Хэрэглэсэн хугацааны матрицтай үйлдлүүд. Матрицууд ба тэдгээрийн үйлдлүүд. Матрицыг үржүүлэх үйлдэл

Матриц rozmіrnostі шулуун шугаман ширээ гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь атираат ногоон, roztashovanih онд мгэж эгнээ n stovptsi.

Матрицын элементүүд (эхний индекс би− мөрийн дугаар, өөр индекс ж− баганын тоо) нь тоо, функц эсвэл тэгш байж болно. Матрицууд нь латин цагаан толгойн том үсгүүдийг илэрхийлдэг.

Матриц гэж нэрлэдэг дөрвөлжин, хэдийгээр мөрийн тоо нь баганын тоотой тэнцүү байна ( м = n). Аль нь дугаартай вэ nматрицын дараалал гэж нэрлэдэг ба матрицыг өөрөө матриц гэж нэрлэдэг nр захиалга.

Ижил индекстэй элементүүд тайвшруулах үндсэн диагональквадрат матриц ба элементүүд (индексүүдийн нийлбэрийг тооцоолоход тэнцүү n+1) − хажуугийн диагональ.

ганцаардмал матрицдөрвөлжин матриц гэж нэрлэгддэг ба толгойн диагональ бүх элементүүд нь 1, бусад элементүүд нь 0-тэй тэнцүү байна. Үсгээр тэмдэглэнэ. Э.

Нулева матриц− бүхэл матриц, бүх элементүүд нь 0-тэй тэнцүү. Тэг матриц ямар ч хэмжээтэй байж болно.

Тоо хүртэл матрицууд дээрх шугаман үйлдлүүдхарагдах:

1) матриц нэмэх;

2) матрицыг тоогоор үржүүлэх.

Матриц нэмэх үйлдлийг зөвхөн ижил хэмжээтэй матрицад зориулж хадгална.

Хоёр матрицыг нэгтгэнэ ГЭХДЭЭі INматриц гэж нэрлэдэг В, матрицын харгалзах элементүүдийн нийлбэртэй тэнцүү бүх элементүүд ГЭХДЭЭі IN:

.

Dobootcom матриц ГЭХДЭЭ тоо бүрт кматриц гэж нэрлэдэг IN, өгөгдсөн матрицын ижил төстэй элементүүдтэй тэнцүү бүх элементүүд ГЭХДЭЭ, тоогоор үржүүлнэ к:

Үйл ажиллагаа олон матрицоюун санаанд таалагдах матрицуудыг танилцуулах болно: эхний матрицын баганын тоо нь нөгөөгийн мөрийн тооноос их байна.

Dobootcom матриц ГЭХДЭЭцэлгэр матриц дээр INхэмжээст байдлыг матриц гэж нэрлэдэг Вөргөтгөл, элемент би-р эгнээ жр stovptsya koї dorіvnyuє sumі tvorіv elementіv биматрицын 3-р эгнээ ГЭХДЭЭхарагдахуйц элементүүд дээр жматрицын багана IN:

Tvіr матрицууд (бодит тоо үүсгэх үндсэн дээр) шилжих хуулийн дарааллыг дагаж мөрддөггүй, өөрөөр хэлбэл. толгодын оройд ГЭХДЭЭ IN IN ГЭХДЭЭ.

1.2. Алсын хараачид. Томилогдсон хүмүүсийн эрх мэдэл

Алсын хараатай хүнийг ойлгохзөвхөн квадрат матрицад зориулагдсан.

2-р эрэмбийн матрицын тоог ирэх дүрмийн дагуу тооцдог тул тоо гэж нэрлэдэг.

.

3-р эрэмбийн матриц Дараах дүрмийн дагуу тооцоолсон тул дугаарыг дуудна.

Эхлээд "+" є tvir элементтэй нэмэлтүүдээс эхлээд матрицын толгойн диагональ дээр тараана (). Толгойн диагональ (i) -тэй параллель муруйлттай трикотуудын орой дээр нугалж, өөр хоёр элемент бий. "-" тэмдгээр хажуугийн диагональ () нэмэлт элементүүд болон энэ диагональ (i) -тэй параллель суурьтай трикот хийх элементүүдийг оруулна уу.

3-р эрэмбийн Tse тооцоог заль мэх (эсвэл Саррусын дүрэм) гэж нэрлэдэг.

Томилогдсон хүмүүсийн эрх мэдэл 3-р дарааллаар vyznachniki-ийн өгзөгийг харцгаая.

1. Багана дээрх дохионы бүх мөрийг мөр зэрэг ижил тоогоор солих үед тэмдэг нь утгаараа өөрчлөгддөг, tobto. эгнээ болон stovptsі vyznachnik rivnopravnі

.

2. Хоёр эгнээ (stovptsiv) дахин байрлуулахдаа гарын үсэг зурсан хүн түүний тэмдгийг өөрчилдөг.

3. Хэрэв деяго эгнээний бүх элементүүд (стовпця) тэг байвал дохионы тэмдэг нь 0-тэй тэнцүү байна.

4. Эгнээний бүх элементүүдийн үржүүлэгч (stovptsya) нь vyznachnik-ийн шинж тэмдгийг буруутгаж болно.

5. Vyznachnik, scho хоёр ижил эгнээний өшөө авах (stowptsya), 0.

6. Vyznachnik, scho хоёр пропорциональ эгнээ (stovptsya) өшөө авах, тэг хүргэж байна.

7. Хэрэв vyznachnik-ийн ижил баганын (мөр) арьсан элемент нь хоёр dodankіv-ийн нийлбэр болж байвал vyznachnik нь хоёр vyznachniki-ийн нийлбэрээс илүү үнэтэй, тэдгээрийн аль нэгэнд нь ижил stovpci (мөр) дээр эхний dodanki зогсож, нөгөөд нь - нөгөө нь. Гэхдээ хоёулангийнх нь бусад элементүүд чухал ач холбогдолтой. Тэгэхээр,

.

8. Бичигч өөрчлөгддөггүй, зөвхөн дараагийн эгнээний (мөр) элементүүдэд дараагийн эгнээний (мөр) шаардлагатай элементүүдийг нэмж, ижил тоогоор үржүүлнэ.

Выznachnik-ийн ирж буй хүч нь бага зэргийн ойлголт, алгебрийн нэмэлттэй холбоотой юм.

Багаарбитрчийн элементийг арбитр гэж нэрлэдэг бөгөөд тэр эгнээний өгөгдсөн ишлэлээс салгаж, торлог бүрхэвч дээр ийм ялзрах элементийг зогсож байна.

Жишээлбэл, тэмдэглэгчийн бага элементвызнажник гэж нэрлэдэг.

Алгебрийн нэмэлтүүдтэмдгийн элементийг йогийн минор гэж нэрлэдэг, үржүүлэх, де би- мөрийн дугаар, ж− мөрөнд элемент байгаа баганын дугаар. Алгебрийн нэмэлтийг илэрхийлнэ. 3-р эрэмбийн утгатай элементийн хувьд алгебрийн нэмэгдэл

9. алгебр тэдний нэмэлт үндсэн дээр ямар ч дарааллаар (stovptsya) бүтээлч элементүүдийн илүү баялаг нийлбэр гарын үсэг зурсан.

Жишээлбэл, түрүүлэгчийг эхний эгнээний элементүүдийн ард байрлуулж болно

,

өөрөөр

vyznachniks эрх баригчид їh тооцооны zastosovuyutsya байна.

1-р курс, дээд математик, вивечаэмо матрицуудмөн тэдгээрийн дээрх гол зүйлүүд. Энд бид матрицаар хийж болох үндсэн үйлдлүүдийг системчилдэг. Яагаад матрицын талаар суралцаж эхлэх вэ? Звичайно, хамгийн энгийнээс - зорилго, ойлгох гол зүйл, хамгийн энгийн үйлдлүүд. Дуулж хэлэхэд матрицууд биднийг ойлгох болно, хэн тэдэнд дор хаяж нэг цаг өгөх болно!

Матрицын тэмдэглэгээ

матриц- Энэ бол элементүүдийн тэгш өнцөгт хүснэгт юм. За, минийх шиг энгийн - тооны хүснэгт.

