад

Знайти площу трикутника, якщо відома довжина його основи, що дорівнює 10 (див.) і висота, проведена до цієї основи, дорівнює 5 (див.).

Рішення

A = 10 a = 10 a =1 0
h = 5 h = 5 h =5

Підставляємо у формулу для площі та отримуємо:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S =2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (Див. кв.)

Відповідь: 25 (див. кв.)

Формула площі трикутника за довжинами всіх сторін

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S =p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- Довжини сторін трикутника;
p p p- половина суми всіх сторін трикутника (тобто половина периметра трикутника):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 ​ (a +b +c)

Ця формула називається формулою Герона.

Приклад

Знайти площу трикутника, якщо відомі довжини трьох сторін, рівні 3 (див.), 4 (див.), 5 (див.).

Рішення

A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5

Знайдемо половину периметра p p p:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Тоді, за формулою Герона, площа трикутника:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5)) = \ sqrt (36) = 6S =6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (Див. кв.)

Відповідь: 6 (див. кв.)

Формула площі трикутника по одній стороні та двох кутах

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S =2 a 2 ​ ⋅ sin (β + γ )sin β sin γ ​ ,

A a a- Довжина сторони трикутника;
β , γ \beta, \gamma β , γ - кути, що прилягають до сторони a a a.

Приклад

Дано сторону трикутника, рівну 10 (див.) і два кути, що прилягають до неї, по 30 градусів. Знайти площу трикутника.

Рішення

A = 10 a = 10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

За формулою:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14.4 S=\frac(10^2)(2) \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1) (2 \ sqrt (3)) \ approx14.4S =2 1 0 2 ​ ⋅ sin (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) sin 3 0 ∘ sin 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (Див. кв.)

Відповідь: 14.4 (див. кв.)

Формула площі трикутника по трьох сторонах та радіусу описаного кола

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S =4 Ra ⋅ b ⋅ c​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- Сторони трикутника;
R R R- радіус описаного кола навколо трикутника.

Приклад

Числа візьмемо з другого нашого завдання та додамо до них радіус R R Rкола. Нехай він дорівнюватиме 10 (див.).

Рішення

A = 3 a = 3 a =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5
R = 10 R = 10 R =1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1.5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1.5S =4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (Див. кв.)

Відповідь: 1.5 (див. кв.)

Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола

S = p ⋅ r S=p\cdot rS= p⋅ r,

p pp- половина периметра трикутника:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)p= 2 a+ b+ c​ ,

a, b, c a, b, ca, b, c- Сторони трикутника;
r rr- радіус вписаного в трикутник кола.

Приклад

Нехай радіус вписаного кола дорівнює 2 (див.). Довжини сторін візьмемо із попереднього завдання.

Рішення

$a=3b\; =\; 4\; b\; =\; 4b=4c\; =\; 5\; c\; =\; 5c=5r\; =\; 2\; r=2r=2$

$p=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12S= 6 ⋅ 2 = 1 2 (Див. кв.)

Відповідь: 12 (див. кв.)

Формула площі трикутника з обох боків та кутку між ними

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)S= 2 1 ​ ⋅ b⋅ c⋅ sin(α ) ,

b, c b, cb, c- Сторони трикутника;

α \alphaα - Кут між сторонами b bbі c cc.

Приклад

Сторони трикутника дорівнюють 5 (див.) і 6 (див.), кут між ними дорівнює 30 градусів. Знайти площу трикутника.

Рішення

$b=5c\; =\; 6\; c\; =\; 6c=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7.5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7.5S= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (Див. кв.)

Відповідь: 7.5 (див. кв.)