Дууны матрицыг том латин үсгээр тэмдэглэдэг. Жишээлбэл, матриц А , матриц Б мөн өнөөг хүртэл. Матрицууд нь янз бүрийн хэмжээтэй байж болно: тэгш өнцөгт, дөрвөлжин, мөн матриц-мөр, матриц-стопц, тэдгээрийг вектор гэж нэрлэдэг. Матрицын хэмжээг мөр, баганын тоогоор тодорхойлно. Жишээлбэл, өргөтгөсөн шулуун матрицыг бичье м дээр n , де м - мөрийн тоо, ба n - Kіlkіst stovptsіv.

Элементи, сарлагуудад зориулсан i=j (a11, a22, .. ) матрицын үндсэн диагональыг бүрдүүлдэг ба диагональ гэж нэрлэдэг.

Матрицаар юу хийж болох вэ? Хадгалах / татах, тоогоор үржүүлнэ, өөр хоорондоо үрж, шилжүүлэн суулгах. Одоо матрицууд дээрх бүх үндсэн үйлдлүүдийг дарааллаар нь авч үзье.

Матрицыг нугалах, дүрслэх үйлдлүүд

Ижил хэмжээтэй матрицаас илүү нугалж болох зүйлийг үргэлжлүүлье. Үүний үр дүнд бид ижил хэмжээтэй матрицыг харах болно. Матрицуудыг зүгээр л нугалах (эсвэл харах) - Тэдний чухал элементүүдийг нэгтгэхэд хангалттай . Нэг жишээ хэлье. Хоёр матрицыг A, хоёрыг хоёроор нь нугалах боломжтой.

Analogієyu нь Vіdnіmannya vykonuєtsya, ховор эсрэг тэмдэгтэй.

Сарлаг тоон дээр та сарлагийн матрицыг үржүүлж болно. Щаб Цэ, та арьсны тоогоор үржүүлэх хэрэгтэй її элемент . Жишээлбэл, бид эхний өгзөгөөс А матрицыг 5 тоогоор үржүүлнэ.

Матрицыг үржүүлэх үйлдэл

Бүх матрицыг бус өөр хоорондоо үржүүл. Жишээ нь, бид хоёр матрицтай - A ба B. Їx-ийг зөвхөн энэ тохиолдолд нэг нэгээр нь үржүүлж болно, учир нь А матрицын баганын тоо нь В матрицын мөрүүдийн тоотой тэнцүү байна. Энэ үед i-р мөр ба j-р баганад байх ёстой матрицын арьсны элемент нь эхний үржүүлэгчийн i-р эгнээ ба j-р баганын харгалзах элементүүдийн бүтээлийн нийлбэр нь илүү үр дүнтэй байх болно. нөгөөгийнх нь. Алгоритмыг ойлгохын тулд хоёр квадрат матрицыг хэрхэн үржүүлэхийг бичье.

I бодит тоонуудын өгзөг. Матрицуудыг үржүүлье:

Матрицын шилжүүлгийн ажиллагаа

Матрицын шилжүүлэг - давхар мөр, баганыг сараар сольсон тохиолдолд бүх үйл ажиллагаа. Жишээлбэл, бид А матрицыг эхний бөгсөөс шилжүүлнэ:

Чухал матриц

Vyznachnik, тодорхойлогчийн тухай - шугаман алгебрийг ойлгох гол зүйлүүдийн нэг. Хэрэв хүмүүс удам угсаагаа урьдчилан харж, тэдний араас сэрэмжтэй, буянтай байсан бол. pіdbag үед razbiratis z usіm tsim та нарын төлөө хэвтэж, тиймээс rivok үлдсэн!

Vyznachnik нь дөрвөлжин матрицын тоон шинж чанар бөгөөд энэ нь баялаг даалгавруудыг гүйцэтгэхэд шаардлагатай байдаг.
Хамгийн энгийн квадрат матрицын тэмдгийг засахын тулд толгой ба хажуугийн диагональ элементүүдийн бүтээлийн ялгааг тооцоолох шаардлагатай.

Нэгдүгээр эрэмбийн матрицын илэрхийлэгч нь дараагийн элементээс илүү нэг элементээс бүрддэг.

Гураваас гурав матрицын талаар юу хэлэх вэ? Энд аль хэдийн эвхэгдсэн, гэхдээ та эргэж болно.

Vysnivni Vyshіv-ийн Creativnik Elentivniy Hearts Dіagonalі і, іvіv ELEMENTІV, Scho зэрэг Matrixi Value of Matrixi Value for Parallelno Dіgonalі, Vіd Yakoi Dіdnimalі і і и и и зарі офиильной офиильной і и и и сеті офиильной і і и и л и доденко .

Аз болоход, агуу сарнайн матрицуудын нэрийг тоолох нь бараг ховор байдаг.

Энд бид матрицтай үндсэн үйлдлүүдийг авч үзсэн. Мэдээжийн хэрэг, бодит амьдрал дээр та хааяа нэг удаа тэгш хэмийн матрицын системд дарамт учруулахгүй байх боломжтой, эс тэгвээс, хэрэв та толгойгоо үр дүнтэй тогшвол эсрэгээр та нэлээд нугалж буй випадкад гацах болно. Ийм vipadkiv болон іsnuє мэргэжлийн оюутны үйлчилгээний хувьд. Тусламж авахаар эргэж, тайлангийн шийдвэрийг буцааж авч, чөлөөт цагаараа багшийн амжилтыг мэдрээрэй.

Матрицууд. Матрицыг үзнэ үү. Матрицууд болон хүч чадлын йог дээрх үйлдлүүд.

n-р эрэмбийн чухал матриц. N, Z, Q, R, C,

M * n дарааллын матрицыг s тоонуудын шулуун шугаман хүснэгт гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг m-мөр болон n - stoptsiv-ээр сольж болно.

Ривнист матрицууд:

Хоёр матрицыг тэнцүү гэж нэрлэдэг тул тэдгээрийн аль нэгнийх нь мөр, баганын тоо нь нөгөө болон нөгөөгийнх нь мөр, баганын тоотой тэнцүү байна. el-ti tsikh матрицууд тэнцүү.

Тайлбар: El-ty, yakі нь ижил индекстэй байж болно, є vіdpovіdnimi.

Матрицыг үзнэ үү:

Квадрат матриц: мөрийн тоо баганын тоотой тэнцүү тул матрицыг квадрат гэж нэрлэдэг.

Тэгш өнцөгт: мөрийн тоо нь баганын тоотой тэнцүү биш тул матрицыг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг.

Мөр матриц: 1*n (m=1) дарааллын матриц нь a11, a12, a13 шиг харагдах ба мөрийн матриц гэнэ.

Матрицын зуух: ………….

Диагональ: a11, a22 ... элементүүдээр үүсгэгдсэн зүүн дээд булангаас баруун доод буланд хүрэх дөрвөлжин матрицын диагональыг толгойн диагональ гэнэ. (тодорхойлолт: бүх элементүүд нь тэг хүртэл нийлдэг, цөцгий чимээгүй, үндсэн диагональ дээр тархсан квадрат матрицыг диагональ матриц гэж нэрлэдэг.

Ганц: диагональ матрицыг дан гэж нэрлэдэг, учир нь бүх элементүүдийг толгойн диагональ дээр байрлуулж, 1-ийг нэмнэ.

Дээд трикут: A=||aij|| дээд трикот матриц гэж нэрлэгддэг тул aij=0. Бодоод үз дээ.

Доод трикут: aij=0. би

Тэг: ce матриц El-ty сайн 0.

Матриц дээрх үйлдлүүд.

1. Шилжүүлэн суулгах.

2. Матрицыг тоогоор үржүүлэх.

3. Эвхэх матрицууд.

4. Олон матриц.

Матрицууд дээр үндсэн sv-va podії.

1.A+B=B+A (шилжүүлэх чадвар)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (холбоо)

3.a(A+B)=aA+aB (тархалт)

4.(a+b)A=aA+bA (тархалт)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (aoots.)

6.AB≠BA (ажлын өдрийн өрөө)

7.A(BC)=(AB)C (холбоо) Виробивын матрицууд ялсан.

8.A(B+C)=AB+AC (тараах)

(B+C)A=BA+CA (тараах)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Дөрвөлжин матрицын илэрхийлэгч нь хүч чадлын йогийн илэрхийлэл юм. Razkladannya vyznachnik мөр, баганын ард. Нэр дэвшигчдийг тооцоолох арга замууд.

Хэрэв матриц m>1 дараалалтай бол энэ матрицын илэрхийлэгч нь тоо юм.

Алгебрийн нэмэгдлүүд Aij el-ta aij матрицыг тоогоор үржүүлэхийг бага Миж гэнэ.

ТЕОРЕМ 1: Чухал ач холбогдол бүхий матриц А нь хангалттай эгнээний бүх элементүүдийн (стовпця) алгебрийн нэмэлтүүдтэй хамт бүтээгдсэн сайн нийлбэр юм.

Томилогдсон хүмүүсийн үндсэн шинж чанарууд.

1. Матрицын тэмдэглэгч нь шилжих цагт өөрчлөгддөггүй.

2. Хоёр эгнээ (stovptsiv) өөрчлөхөд тэмдэглэгч нь тэмдгийг өөрчилдөг боловч йогийн үнэмлэхүй утга өөрчлөгдөхгүй.

3. 0-тэй тэнцүү хоёр ижил мөртэй байж болох чухал матриц.

4. Матрицын мөрийг (стовпця) її тоогоор үржүүлэхэд тэмдэглэгчийг бүхэл тоогоор үржүүлнэ.

5. Хэрэв матрицын мөрүүдийн аль нэгийг нь 0-д нэмбэл матрицын мөрийн индекс 0-тэй тэнцүү байна.

6. Хэдийгээр матрицын i-р эгнээний (стопця) бүх элементүүдийг нэмэлт хоёр матрицын нийлбэрийн харагдацаар харуулсан ч хоёрын нийлбэрийн нийлбэрийн харагдах байдалд ижил тэмдгийг тавьж болно. матрицууд.

7. Томилогдсон хүн өөрчлөгдөхгүй тул нэг баганын (мөр) элементүүдэд олон тооны урд талд нөгөө баганын (мөр) давхар элементийг нэмнэ. ижил тооны хувьд.

8. Дараагийн баганын (мөр) элементүүдийн хоёр дахь алгебрийн нэмэгдэл дээр тэмдэглэгчийн аль нэг баганын (мөр) нэмэлт элементүүдийн нийлбэр нь 0-тэй тэнцүү байна.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" өргөн "46" өндөр "27">

Үндсэн төлбөрийг тооцоолох аргууд:

1. Зориулалтын үүднээс буюу теорем 1-ээр.

2. Трикот харагдах байдалд авчирсан.

Эргэлтийн матрицын хүч чадлын ач холбогдол. Эргэлтийн матрицын тооцоо. Матрицын тохируулга.

Тэмдэглэгээ: n дарааллын квадрат матрицыг матрицын пивот гэж нэрлэдэг ба ижил дарааллын i өгөгдсөн.

А матрицыг урвуу матриц дээр үндэслэхийн тулд А матрицын гарал үүсэл 0 байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Гол матрицын давамгайлал:

1. Нэгдмэл: өгөгдсөн матрицын хувьд A її ороосон - нэгдмэл.

2. матрицын тэмдэглэгч

3. Шилжилтийг авах, эргэлтийн матрицыг авах үйлдэл.

Матрицын тохируулга:

А ба В хоёр ижил дарааллын хоёр квадрат матриц байг.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" өргөн "163" өндөр "11 src=">

Матрицын баганын шугаман байдал ба бие даасан байдлын тухай ойлголт. Шугаман төөрөгдлийн давамгайлал ба түншүүдийн системийн шугаман бие даасан байдал.

Stovptsі A1, A2 ... An-ыг шугаман уринш гэж нэрлэдэг, учир нь энэ нь 0-р баганад ойртсон тийм ч энгийн шугаман хослол биш юм.

A1, A2 ... An багануудыг шугаман хамааралгүй гэж нэрлэдэг, учир нь тэдгээр нь өчүүхэн шугаман хослол биш бөгөөд 0-р баганатай тэнцүү байна.

Шугаман хослолыг тривиал гэж нэрлэдэг, учир нь бүх С(l) коэффициентүүд 0-тэй тэнцүү бөгөөд өөр байдлаар өчүүхэн биш юм.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" өргөн "88" өндөр "24">

2. багана нь шугаман уринштай байхын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай бөгөөд ингэснээр тэдгээр нь бусад баганын шугаман хослол байх ёстой.

Бусад баганын шугаман хослол бүхий 1 баганыг авчир.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif "шугаман уринш, тэгвэл бүх станцууд шугаман уринга байна.

4. Тулгуурын систем нь шугаман бие даасан байдгийн адил дэд систем нь өөрөө шугаман хамааралгүй эсэх.

(Stovptsiv-ийн тухай хэлсэн бүх зүйл нь эгнээний хувьд үнэн юм).

Минори матрицууд. Үндсэн бага. Матрицын зэрэглэл. Матрицын зэрэглэлийг тооцоолохдоо энэ аргыг насанд хүрээгүй хүмүүсээр хийсэн болно.

А матриц хүртэлх эрэмбийн минор нь нүдний торлог бүрхэвч дээрх зарим ангиллын элементийг А матрицын эгнээ хүртэл, эгнээ хүртэл тэмдэглэдэг.

А = 0 матрицын k-р зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүмүүсийн нэгэн адил 0-тэй ижил дарааллаар + 1 хүртэлх дарааллаар бага ч бай.

Үндсэн бага.

А матрицын зэрэглэл нь суурь минорын дараалал юм.

Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хүрээлэх арга: - Бид А матрицын тэг биш элементийг сонгоно (Хэрэв тийм элемент байхгүй бол зэрэглэл A = 0)

Энэ нь урд 1-р зэрэглэлийн насанд хүрээгүй 2-р зэрэгтэй байна. (Хэрэв энэ минор 0-тэй тэнцүү биш бол зэрэглэл нь >=2 байна) Хэрэв нэгдүгээр зэрэглэлийн минорын зэрэглэл 0 бол 1-р зэргийн минорын чичиргээг 2-р зэрэглэлийн бусад минорууд хүрээлдэг. (Хэрэв 2-р эрэмбийн бүх насанд хүрээгүй хүмүүс = 0 бол матрицын зэрэглэл = 1).

Матрицын зэрэглэл. Матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох аргууд.

А матрицын зэрэг нь 1-р суурь минорын дараалал юм.

Тооцооллын аргууд:

1) Oblyamіvnykh minorіv арга: - А матрицын тэг биш элементийг сонгох (ийм элемент байхгүй тул зэрэглэл = 0) - Форвард 1-р эрэмбийн минорыг 2-р эрэмбийн минороор жаазлах. >r+1 Ноён+1=0.

2) Матрицыг алхам алхмаар харагдуулах: үндсэн хувиргалт дээр суурийн бүхэл бүтэн арга. Энгийн хувиргалтаар матрицын зэрэглэл өөрчлөгддөг.

Дараахь хувиргалтыг үндсэн хувиргалт гэж нэрлэдэг.

Хоёр эгнээ (stovptsiv) солих.

deyago stovptsya (мөр) тоо бүх элементүүдийн үржүүлэх =0 биш юм.

Дараагийн эгнээний (мөр) элементүүдийн дараагийн эгнээний (мөр) бүх элементүүдэд нэмэлт, урагшаа ижил тоогоор үржүүлнэ.

Үндсэн минорын тухай теорем. Энэ хангалттай оюун ухаан нь тэмдэглэгчийн тэгтэй тэнцүү байх ёстой.

А матрицын суурь минор нь давамгайлах 0-ийн өмнөх хамгийн том эрэмбийн минор юм.

Үндсэн минор теорем:

Үндсэн мөрүүд (stovpts) нь шугаман хамааралгүй байдаг. А матрицын эгнээ (stovpchik) нь үндсэн эгнээний шугаман хослол (stovptsiv) эсэх.

Нүдний торлог бүрхэвч дээр үндсэн багана байрладаг мөр, багануудыг үндсэн мөр, багана гэж нэрлэдэг.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ак1 ак2…..акр акж

Зайлшгүй, хангалттай оюун ухаан нь тэмдэглэгчийн тэгтэй тэнцүү байх:

N-р дарааллын Sob vyznachnik = 0, шаардлагатай, хангалттай, ингэснээр эгнээ (stovptsі) шугаман уринш байсан.

Шугаман шугамын систем, тэдгээрийн ангилал, бичлэгийн хэлбэр. Крамерын дүрэм.

Невидомими гурвалсан 3 шугаман шугамын системийг харцгаая.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image048)" width="64" height="38 id=">!}!}

системийн арбитр гэж нэрлэдэг.

Бид ирэх зэрэглэлд дахин гурван удирдагчийг нэмдэг: бид чөлөөт гишүүдийн баганын 1, 2, 3-р дарааллын дагуу залгамжлагч D-г сольсон.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image052)" width="93" height="22 id=">!}!}

Баталгаа. Дараа нь гурвалсан nevіdomimi-ийн 3 тэнцүү системийг авч үзье. Бид системийн 1-р эгнээг a11 элементийн алгебрийн A11, 2-р зэрэгцүүлэлтийг A21, 3-ыг A31-ээр үржүүлнэ.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image056)" width="247" height="31 id=">!}!}

Нумны арьс болон ижил шугамын баруун хэсгийг харцгаая. 1-р баганын элементүүдийн арбитрчийн зохион байгуулалтын тухай теоремын дагуу

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!LANG:(!LANG:l14image060)" width="324" height="42 id=">!}!}

Үүнтэй адилаар i гэдгийг харуулж болно.

Нарешти үүнийг санах нь хамаагүй

Otzhe, otrimuemo атаархал:.

Аав,.

Үүний нэгэн адил, эквивалент ба zvіdki і нь теоремийн баталгааг дагаж мөрддөг.

Шугаман шугамын системүүд. Умовын шугаман rivnyan-ийн нийлбэр. Кронекер-Капелли теорем.

Алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдийг n тооны C1,C2,C3……Cn олон тоо гэнэ, учир нь y-г батлах үед систем x1,x2,x3…..xn орон зайд олддог.

Алгебрийн шугаман тэгшитгэлийн системийг нэг шийдэлтэй байж чадахгүй мэт хамтарсан систем гэж нэрлэдэг.

Хуваах системийг дуулах гэж нэрлэдэг, учир нь ганцхан шийдэл байдаг бөгөөд энэ нь үл үзэгдэх, хувь хүний ​​бус шийдэл байдаг.

Шугаман алгебрийн шугамын системийн нийлбэрийг угаана.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

ТЕОРЕМ: n-тэй m шугаман тэгшитгэлийн систем тогтмол уялдаатай байхын тулд өргөтгөсөн матрицын зэрэглэлийг А матрицын зэрэглэлд хүргэх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм.

Тайлбар: Энэ теорем нь шийдлийн суурийн шалгуураас илүүг өгдөг боловч шийдлийг хайх аргыг заагаагүй болно.

10 хоол.

Шугаман шугамын системүүд. Үндсэн минорын арга нь шугаман тэгшилгээний системийн бүх шийдлүүдийг судлах зэрлэг арга юм.

A=a21 a22…..a2n

Үндсэн бага арга:

Систем RgA=RgA'=r гэж spilna байг. А матрицын зүүн дээд буланд байгаа бичээсүүдийн үндсэн хэсгийг өг.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" өргөн="23" өндөр="23 src=" ">......gif" өргөн="22" өндөр="23 src=">......gif" өргөн="46" өндөр="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Доктор br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" өргөн "33" өндөр "22 src=">

Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл болон дүн шинжилгээ хийсэн нь r=n бол энэ тохиолдолд dj=bj і систем зөвхөн нэг шийдэлтэй байна.

Шугаман шугамын жигд систем.

Алгебрийн шугаман тэгшитгэлийн системийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг, учир нь түүний бүх чөлөөт гишүүд тэгтэй тэнцүү байдаг.

AX=0 – нэгэн төрлийн систем.

AX \u003d B нь гетероген систем юм.

Унтлагын өрөө бүрийн хувьд нэгэн төрлийн систем.

X1 = x2 = .. = xn = 0

Теорем 1.

Хэрэв системийн матрицын зэрэглэл нь нэг төрлийн бус нэгдлүүдийн тооноос бага байвал нэгэн төрлийн систем нь гетероген шийдэлтэй байж болно.

Теорем 2.

А матрицын тэмдэг тэгтэй тэнцүү бол n-бүрэн бус maє тэг шийдтэй n-шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем. (detA=0)

rozvyazkіv odnorodnyh системийн хүч.

Нэг төрлийн системийн уусмал ба системийн шийдлүүдийн шугаман хослол байх эсэх.

α1C1 +α2C2; α1 ба α2 нь аравтын бутархай тоо юм.

A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(AC1) + α2(AC2) = 0, өөрөөр хэлбэл. k.(A C1) = 0; (AC2) = 0

Нэг төрлийн бус системд хүч авах газар байхгүй.

Үндсэн шийдлийн систем.

Теорем 3.

Матрицын системийн зэрэглэл нь n-бие даасан доривню r-тэй тэнцүү тул энэ систем нь n-r шугаман бие даасан шийдлүүдтэй байж болно.

Зүүн дээд буланд үндсэн насанд хүрээгүй хүнийг оруулаарай. Якчо р< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2.. Cn-rr ,0, 0..1)

n-бие даасан r зэрэгтэй шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн n-r шугаман бие даасан шийдүүдийн системийг шийдийн үндсэн систем гэнэ.

Теорем 4.

Шугаман тэгшилгээний системийн шийдэл нь үндсэн системийн шийдлийн шугаман хослол мөн эсэх.

С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r

Якчо р

12 хоол.

Zagalne rozvyazannya нэг төрлийн бус систем.

Унтах (заг. жигд бус.) \u003d Coo + Дунд (хувийн)

AX = B (гетероген систем); AX = 0

(ASoo) + ASch \u003d ASch \u003d B, учир нь K. (ASoo) \u003d 0

Унтах = α1C1 + α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Sch

Гаусын арга.

Үл мэдэгдэх (өөрчлөгдөж буй) сүүлчийн усан үзмийн модны аргын үнэ - анхан шатны өөрчлөлтүүдийн тусламжтайгаар тэгш тогтолцоог шаталсан харагдах байдлын адил хүчтэй системд авчирдаг бөгөөд үүний тулд бусад өөрчлөлтүүд, өөрчлөлтийн шийдлийг ол.

≠ 0 (хэрэв тийм биш бол тэнцүүг дахин цэгцэлснээр нэг нь түүнд хүрнэ).

1) x1-ийг нөгөө, гурав дахь ... n-р зэрэглэлээс өөрчлөх, эхний зэрэглэлийг хоёр дахь тоогоор үржүүлж, үр дүнг 2, 3 ... n-р зэрэглэлд нэмэх, дараа нь дараахь зүйлийг авна.

Бид системийг адилхан хүчтэй гэж үздэг.

2) өөрчлөлт x2-г унтраа

3) x3 өөрчлөлтийг унтраах гэх мэт.

Солих x4-ийг дараа нь унтраах үйл явцыг үргэлжлүүлэх; (r-1) ургацын хувьд x5 ... xr-1-ийг авсан.

Тэнцүү тоонд n-r үлдсэн тэгийн тоо нь түүний зүүн хэсэг ямар байгааг илтгэнэ: 0x1 +0x2+..+0xn

Хэрэв хэн нэгэн нь vr+1, vr+2... тоонуудын аль нэгийг нь тэгтэй тэнцүү биш байхыг хүсвэл тэгш байдал нь маш үр дүнтэй бөгөөд систем (1) уялдаа холбоогүй болно. Ийм зэрэглэлд ямар ч төрлийн уялдаа холбоотой системийн хувьд vr+1...vm нь тэгтэй тэнцүү байна.

Үлдсэн n-r нь системд тэнцүү (1; r-1) є ижил ба їх-ийг хүндэтгэж болохгүй.

Хоёр боломж байна:

a) системийн тэнцүү тоо (1; r-1) нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү тул r = n (энэ тохиолдолд систем төвөгтэй харагдаж байна).

б) r

(1) системээс тэнцүү системд (1; r-1) шилжихийг Гауссын арга руу шууд шилжих гэж нэрлэдэг.

Системээс хувьсагчийн мэдлэгийн тухай (1; r-1) - Гауссын аргын эргэлтийн цэг.

Гаусын хувиргалтыг гар аргаар, тэдгээрийн тэнцүүг ашиглан, тэдгээрийн коэффициентүүдийн өргөтгөсөн матрицаар гүйцэтгэдэг.

13 хоол.

Үүнтэй төстэй матрицууд.

Зөвхөн n/ эрэмбийн квадрат матрицуудыг авч үзье.

A=S-1BS тийм ганц биш S матриц байдаг тул А матрицыг ижил төстэй матриц (A~B) гэж нэрлэдэг.

Ийм матрицын хүч.

1) А матриц нь өөртэйгөө төстэй. (A~A)

S=E шиг, мөн EAE=E-1AE=A

2) Хэрэв A ~ B бол B ~ A

Yakscho A = S-1BS => SAS-1 = (SS-1) B (SS-1) = B

3) Хэрэв A~B ба нэг цаг B~C байвал A~C

A=S1-1BS1 ба B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3 гэж үзвэл de S3 = S2S1

4) Ижил төстэй матрицын тэмдэглэгчид тэнцүү байна.

A ~ B гэж өгөгдсөн бол detA=detB гэж авчрах шаардлагатай.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (удалгүй) = detB.

5) Ижил төстэй матрицуудын зэрэглэл өөрчлөгдөнө.

Vlasnі vektori i vlasnі матрицын утгууд.

λ тоог А матрицын өгөгдсөн утга гэж нэрлэдэг, учир нь энэ нь тэгээс ялгаатай X вектор (матрицын эгнээ) тул AX = X, вектор X нь А матрицын өгөгдсөн вектор бөгөөд бүхний хослол юм. өгөгдсөн утгыг А матрицын спектр гэж нэрлэдэг.

Хүчтэй векторуудын хүч.

1) Хүчин чадлын векторыг тоогоор үржүүлэхдээ бид ижил чадлын утгуудаас чадлын векторыг авдаг.

AX = X; Х≠0

α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) \u003d \u003d λ (α X)

2) Хосоор ялгаатай нойтон утгатай нойтон векторууд нь шугаман хамааралгүй λ1, λ2,.. λk байна.

Системийг нэг вектороос бүрдүүлье, үүнийг индуктив болгоё:

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - А-аар үржүүлнэ.

C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 +.. +Сn λn Хn = 0

λn+1-ээр үржүүлээд харна уу

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn + Cn +1 Xn +1 = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Шаардлагатай schob С1 = С2 = ... = Сn = 0

Cn+1 Xn+1 λn+1 =0

Онцлог шинж чанараараа тэнцүү.

A-λE нь А матрицын шинж чанарын матриц гэж нэрлэгддэг.

Тэг биш X вектор нь λ-ийн дурын утгатай тохирч байх ёстой А матрицын дурын вектор байхын тулд шугаман-алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем (A - λE)X хооронд ялгаа гаргах шаардлагатай. = 0

Хэрэв det (A - XE) = 0 байвал системийн хувьд өчүүхэн бус шийдэл байж болно - энэ нь шинж чанараараа тэнцүү байна.

Тууштай байдал!

Ижил төстэй матрицуудын шинж чанарын тэгш байдал өөрчлөгдөнө.

det(S-1AS - λЕ) = det(S-1AS - λ S-1ЕS) = det(S-1 (A - λЕ)S) = det S-1 det(A - λЕ) detS= det(A - λЕ)

Баян гишүүний онцлог.

det(A – λЕ) - λ параметрийн функц

det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Энэ олон гишүүнтийг А матрицын шинж чанарын олон гишүүнт гэж нэрлэдэг.

Сүүлийн:

1) A ~ B матрицуудын хувьд диагональ элементүүдийн нийлбэр нэмэгдэнэ.

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2) Ижил төстэй матрицуудын маш олон хүчирхэг утгууд байдаг.

Хэдийгээр матрицыг тэгшитгэх шинж чанар нь зан авиртай боловч үнэр нь төстэй neobov'yazkovo юм.

А матрицын хувьд

Б матрицын хувьд

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

А матрицыг n дарааллаар диагональ болгохын тулд А матрицын шугаман бие даасан долгионы векторуудыг ашигласан байх шаардлагатай.

Сүүлийн.

Хэдийгээр А матрицын бүх утгууд өөр боловч диагональ хэлбэртэй байна.

Хүч чадлын вектор ба чадлын утгын талаархи мэдлэгийн алгоритм.

1) атираат шинж чанараараа тэнцүү

2) бид rivnyan-ийн үндсийг мэддэг

3) бид нойтон векторыг тодорхойлох тэгшитгэлийн системийг нэгтгэсэн.

λi (A-λi E)X = 0

4) бид үндсэн шийдлийн системийг мэддэг

x1,x2..xn-r, de r - шинж чанарын матрицын зэрэглэл.

r = Rg(A - λi E)

5) чадлын вектор, чадлын утгууд λi нь харагдах байдалд бичигдсэн:

X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, de C12 + C22 + ... C2n ≠ 0

6) матрицыг диагональ байдлаар багасгах боломжтой эсэхийг шалгана.

7) бид Ag-г мэднэ

Ag=S-1AS S=

15 хоол.

Шулуун шугам, дөрвөлжин, орон зайн суурь.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">│, ││).

4.Ортын вектор.

Энэ векторын орыг вектор гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ вектороор чиглүүлдэг бөгөөд хамгийн түгээмэл нэгж болох модультай байж болно.

Rivnі vectori mayut rіvnі orti.

5. Хоёр векторын хооронд хайчил.

Талбайн жижиг хэсэг нь нэг цэгээс шулуун шугамаар явдаг хоёр уулзвараар хүрээлэгдсэн боловч өгөгдсөн векторуудтай.

Вектор хадгалах. Векторыг тоогоор үржүүлэх.

1) Хоёр вектор нэмэх

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2) Скаляраар векторыг хуулбарлах.

Энэ скалярын дэд вектор гэж нэрлэж болох шинэ вектор нь:

a) = үржүүлсэн векторын модулийг скалярын абсолют утгаар нэмэгдүүлэх.

б) үржүүлсэн вектортой шууд зэрэгцүүлэн скаляр эерэг, i эсрэгээр, скаляр сөрөг гэж.

λ a(вектор)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Вектор дээрх шугаман үйлдлүүдийн давамгайлал

1. Харилцааны тухай хууль.

2.Холбооны хууль.

3. Тэг нэмэх.

a(вектор)+ō= a(вектор)

4. Протилогийг агуулсан нэмэлт.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6; 7. Хуваарилалтын хууль.

Yogo модулаар дамжуулан Вираз вектор i ort.

Шугаман бие даасан векторуудын хамгийн их тоог суурь гэж нэрлэдэг.

Шулуун шугамын суурь нь вектор юм.

Онгоцны суурь нь хуанлийн бус хоёр вектор юм.

Сансар огторгуйн үндэс нь гурван хосгүй векторын систем юм.

Тодорхой суурьт векторын тархалтын коэффициентийг тухайн суурь дахь векторын бүрэлдэхүүн хэсэг буюу координат гэж нэрлэдэг.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> vikonaty үржүүлгийг скаляраар нэмж, дараа нь үр дүн нь ийм DIY otrimaemo хэд хэдэн байна:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" өндөр="11 src=">.gif" өндөр="11" src=">-г шугаман-депозит гэж нэрлэдэг, учир нь энэ нь тийм ч чухал биш шугаман хослол юм, тэр ч байтугай?.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" өндөр="11 src=">.gif" өндөр="11" src=">-г шугамаас хамааралгүй гэж нэрлэдэг, учир нь тийм ч чухал биш мөрийн хослол байдаггүй.

Шугаман уринш ба бие даасан векторуудын давамгайлал:

1) тэг векторыг орлуулах векторуудын систем нь шугаман уринштай байна.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" өндөр="11 src=">.gif" өндөр="11" src="> нь шугаман уринш байх тул вектор нь бусад векторуудын шугаман хослол байх шаардлагатай.

3) систем дэх векторын нэг хэсэг болох a1(вектор), a2(вектор) ... ak(вектор) нь шугаман-депозит, тэгвэл бүх векторууд нь шугаман-депозит болно.

4) мөн бүх векторууд https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif"

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Координат дахь шугаман үйлдлүүд.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" өндөр="11 src="> .gif" өндөр="11 src=">.gif" өргөн="65" өндөр="13 src=">

Скаляр үүсгэх хүч:

1. Солих чадвар

3. (a;b)=0, тэгш ба зөвхөн нэг удаа, хэрэв векторууд нь ортогональ, эсвэл векторуудаас байвал тэдгээр нь 0-ээс их бага байна.

4. Тархалт (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. їх координатаар a, b скаляр үүсгэхийг Вираз

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" өргөн "40" өндөр "11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" өргөн "254" өндөр "13 src=">

vykonannі угаах үед (), h, l = 1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" өргөн "176" өндөр "21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">болон ирэхэд сэтгэл хангалуун байгаа гурав дахь векторыг дуудсан тэнцүү байна:

3. - эрх

Вектор бүтээлч байдлын хүч:

4. Координатын орцын вектор шугам

Ортонормаль суурь.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" өргөн "41" өндөр "11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" өргөн "41" өндөр "11 src=">

Ортонормаль үндэслэлийг тодорхойлохын тулд ихэвчлэн 3 тэмдгийг ашигладаг

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" өргөн "77" өндөр "11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" өргөн "549" өндөр "32 src=">

Yakscho бол ортонормаль суурь юм

https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- OX тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг тэгшлэх.

2) - OS тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг тэгшлэх

2. 2 шулуун шугамыг солино.

Теорем 1

A) Тоди нь өмхий үнэр нь өнгөцхөн харвал хангалттай оюун ухаан шаардлагатай:

B) Энэ нь оюун ухаантай шууд зэрэгцээ байгаа оюун ухаанд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм.

B) Нэг сэтгэлд шууд уурлаж байгаа хүний ​​шаардлагатай бөгөөд хангалттай оюун ухаанд:

3. Цэгээс шулуун шугам руу шилжинэ.

Теорем. Декартын координатын системийг ашиглан нэг цэгээс шулуун шугам руу шилжинэ.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" өргөн "34" өндөр "11 src=">

4. Хоёр шулуун шугамын хооронд хайчилж ав. Умовын перпендикуляр байдал.

Том түвшний декартын координатын системд 2 шууд даалгавар өгье.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" өргөн "103" өндөр "11 src=">

Yakscho, дараа нь шулуун шугамууд перпендикуляр байна.

24 хоол.

Орон зайн ойролцоох газар. Умовын вектор ба хавтгайн харьцуулалт. V_dstan v_d онгоц руу зааж байна. Umov хоёр хавтгайн параллелизм ба перпендикуляр байдал.

1. Умовын вектор ба хавтгайн харьцуулалт.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" өргөн "40" өндөр "11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Nameless4.jpg)" width="111" height="39">!}!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" өргөн "86" өндөр "11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" өргөн "148" өндөр "11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Nameless5.jpg)" width="88" height="57">!} !}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" өргөн "31" өндөр "11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" өргөн "328" өндөр "24 src=">

3. Хоёр байрны хооронд зүснэ. Умовын перпендикуляр байдал.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" өргөн "132" өндөр "11 src=">

Якшчо, дараа нь онгоцууд перпендикуляр байна.

25 хоол.

Нээлттэй талбайн шулуун шугам. Нээлттэй орон зайд шулуун шугамын тэгшитгэлийг өөрөөр хар.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" өргөн "111" өндөр "19">

2. Орон зайд шууд тэгшлэх вектор.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" өргөн "40" өндөр "11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" өргөн "44" өндөр "29 src=">

4. Каноник шулуун шугам.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" өргөн "34" өндөр "18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Without)'яний3.jpg" width="56" height="51">!}!}

Лекц 1. “Матриц ба тэдгээрийн үндсэн функцууд. Алсын хараачид

Уулзалт. Матрицрозмарин м n, де м- мөрийн тоо, n- Тоонуудын хүснэгт гэж нэрлэгддэг баганын тоо нь эхний дарааллаар тархсан. Qi тоог матрицын элементүүд гэж нэрлэдэг. Арьсны элементийн талбайг эгнээ, баганын тоогоор тодорхойлогддог бөгөөд тэдгээрийн ар талд судлууд олддог. Матрицын элементүүдийг хуваарилсана ij, де би- мөрийн дугаар, ба ж- Станцын дугаар.

A =

Матриц дээрх үндсэн дэд хэсгүүд.

Матрицыг нэг мөрөнд, нэг багананд нугалж болно. Матрицыг нэг элементээс нугалж болно гэдгийг санаарай.

Уулзалт. Хэрэв матрицын баганын тоо нь мөрийн тоотой тэнцүү бол (m = n) матрицыг нэрлэнэ. дөрвөлжин.

Уулзалт. Матриц оюун ухаан:

= Э ,

дуудсан нэг матриц.

Уулзалт. Якчо а mn = а nm , дараа нь матрицыг дуудна тэгш хэмтэй.

өгзөг.
- тэгш хэмтэй матриц

Уулзалт. Квадрат матрицын оюун ухаан
дуудсан диагональматриц.

Хадгалалт ба дүрслэлматрицууд нь тэдгээрийн элементүүд дээр дараагийн үйлдлүүд хүртэл бүтээгддэг. Эдгээр үйл ажиллагааны дээд эрх мэдэл нь өмхий үнэртэгчид юм зөвхөн ижил хэмжээтэй матрицад зориулагдсан. Энэ дарааллаар тухайн харааны матрицыг нугалах үйлдлийг тодорхойлж болно.

Уулзалт. цүнх (жижиглэн худалдаа)матриц є матриц, тэдгээрийн элементүүд нь гаралтын матрицын элементүүдийн нийлбэр (жижиглэн худалдаа) юм.

cij = aij  b ij

Z \u003d A + B \u003d B + A.

Үйл ажиллагаа олон тоо (podіlu)матриц нь тодорхой тоогоор томорсон эсэхээс үл хамааран матрицын арьсны элементийн олон тооны (хуваагдсан) бүхэл тоогоор буурдаг.

 (A + B) \u003d  A   B A ( ) \u003d  A   A

өгзөг.Өгөгдсөн матриц А =
; B=
, 2A+B-г мэдэх.

2А =
, 2A + B =
.

Матрицыг үржүүлэх үйлдэл.

Цагийн тов: ТворомМатрицыг матриц гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний элементүүдийг дараахь томъёогоор тооцоолж болно.

А Б = C;
.

Өдөөгдсөн тэмдэглэгээнээс харахад матрицыг үржүүлэх үйлдлийг зөвхөн матрицуудад хуваарилдаг. эхний ээлжинд байгаа баганын тоо, нөгөөд нь илүү үнэтэй мөрийн тоо.

Матрицыг үржүүлэх үйлдлийн хүч.

1) Олон матрицсолигддоггүй , дараа нь. AB  VA navіt yakscho энэ нь доромжлол бий болгох томилсон байна. Гэсэн хэдий ч AB = BA харьцааны зарим матрицын хувьд энэ нь ялсан ч ийм матрицуудыг нэрлэдэг.солигдох боломжтой.

Хамгийн онцлог өгзөг байж болно матриц нь солигддог шиг ижил rozmіru-ийн өөр матриц байх.

Зөвхөн ижил дарааллын цөөн хэдэн квадрат матрицууд солигдох боломжтой.

A E = E A = A

Ямар ч матрицад ийм эрх мэдэл олгох нь ойлгомжтой.

А О = О; О А = О,

де О - тэгматриц.

2) Матрицыг үржүүлэх үйлдэл холбоо, tobto. AB ба (AB) C-г үүсгэхээр томилогдсонтой адил BC ба А (BC) -д оноогдсон бөгөөд тэгш байдлыг бий болгоно.

(AB)C=A(BC).

3) Матрицыг үржүүлэх үйлдэл түгээх dodavannya өмнө зуун жилийн, tobto. Хэрэв A (B + Z) ба (A + B) Z-г ашиглах мэдрэмж байгаа бол энэ нь тодорхой байна:

A(B+C) = AB+AC

(A + B) C = AC + PS.

4) dobutok AB оноосон бол, дараа нь ямар ч тоо зөв бичих:

(AB) = ( А) Б = А( Б).

5) Хэрэв нэмэлт AB оноогдсон бол нэмэлт B T A T оноож, тэгш эрхийг олгоно.

(AB) T = B T A T, de

Т индексийг илэрхийлнэ шилжүүлсэнматриц.

6) Аливаа квадрат матрицын хувьд det(AB) = detA гэдгийг бас хүндэтгэдэг detB.

Гэж юу вэ det-ийг доор авч үзэх болно.

Уулзалт . Б матриц гэж нэрлэдэг шилжүүлсэнматриц А ба А-аас В руу шилжих шилжүүлэн суулгахЖишээлбэл, А матрицын арьсны эгнээний элементүүдийг В матрицын баганад ижил дарааллаар бичнэ.

A =
; B = A T =
;

Өөрөөр хэлбэл b ji = a ij.

Урагшлах хүчний үр дүнд (5) дараахь зүйлийг бичиж болно.

(ABC ) T = C T B T A T ,

оюун ухааны хувьд, scho dobutok матриц ABC оноосон байна.

өгзөг. Өгөгдсөн матриц А =
, V =, Z =
би дугаарлана \u003d 2. AT +  C-г мэдэх.

А Т =
; А Т Б =
 =
=
;

C =
; A T B +  C =
+
=
.

өгзөг. A = і B = нэмэлт матрицыг ол
.

AB = 
=
.

VA =
 = 2  1 + 4  4 + 1  3 = 2 + 16 + 3 = 21.

өгзөг. A = doboot матрицыг ол
, V =

AB =

=
=
.

Алсын хараачид(Тодорхойлогч).

Уулзалт. Вышнаникквадрат матриц A =
Дараахь томъёоны матрицын элементүүдэд тооцоолж болох тоог дууддаг.

det A =
, де (1)

М 1-ээс– матрицын тодорхойлогч, otrimana z vihіdnymi vykrelyvannyam эхний эгнээ болон k – st stovptsa. Vyznachniki нь зөвхөн дөрвөлжин матрицтай байж болно гэсэн хүндэтгэлийг дагаж мөрдөөрэй. мөрийн тоо нь баганын тоотой тэнцүү байх матрицууд.

Ф томъёо (1) нь матрицын индексийг эхний эгнээгээр тооцоолох боломжийг олгодог бөгөөд эхний эгнээний индексийг тооцоолох томъёо нь бас хүчинтэй байна.

det A =
(2)

Vlasne kazhuchi, vyznachnik нь матрицын цэвэр байдлын дарааллаар тоолж болно, өөрөөр хэлбэл. зөв томъёо нь:

detA =
, i = 1,2, ..., n. (3)

Мэдээжийн хэрэг, өөр өөр матрицууд нь ижил матрицуудын эх байж болно.

Ганц матрицын илэрхийлэгч нь илүү үнэтэй 1.

Томилогдсон А матрицын хувьд M1k тоог дуудна нэмэлт багаматрицын элемент a 1 k. Ийм байдлаар матрицын арьсны элемент нь өөрийн гэсэн нэмэлт минортой байж болох тул visnovok үүсгэх боломжтой. Додатковы насанд хүрээгүй хүмүүс зөвхөн квадрат матрицад байдаг.

Уулзалт. Додатковы насанд хүрээгүй a ij квадрат матрицын нэмэлт элемент нь i-р мөр ба j-р баганын гаралтаас хасагдсан матрицын тэмдэглэгчээс илүү чухал юм.

Хүч 1. Магиструудын чухал эрх мэдэл нь ижил spіvvіdnoshennia юм:

det A = det A T;

хүч 2. det(А B) = detA дет Б.

Эрчим хүч 3. det (AB) = deA detB

Эрчим хүч 4. Хэрэв та хоёр эгнээтэй (эсвэл stovptsya) квадрат матрицыг санаж байвал матрицын тэмдэг нь үнэмлэхүй утгыг өөрчлөхгүйгээр тэмдгийг өөрчилнө.

Эрчим хүч 5. Матрицын баганыг (эсвэл мөр) її тоогоор үржүүлэхэд тэмдгийг бүхэл тоогоор үржүүлнэ.

Эрчим хүч 6. А матрицын хувьд эгнээ нь цэвэр шугаман хадгалагдсан, її vyznachnik нь тэг рүү ойртдог.

Цагийн тов: Матрицын багануудыг (мөр) гэж нэрлэдэг шугаман уринш, энэ нь жинхэнэ шугаман хослол бөгөөд тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь өчүүхэн бус (тэгтэй тэнцүү биш) шийдэл байж болно.

Эрчим хүч 7. Тэг эгнээ эсвэл тэг эгнээний өшөөг авах матрицын нэгэн адил анхдагч утга нь тэг рүү ойртдог. (Төлөөлөгчийн тэг эгнээний ард та өөрөө vyznachnik руу орох боломжтой нь ойлгомжтой.)

Эрчим хүч 8. Матрицын тэмдэглэгч өөрчлөгддөггүй, зөвхөн 3-р эгнээний аль нэгнийх нь элементүүдэд (стопця) дараагийн эгнээний элементүүдийг нэмж (харах) тэг хүртэл нэмдэггүй тоогоор үржүүлнэ.

Эрчим хүч 9. Элементүүдийн хувьд эгнээ байгаа эсэх, эсвэл матриц зөв эсэх sp_v_dnoshennia:г = г 1  г 2 , д = д 1  д 2 , е = det(AB).

1-р арга: det A = 4 - 6 = -2; det B = 15 - 2 = 13; det(AB) = detA det B = -26.

2-р арга: AB =
, det (AB) = 7  18 - 8  19 = 126 –

– 152 = -26.

Уулзалт.Матрицыг мөр, баганаас бүрдэх тэгш өнцөгт хүснэгт шиг хувийн бус тоо гэж нэрлэдэг.

Товчхондоо матрицыг дараах байдлаар тодорхойлно.

Өгөгдсөн матрицын элемент, i нь мөрийн тоо, j нь баганын тоо.

Матрицын нэгэн адил мөрийн тоо нь баганын тоотой тэнцүү байна ( м = n), дараа нь матрицыг дуудна дөрвөлжин n th захиалга, гэхдээ өөрөөр - шулуун шугаман.

Якчо м= 1 т n > 1, дараа нь бид нэг эгнээний матрицыг авна

энийг юу гэдэг вэ эгнээ вектор , сайн м>1 т n=1, тэгвэл бид нэг баганатай матрицыг авна

энийг юу гэдэг вэ багана-вектор .

Толгойн диагональ дахь бүх элементүүдийг тэг хүртэл нэмдэг квадрат матрицыг нэрлэдэг. диагональ.

Толгойн диагональ элементүүд нь тэнцүү байх диагональ матрицыг нэрлэдэг ганцаараа, томилогдох Э.

Ижил тооны өгөгдсөн орлуулах її эгнээ бүхий otrimana матрицыг дууддаг шилжүүлсэн qiєї руу. Томилогдсон.

Өөр хоорондоо тэнцүү хоёр матриц ба тэнцүү, нэг газар дээр байрлах элементүүд, өөрөөр хэлбэл,

бүх би і ж(матрицын эгнээний тоо (зогсоох) үед Аі Бижил байж болно).

1°. Хоёр матрицыг нэгтгэнэ А=(а ij) тэр Б=(б ij) ижил хэмжээгээр м rowkіv ta nматриц гэж нэрлэдэг C=(в ij), атаархлыг илэрхийлдэг элементүүд

Матрицуудын нийлбэр нь C=А+Б.

өгзөг.

хорин . Dobootcom матриц А=(а ij) тоо бүрт λ матриц гэж нэрлэдэг бөгөөд арьсны элемент нь матрицын ижил төстэй элементийг олж авахад илүү үнэтэй байдаг Атоо бүрт λ :

λА=λ (а ij)=(λa ij), (би=1,2…,м; ж=1,2…,n).

өгзөг.

гучин. Dobootcom матриц А=(а ij), юу чадах вэ м rowkіv ta к stoptsіv, матриц дээр Б=(б ij), юу чадах вэ к rowkіv ta n stoptsіv, матриц гэж нэрлэдэг C=(в ij), юу чадах вэ м rowkіv ta n stovptsіv, yaкої элемент в ijбүтээлч элементүүдийн нийлбэр биматрицын 3-р эгнээ А і жматрицын багана Б, дараа нь

Матрицын хэдэн баганад байна Аматриц дахь мөрийн тоотой таарч болно Б. Үгүй бол tvir оноогдоогүй болно. ТВ матрицыг зааж өгсөн болно A*B=C.

өгзөг.

Dobootka матрицуудын хувьд матрицуудын хооронд тэгш байдлыг олж авдаггүй А* Б і Б* А, Vipadu-д тэдгээрийн аль нэгийг нь оноож болохгүй.

Квадрат матрицыг хуулбарлах нь өөр нэг матрицын дарааллаас үл хамааран матрицыг өөрчлөхгүй.

өгзөг.Матрицыг үржүүлэх дүрэмтэй төстэй байг

,

Бид оддыг тавьдаг

Тэрхүү хүч чадлын йогийн удирдагчид.

Гурав дахь эрэмбийн квадрат матрицыг өгье.

Уулзалт. (1) матрицтай таарч байгаа гуравдахь эрэмбийн илэрхийлэгч нь тэмдэгтээр тэмдэглэгдсэн тоо юм.

энэ нь атаархлыг илэрхийлдэг

Санаж байхын тулд тэгш байдлын баруун талд (2) хэрхэн үүсгэхийг "+" тэмдгээр авсан бөгөөд хэрэв "-" тэмдэгтэй бол трикутникийн дүрэм ижил төстэй байдаг.

өгзөг.

Захиргааны өмхий үнэрийг ямар ч тушаалаар өмхийрүүлэхийг хүсч, шүүгчдийн үндсэн эрх мэдлийг гурав дахь дарааллаар томъёолъё.

1. vyznachnik нь rozmіr өөрчлөгдөхгүй байх болно, ингэснээр эгнээ болон stovptsі номлолд дурсах, tobto.

2. Хоёр багана эсвэл тэмдэглэгчийн хоёр эгнээ солих нь йогогийн үржүүлэгчийг -1 болгон нэмнэ.

3. Хэрэв удирдагч хоёр ижил мөртэй эсвэл хоёр ижил мөртэй байж чадвал оноо нь тэгтэй тэнцүү байна.

4. Бэ-сарлагын тоон дээр тэмдэглэгчийн нэг багана эсвэл нэг эгнээний бүх элементүүдийг хуулбарлах λ тэмдэглэгчийг бүхэл тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү λ .

5. Тодорхой эгнээний бүх элементүүд эсвэл тэмдэглэгчийн тодорхой эгнээ тэгтэй тэнцүү бол тэмдэг нь өөрөө тэгтэй тэнцүү байна.

6. Хэрвээ хоёр баганын элементүүд буюу замын дохионы хоёр эгнээ пропорциональ байвал дохионы тэмдэг тэгтэй тэнцүү байна.

7. Яг л арьсны элемент шиг n-р багана ( n--р эгнээ) нь хоёр dodankiv-ийн нийлбэр юм, тэгвэл vyznachnik нь хоёр vyznachnik-ийн нийлбэрийг харах санаатай байж болох бөгөөд тэдгээрийн нэг нь n-р багана ( n-th эгнээ) эхний zgadanih dodankiv өшөө авах, сүүлчийнх - бусад; Гурван гэгээнтний дэргэд өөр газар байрладаг элементүүд.

Жишээлбэл,

80. Хэрэв та тэмдэглэгчийн дараагийн баганын (мөр) элементүүдэд дараагийн баганын (мөр) нэмэлт элементүүдийг ямар ч төрлийн зэрлэг үржүүлэгчээр үржүүлбэл тэмдэглэгчийн утга өөрчлөгдөхгүй.

Жишээлбэл,

БагаАрбитрын дараагийн элементийг арбитр гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ элементийн ийм зохицуулалтын торлог бүрхэвч дээр тухайн баганын эгнээнд өгөгдсөн арбитраас авдаг.

Жишээлбэл, жижиг элемент гэхдээ 1 vyznachnik Δ є vyznachnik 2-р захиалга

Тэмдэглэгчийн deyago элементийн алгебрийн нэмэгдлийг элементийн минор, (-1)-ээр үржүүлэхийг гэнэ. х, де Р- эгнээний тоонуудын нийлбэр нь бүхэл элементийн зарим ангиллын перетина дээр ижил байна.

Жишээ нь, Якшчо, элемент гэхдээ 2 нь 1-р багана ба 2-р эгнээний перетина дээр байх ёстой, дараа нь шинэ Р\u003d 1 + 2 \u003d 3 ба алгебрийн нэмэлтүүд є

90. Бүтээлч элементүүдийн хамгийн баян нийлбэрт гарын үсэг зурсан, тухайлбал тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүд дээр мөрүүдийг барих.

нэг зуу . Нөгөө мөр эсвэл нөгөө эгнээний гол элементүүдийн алгебрийн нэмэгдэл дээрх тэмдэглэгчийн нэг эгнээ эсвэл ижил эгнээний бүтээлч элементүүдийн нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байна.

Vinicate хүч, квадрат матрицын хувьд юу боломжтой вэ ГЭХДЭЭматрицыг түүгээр үржүүлэхийн тулд өдрийн матрицыг сонго ГЭХДЭЭҮүний үр дүнд нэг матрицыг авна Э, ийм матрицыг матриц руу буцах боломжтой гэж нэрлэдэг ГЭХДЭЭ.

Уулзалт. Матрицыг хаалгатай квадрат матриц А гэж нэрлэдэг.

Уулзалт. Квадрат матрицыг онгон бус гэж нэрлэдэг, учир нь энэ нь тэгийн тэмдэг юм. Үгүй бол квадрат матрицыг вироген гэж нэрлэдэг.

Вироген бус матрицыг буцаах боломжтой эсэх.

Матрицын элементийн хувиргалтє:

матрицын хоёр зэрэгцээ эгнээний дахин зохион байгуулалт;

бүх матрицын элементүүдийг тэг оруулаагүй тоогоор үржүүлэх;

Матрицын эгнээний бүх элементүүдэд зэрэгцээ эгнээний ижил элементүүдийг нэмж, ижил тоогоор үржүүлнэ.

матриц IN, матрицаас авсан ГЭХДЭЭгэж нэрлэдэг анхан шатны өөрчлөлтүүдийн тусламжийн төлөө тэнцүү матриц.

Онгон биш квадрат матрицын хувьд

Гурав дахь эрэмбийн урвуу матриц ГЭХДЭЭ-1-ийг энэ томъёогоор тооцоолж болно

энд Δ нь матриц юм ГЭХДЭЭ,А ij - элементүүдэд алгебрийн нэмэлтүүд а ij матрицууд ГЭХДЭЭ.

Матрицын эгнээний элементийг нэрлэдэг эрс тэс , yakscho vіn vіdmіnny vіd тэг, зүүн гартай vіd ny байгаа эгнээний бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байна. Матриц гэж нэрлэдэг алхам давтамжтай арьсны эгнээний туйлын элемент нь урд эгнээний туйлын элементийн баруун талд байрладаг тул. Жишээлбэл:

Чи бол алхам биш; - алхам.